Mediano (statistiko)

En la teorio de probabloj kaj statistiko, mediano estas la nombro apartiganta la pli altan duonon de specimeno, loĝantaro, aŭ probablodistribuo de la suba duono. La mediano de finia listo de nombroj estas trovata per ordigo de ĉiuj nombroj ekde la plej malgranda al la plej granda kaj preno de la meza nombro. Se estas para kvanto de nombroj, la mediano ne estas unika, tiel oni ofte prenas la meznombron de la du mezaj valoroj.

Ekzemplo: X<Y<Z: mediano (X, Y, Z) = Y

Ekzemplo: W<X<Y<Z: mediano (W, X, Y, Z) = meznombro (X, Y) = (X+Y)/2

El tio rezultas, ke maksimume duono de la loĝantaro havas valorojn malpli grandaj ol la mediano kaj maksimume duono de la loĝantaro havas valorojn pli grandaj ol la mediano. Se ambaŭ grupoj enhavas malpli ol duonon de la loĝantaro, tiam iu ero el la loĝantaro estas akurate egala al la mediano mem.

Diferenco de meznombro

La diferenco inter la mediano kaj la meznombro estas ilustrita en ĉi tiu simpla ekzemplo:

Estu nombroj 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Tiam la meznombro estas 4 kaj la mediano estas 4.

Estu nombroj 1, 2, 3, 4, 5, 6, 994.

Tiam la meznombro estas 145, la mediano estas 4.

Estu nombroj 1, 994, 3, 4, 5, 6, 7.

Tiam la meznombro estas ≈145,7, la mediano estas 5.

Do apero de la nombro 994, multe pli granda ol ĉiuj la aliaj, ne ŝanĝas la medianon aŭ ŝanĝas ĝin malmulte, dum kiam la meznombro ŝanĝiĝas multe.

Ekzemplo de ties apliko estas kazo, kie oni volas fari eldiron pri la mezuma salajro de la enloĝantoj de malgranda vilaĝo. Se ĉiuj estas normalsalajritaj laboristoj, la meznombro havas sencon kaj povas bone reprezenti la situacion. Tamen se nun hazarde unu milionulo kun laŭaj enspezoj transloĝiĝos al la vilaĝo, la afero subite aspektos alie. Ĉi-kaze la meznombo ege grandiĝos kaj de praktika ĉiutaga vidpunkto apenaŭ plu rilatas al la salajroj de la plejmultaj loĝantoj de la vilaĝo. Kontraste, la mediano havos pli da senco, ĉar la milionulo ne plu samgrade tiros la valoron de la mediano kvazaŭ al si. Ĝi estas ĉi-sence pli stabila kaj estas malpli influata de kelkaj malmultaj ekstremvaloroj.

Mediano de probablodistribuo

Por ĉiu probablodistribuo sur la reela linio kun distribuo F, sendistinge de tio ĉu ĝi estas ajna kontinua probablodistribuo, en aparta absolute kontinua distribuo (kaj pro tio estas probablodensa funkcio), aŭ diskreta probablodistribuo, mediano m kontentigas la neegalaĵojn

$\operatorname {P} (X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}\quad \land \quad \operatorname {P} (X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}\,\!$

aŭ

$\int _{-\infty }^{m}\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}\quad \land \quad \int _{m}^{\infty }\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}\,\!$

en kiu integralo de Rimano-Stieltjes estas uzata. Por absolute kontinua probablodistribuo kun probablodensa funkcio f:

$\operatorname {P} (X\leq m)=\operatorname {P} (X\geq m)=\int _{-\infty }^{m}f(x)\,\mathrm {d} x=0.5.\,\!$

Medianoj de certaj specoj de distribuoj povas esti facile taksitaj de iliaj parametroj

Mediano de normala distribuo kun meznombro μ kaj varianco σ² estas μ. Por normala distribuo, meznombro = mediano = reĝimo.

Mediano de uniforma distribuo en la intervalo [a, b] estas (a + b) / 2, kiu estas ankaŭ la meznombro.

Mediano de koŝia distribuo kun situa parametro x₀ kaj skala parametro y estas x₀, la situa parametro.

Mediano de eksponenta funkcia distribuo kun kurza parametro $\lambda$ estas la natura logaritmo de 2 dividita per la kurza parametro: $\ln 2/\lambda$.

Mediano de distribuo de Weibull kun forma parametro k kaj skala parametro $\lambda$ estas $\lambda (\ln 2)^{1/k}$.

Mediano en priskriba statistiko

La mediano estas uzata ĉefe por nesimetriaj distribuoj, kiujn ĝi prezentas signife malsame ol la aritmetika meznombro. Ekzemple estu multaro { 1, 2, 2, 2, 3, 9 }. La mediano estas 2 en ĉi tiu okazo, kia estas la reĝimo, kaj ĝi povus vidiĝi kiel pli bona pritakso de centra dispozicio ol la aritmetika meznombro, kiu estas 3,166… .

Proprecoj

Optimumeca propreco

La mediano estas ankaŭ la centra punkto kiu minimumigas la averaĝan de la absolutaj devioj; en la ekzemplo pli supre ĉi tiu devus esti (1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 7) / 6 = 1.5 uzante la medianon, dum ĝi devus esti 1,944 uzante la meznombron. En la lingvo de teorio de probabloj, la valoro de c kiu minimumigas na

$E(\left|X-c\right|)\,$

estas la mediano de la probablodistribuo de la hazarda variablo X. Noto tamen ke c estas ne ĉiam unika, kaj pro tio ne estas bone difinita ĝenerale.

Neegalaĵo pri meznombro kaj mediano

Por kontinua probablodistribuo, la diferenco inter la mediano kaj la meznombro estas malpli granda ol aŭ egala al norma diferenco. Vidu en neegalaĵo pri lokaj kaj skalaj parametroj.

Kalkulado

Kvankam ordiga algoritmo por n aĵoj prenas ĝenerale O(n log n) operaciojn, per uzo de divida kaj rega algoritmo la mediano de n aĵoj povas esti komputita per nur O(n) operacioj. Oni povas trovi la k-an ero de listo de valoroj per ĉi tiu maniero; ĉi tio estas la elektada algoritmo.

Vidu ankaŭ

• Absoluta devio
• Mediana filtrilo
• Elektada algoritmo
• Neegalaĵo pri lokaj kaj skalaj parametroj
• Aritmetika meznombro
• Geometria meznombro
• Harmona meznombro
• Kvadrata averaĝo
• Reĝimo (statistiko)
• Mediano (geometrio)

Eksteraj ligiloj

• Statistika mediano je MathWorld
• Mediano de distribuo en PlanetMath.
• Mediano Arkivigite je 2007-10-30 per la retarkivo Wayback Machine
• Mediano kiel pezita aritmetika meznombro de ĉiuj observoj Arkivigite je 2007-08-10 per la retarkivo Wayback Machine
• Surlinia kalkulilo
• Kalkulado de la mediano Arkivigite je 2007-06-04 per la retarkivo Wayback Machine
• A Problemo engaĝanta meznombron, medianon kaj reĝimon.