Bijektiivne funktsioon

Bijektiivne funktsioon f: X → Y, kus hulk X on {1, 2, 3, 4} ja hulk Y on {A, B, C, D}. Näiteks, f(1) = D.

Bijektiivne funktsioon ehk bijektiivne kujutus ehk bijektsioon ehk üksühene vastavus on funktsioon $f:X\to Y$, mille korral iga element sihthulgast $Y$ on vastavuses täpselt ühe elemendiga lähtehulgast $X$ ja vastupidi. Vastavalt sellele on bijektsioon binaarne seos kahe hulga vahel, kus igal elemendil kummastki hulgast on täpselt üks paariline teises hulgas.

Funktsioon on bijektiivne parajasti siis, kui see on pöördfunktsioon. See tähendab, et funktsioon $f:X\to Y$ on bijektiivne parajasti siis, kui eksisteerib funktsioon $g:Y\to X,$ mis on omakorda funktsiooni $f$ pöördfunktsioon, nii et kahe funktsiooni liitfunktsioon on samasusfunktsioon: $g(f(x))=x$ iga $x$ puhul hulgas $X$ ja $f(g(y))=y$ iga $y$ puhul hulgas $Y$.

Näiteks kahega korrutamine on bijektsioon täisarvude ja paarisarvude vahel, mille pöördfunktsioon on kahega jagamine.

Funktsioon on bijektiivne parajasti siis, kui ta on nii injektiivne (igale elemendile sihthulgast vastab kuni üks element lähtehulgast) ja sürjektiivne (igale elemendile sihthulgast vastab vähemalt üks element lähtehulgast).

Bijektiivset funktsiooni hulgast iseendasse kutsutakse ka permutatsiooniks ning ühe hulga kõik permutatsioonid moodustavad selle hulga sümmeetrilise rühma.

Definitsioon

Selleks, et binaarne seos hulkade X ja Y elementide vahel oleks bijektsioon, peavad neli omadust olema tõesed:

1. iga element hulgas X peab olema paaris vähemalt ühe elemendiga hulgast Y,
2. mitte ükski element hulgas X ei tohi olla paaris rohkem kui ühe elemendiga hulgast Y,
3. iga element hulgas Y peab olema paaris vähemalt ühe elemendiga hulgast X ning
4. mitte ükski element hulgas Y ei tohi olla paaris rohkem kui ühe elemendiga hulgast X.

Kui omadused (1) ja (2) on tõesed, on tegu funktsiooniga sihthulgast X. Omadused (1) ja (2) on sageli kirjutatud ka nii: iga element hulgast X on paaris täpselt ühe elemendiga hulgast Y. Funktsioonid, millel on omadus (3) on surjektiivsed (ehk surjektsioonid) ning funktsioonid, millel on omadus (4) on injektiivsed (ehk injektsioonid).

Allikad

• Hall, Marshall Jr. (1959). The Theory of Groups. MacMillan.