Come ho già menzionato, ho scoperto con non poca sorpresa che a scuola non insegnano piú la prova del nove, e benché la pagina Wikipedia dica già tutto quello che c'è da dire, ho deciso di inaugurare proprio con questa la mia serie sulla “scuola dimendicata”.

Cos'è

Cos'è quindi la prova del nove? È un meccanismo semplice e veloce per verificare la correttezza di un'operazione. La verifica non è completa (nel senso che non coglie alcuni errori: ha falsi positivi), ma se fallisce siamo sicuri di aver commesso uno sbaglio (non ha falsi negativi).

Come funziona

La prova del nove funziona sommando tra loro le cifre di ciascun operando, eliminando i 9, fino ad ottenere due numeri ad una cifra (riduzione che rappresenteremo con il simbolo $\equiv$). Se l'operazione tra questi operandi ridotti dà un risultato diverso dalla riduzione del risultato originale, abbiamo commesso un errore, altrimenti il risultato è probabilmente giusto (ma potrebbe essere comunque sbagliato).

Esempio

Abbiamo provato a calcolare $1024\times 768$ e ci è venuto $785432$.

Come prima cosa, riduciamo gli operandi ed il risultato.

Riduzione di 1024:

$$1024\equiv 1+0+2+4=1+2+4=3+4=7.$$

Riduzione di 768 (qui sfruttiamo il fatto che possiamo fare riduzioni parziali intermedie, trasformando il $13$ in $1+3=4$):

$$768\equiv (7+6)+8=13+8\equiv 4+8=12\equiv 3.$$

Riduzione di 785432 (qui sfruttiamo il fatto che nelle riduzioni parziali possiamo direttamente eliminare 0 e 9):

$$785432\equiv (7+8)+5+4+(3+2)=15+5+(4+5)=20+9\equiv 2.$$

(Notate come avremmo potuto anche continuare $20+9=29\equiv 11\equiv 2$, facendo però piú operazioni.)

Se moltiplichiamo i nostri operandi ridotti otteniamo $7\times 3=21$, che ridotto ulteriormente viene $3$: sappiamo quindi che abbiamo commesso un errore, perché la riduzione del risultato ($2$) è diversa dal risultato applicato agli operandi ridotti ($3$). La prova ci dice anzi qualcosa di piú: probabilmente l'errore che abbiamo commesso è una sottostima di una delle cifre, poiché $2<3$. (Il risultato corretto della moltiplicazione è infatti $786432$, non $785432$.)

Rappresentazione

Convenzionalmente, la prova del nove viene rappresentata in uno schemino con quattro numeri “in croce”: si traccia una croce (＋), nelle caselle superiori si mettono le riduzioni degli operandi, in quella in basso a sinistra la riduzione del risultato, ed in quella in basso a destra il risultato ottenuto operando sulle riduzioni:

Alle quattro operazioni

La prova del nove può essere applicata ad addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione. Per le due operazioni inverse (sottrazione e divisione) conviene però applicarla al contrario.

Invece di verificare una sottrazione, verificate se la somma della riduzione di differenza e sottraendo vi dà la riduzione del minuendo. Ad esempio per verificare se $1024-768=256$ (ridotti: $7-3=4$) controllate se $256+768=1024$ (ridotti: $4+3=7$).

Questo è particolarmente importante per la divisione con resto. Abbiamo infatti che $2048:768=2$ con resto $512$, ma se facciamo l'operazione sulle riduzioni degli operandi ($5:3$) otteniamo $1$ con resto di $2$, che sembrerebbe indicare un errore1, mentre se verifichiamo che $768\times 2+512=2048$ in forma ridotta abbiamo

$$3\times 2+8=6+8=14=5,$$

che corrisponde alla riduzione del dividendo $2048$.

Nessuno è perfetto

Si può sbagliare anche nella prova del nove. Errare è umano, e anche sommando tanti numeri piccoli si può sbagliare. Ad esempio, mentre scrivevo il paragrafo di esempio sulla moltiplicazione avevo inizialmente sbagliato a fare la riduzione del risultato, ed ero arrivato ad una riduzione di $5$: in questo caso avrei comunque osservato una discrepanza, ma sarebbe stato un caso (e mi sono accorto dell'errore perché avendo costruito io l'esempio sapevo già che la riduzione del risultato errato doveva darmi $2$, avendo intenzionalmente cambiato una cifra in difetto).

Quindi in caso di discrepanza, come prima cosa ricontrollate le riduzioni! Sono piú facili da ricontrollare dell'operazione originale (soprattutto nel caso della moltiplicazione).

Ma soprattutto, ricordatevi che la prova del nove non trova tutti gli errori. Se avessimo sbagliato la nostra moltiplicazione ottenendo $768432$ invece del risultato corretto $786432$, non ci saremmo accorti di aver sbagliato, poiché:

$$7+6+8+4+3+2=7+8+6+4+3+2,$$

per la proprietà commutativa dell'addizione.

BONUS: la prova dell'undici

Esiste una prova simile alla prova del nove, e che non insegnavano a scuola nemmeno ai miei tempi, che è la prova dell'11.

Se vi ricordate il criterio di divisibilità per 9, questo consisteva nel sommare tutte le cifre, ripetutamente, fino ad ottenere un numero che fosse un multiplo di 9, o per il quale fosse facile verificare che non era un multiplo di 9. Il parallelo tra il criterio di divisibilità per 9 e la riduzione dei numeri nella prova del nove non è un caso, ed è legata all'aritmetica modulare, che sta alla base della prova e che non andrò qui a spiegare.

Piuttosto, se vi ricordate, esiste anche un criterio di divisibilità per 11, che consiste nell'alternare somme e differenze, partendo dalla cifra meno significativa: bene, sulla stessa falsariga si può fare una prova dell'undici.

Torniamo al nostro esempio di $1024\times 768$. In questo caso le nostre riduzioni vanno fatte in questa maniera alternata, e bisogna ricordarsi, nel caso in cui un numero venga negativo, di prendere il suo complementare con (ovvero aggiungere) $11$.

La riduzione di $1024$ è $4-2+0-1=4-3=1$.

La riduzione di $768$ è $8-6+7=2+7=9$.

Il prodotto dei numeri ridotti è $1\times 9=9$.

La riduzione di $785432$ è2:

$$785432\equiv 2-3+4-5+8-7=14-15=-1\equiv 10,$$

dove abbiamo applicato la correzione per il numero negativo. Sapevamo già che questo risultato era sbagliato dalla prova del nove, e questo lo conferma.

La riduzione del risultato corretto $786432$ è:

$$786432\equiv 2-3+4-6+8-7=14-16=-2\equiv 9,$$

che corrisponde al prodotto dei fattori ridotti.

Infine, se controlliamo la riduzione del risultato errato $768432$, che la prova del nove dava come falso positivo, abbiamo:

$$768432\equiv 2-3+4-8+6-7=12-18=-6\equiv 5,$$

che è diverso dal prodotto dei fattori ridotti: la prova dell'undici riconosce un errore che la prova del nove non può riconoscere.

Quale prova?

Esistono errori che la prova del nove trova e la prova dell'undici non trova?

Tecnicamente è possibile: può succedere ad esempio se sbagliamo due cifre consecutive (o comunque una di posto pari ed una di posto dispari) della stessa quantità. Un esempio di risultato errato che il 9 trova e l'11 no è il seguente, costruito “ad arte”:

Prendiamo $11\times 171=1771$ invece del corretto $1881$.

Nella prova del nove abbiamo: $2\times 0=0$ e $1771$ riduce a $7$, quindi sappiamo che è sbagliato.

Nella prova dell'undici, la riduzione di $11$ è 0, e la riduzione di $171$ è $1-7+1=-5\equiv 6$, quindi abbiamo: $0\times 6=0$, ma la riduzione di $1771$ è $1-7+7-1=0$: la prova dell'undici non trova l'errore.

Detto questo, è molto difficile che errori simili si verifichino in calcolo manuali, per cui alcuni considerano la prova del nove “superflua” avendo a disposizione la prova dell'undici, che trova piú errori “comuni” di quella del nove.

D'altra parte, è anche vero che la prova del nove è molto piú semplice (tutte somme, non bisogna alternare con il segno, non bisogna “correggere” eventuali risultati negativi, è facile eliminare i 9); e questo è il motivo per cui la prova del nove veniva insegnata a scuola, ai miei tempi fin dalle elementari, senza dovercisi preoccupare di spiegare i numeri negativi o l'aritmetica modulare.

Quesito

Primus inter pares

Risposta

Il numero due

Introduzione

In risposta ad un sondaggio semiserio che chiedeva quanti venti si conoscessero, ho fatto un mio sondaggio ancora meno serio su quanti “venti” si conoscessero; per limiti della piattaforma (Mastodon) su cui ho il mio account, il sondaggio prevedeva solo quattro possibili risposte, a cui ho poi aggiunto altri due “pezzi” del sondaggio (a risposta multipla), portando il numero di possibili risposte a dodici:

• 14
• 20
• 24
• XX
• 10100
• 202
• 1T1T
• 1000010.010001
• 40
• 1T0
• 26
• 3T

Di queste, tutte hanno ricevuto almeno una risposta, con l'eccezione di $1000010.010001$ e $3T$. In molti hanno “capito” il gioco, e qualcuno ha anche “svelato” il segreto (dietro opportuna copertura), ma ritengo sia opportuna una mia spiegazione.

Il gioco consisteva nello scrivere il numero venti in tanti modi diversi, e capire come fosse scritto. I modi proposti possono essere grossolanamente raccolti in quattro gruppi, che richiedono ciascuno la sua spiegazione:

1. il primo gruppo ha come unico membro la forma: XX
2. il secondo gruppo ha come membri: 14, 20, 24, 10100, 202, 40, 26
3. il terzo gruppo ha come membri: 1T1T, 1T0, 3T
4. il quarto gruppo ha come unico mebro: 1000010.010001

Andiamoli dunque a vederli in dettaglio.

Primo gruppo: i numeri romani

Immagino che per il mio pubblico italiano non avrò particolare bisogno di “spendermi” sul sistema di numerazione romano.

Brevemente, ricordo che esso è composto dai simboli

I, V, X, L, C, D, M

o piú propriamente

Ⅰ, Ⅴ, Ⅹ, Ⅼ, Ⅽ, Ⅾ, Ⅿ

se avete un font che supporta abbastanza Unicode (ed è possibile che non vediate la differenza), del valore rispettivamente di uno, cinque, dieci, cinquanta, cento, cinquecento, mille.

Gli altri numeri sono composti per “accostamento”, con fino a 3 simboli uguali consecutivi (in realtà, si trovano anche scritte con 4 simboli consecutivi uguali) i cui valori vanno sommati; un singolo simbolo di valore inferiore viene invece premesso per indicare che il valore va sottratto. Abbiamo cosí che i numeri da uno a dodici sono scritti come:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII

ovvero

Ⅰ, Ⅱ,Ⅲ, Ⅳ, Ⅴ, Ⅵ, Ⅶ, Ⅷ, Ⅸ, Ⅹ, Ⅺ, Ⅻ

usando Unicode (curiosità: lo Unicode ha codici per i numeri romani da uno a dodici, e poi per cinquanta, cento, cinquecento e mille, piú qualche variante, ma non per altre combinazioni, come quella per il venti).

Il numero venti, di nostro interesse, sarà quindi scritto come

XX

ovvero

ⅩⅩ

al solito (ma ora basta perdere tempo con i numerali romani Unicode perché mi pesa scriverli, e la maggior parte dei miei lettori non vedrà la differenza).

Secondo gruppo: una questione di base

Il lettore attento avrà notato che finora, parlando di numeri, ho preferito scriverne il valore in lettere. Il motivo —abbastanza ovviamente— è che affidarmi alla comune grafia “in cifre” avrebbe completamente fatto saltare il banco per questo secondo gruppo, dove il gioco è proprio il fatto che lo stesso valore può essere rappresentato con combinazioni di cifre diverse a seconda della base di numerazione.

L'idea del sistema di numerazione arabo è quello di adottare dieci simboli, che nell'era moderna sono per il mondo occidentale

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

con valore crescente da zero a nove. Queste cifre possono essere combinate in sequenze come ad esempio 1234 che noi leggiamo «mille duecento trenta quattro»: il valore di una cifra in un numero dipende dalla sua posizione, ed in questo esempio abbiamo quattro unità (4 nella posizione meno significativa), tre decine (3 nella posizione successiva, da destra verso sinistra, in ordine di valore), due centinaia (ovvero decine di decine, nella posizione successiva), ed infine un migliaio (ovvero decina di centinaia, nella posizione piú significativa).

Il motivo per cui si parla di decine (e decine di decine, etc) è che il sistema di numerazione arabo è un sistema decimale, con dieci cifre, che quindi richiede uno spostamento di posizione ogni dieci.

Nello stesso modo si possono avere sistemi di numerazione in qualunque base intera maggiore di uno (esiste il sistema numerico unario ma non è posizionale, quindi non ne parliamo).

L'idea è che data una base $b$ (con $b$ un qualunque intero maggiore di uno) e date $b$ cifre, una combinazione di cifre andrà letta da destra verso sinistra considerando unità, multipli della base, multipli del quadrato della base, multipli del cubo della base, e cosí via. Se la base $b$ è non superiore a dieci, per convenzione si usano i simboli da 0 alla cifra precedente il valore della base; per basi maggiori di dieci (le piú comuni sono sedici e dodici) si usano spesso delle lettere; nell'esadecimale, ad esempio, i simboli

A, B, C, D, E, F

rappresentano le cifre con valori da dieci a quindici; per le possibili scelte adottate nel sistema dozzinale, rimando alla relativa pagina Wikipedia.

Facendo un esempio concreto, in un sistema di numerazione in base cinque, con i soliti simboli (0, 1, 2, 3, 4), il numero 1234 rappresenta quattro unità, tre cinquine, due venticinquine ed una centoventicinquina, rappresentando in numeri romani il numero:

IV + III × V + II × XXV + CXXV = CXCIV

ovvero il numero centonovantaquattro. Se indichiamo la base in pedice, come consuetudine, ma rappresentandola con i numeri romani per evitare confusione sui simboli, abbiamo quindi

$${1234}_V={194}_X$$

Il nostro “gioco del venti” sarà quello di indovinare in quale base ciascuna delle combinazioni di cifre proposte rappresenta il numero venti (due decine).

Ricordiamo che a questo gruppo appartengono le combinazioni:

14, 20, 24, 10100, 202, 40, 26

e che la seconda è ovviamente quella con cui abbiamo tutti familiarità (20 è il numero venti in base dieci).

Anche chi non ha troppa dimestichezza con il binario (sistema di numerazione in base due, che ha come unici simboli 0, 1) può facilmente sospettare che 10100 possa essere il venti in base due. La cosa può essere confermata ricordando che venti si può scomporre in sedici piú quattro, dove sedici è la quarta potenza di due, e quattro la seconda potenza: nel sistema binario, avremo quindi “una quarta potenza di due” (un 1 in quinta posizione da destra, perché la prima posizione rappresenta le unità, ovvero la potenza zero della base), ed “una seconda potenza di due” (un 1 in terza posizione da destra), ovvero proprio 10100.

Per la base di rappresentazione delle altre potremmo andare cosí a tentativi, ricordandoci che se il numero sembra piú “piccolo” la base è maggiore, e viceversa. Possiamo quindi ipotizzare che il 14 sia in una base maggiore di dieci, e tutti gli altri in una base minore.

C'è in verità un trucchetto che può tornarci utile per capire qual è la base, poiché sappiamo qual è il valore: scomporre il numero nelle sue componenti posizionali e risolvere l'equazione che pone il tutto uguale a venti.

Applichiamo per cominciare (e come esempio) la procedura al 14. Usando i numeri romani per indicare i valori senza confonderci con le basi:

$$14=XX\Rightarrow I\times b+IV=XX\Rightarrow b=XX-IV\Rightarrow b=XVI$$

ovvero: 14 è venti in base sedici. Analogamente:

$$24=XX\Rightarrow II\times b+IV=XX\Rightarrow II\times b=XX-IV\Rightarrow b=\frac{XVI}{II}=VIII$$

ovvero: 24 è venti in base otto.

Per quanto riguarda il 202, dobbiamo considerare che qui abbiamo cifre in terza posizione, che rappresentano la base al quadrato. Quindi:

$$202=XX\Rightarrow II\times b^{II}+II=XX\Rightarrow b^{II}+I=X\Rightarrow b^{II}=IX\Rightarrow b=III$$

ovvero: 202 è venti in base tre.

È cosí molto facile vedere che 40 è venti in base cinque (quattro volte la base dà venti, quindi la base è un quarto di venti, cioè cinque), ed infine il 26 non può che essere venti in base sette (metà di quattordici, che è venti meno sei).

Una tabella riepilogativa, ordinata per base ed aggiungendo qualche base mancante che potrebbe comunque essere interessante abbiamo quindi che:

Per ovvie ragioni non continuiamo con basi maggiori di venti, dove vi sarebbe una cifra dedicata specificamente a questo valore.

Una curiosità: in tutte le basi da due a venti, il numero venti può essere rappresentato con le sole cifre decimali, anche in basi maggiori di dieci. Ed interpretando il numero come se fosse un numero decimale si vede come questo scenda inizialmente molto velocemente (da 10100 a 202 è un fattore cinquanta), poi piú lentamente (un fattore circa due fino a 40), poi di un semplice otto, poi di un sei, e poi ripetutamente di un due fino a 20 (in base dieci), e poi ancora di uno per base fino al 10 in base venti.

Terzo gruppo: bilanciamoci

Per introdurre il terzo gruppo, i cui membri sono —ricordiamo—

1T1T, 1T0, 3T

bisognerebbe capire cosa rappresenta quel simbolo T.

Abbiamo osservato come per i sistemi posizionali in una data base $b$ siano necessari $b$ simboli. Tipicamente, questi hanno valori che vanno da zero (0) al valore immediatamente precedente la base (ad esempio, in base dieci da zero a nove, in base tre da zero a due). Tuttavia, nel caso in cui la base sia dispari, oltre allo zero abbiamo un numero pari di simboli. Cosa succede allora se invece di distribuirli tutti “dallo stesso lato” (rispetto allo zero) li distribuiamo “metà prima e metà dopo”?

Si ottiene cosí una rappresentazione in una base detta “bilanciata”, e la peculiarità è che in questo caso metà dei simboli avranno valori negativi. Cosí ad esempio nel sistema numerico ternario bilanciato avremo simboli che rappresentano i valori “da meno uno a piú uno”, nel sistema quinario bilanciato avremo simboli che rappresentano i valori “da meno due a piú due” in quello undecimale (base undici) bilanciato avremo simboli che rappresentano i valori “da meno cinque a piú cinque” e cosí via.

Il problema grosso diventa qui di tipo tipografico: come rappresentare facilmente le cifre con valore negativo? Alcune convenzioni sono di utilizzare le medesime cifre positive, ma riflesse verticalmente o ruotate “a testa in giú”, oppure con una barra sopra (integrandovi cosí il segno meno). Nel caso specifico del sistema ternario bilanciato, la convenzione piú comune è di utilizzare il simbolo T per rappresentare “meno uno”.

Come si dovrebbe quindi scrivere venti in ternario bilanciato? Ricordiamo che nel sistema ternario “normale” (non bilanciato) il numero venti si scrive 202 (due unità, piú due quadrati di tre). Ma il simbolo 2 non esiste nel ternario bilanciato: invece di avere due unità, avremo una terzina meno una unità: 1T. Allo stesso modo, non potremo avere due nove (quadrati di tre): avremo invece un cubo di tre meno un quadrato di tre: 1T00 (ventisette meno nove fa infatti diciotto). Il nostro 202 in ternario non bilanciato diventa 1T1T in ternario bilanciato: laddove il non bilanciato scompone il venti in diciotto piú due, il bilanciato lo scompone in ventisette meno nove piú tre meno uno.

Sembra strano? È ventisette meno sette, dove sette è sei piú uno, dove sei è nove meno tre:

$$1000-((100-10)+1)=1000-100+10-1$$

e nel ternario bilanciato, l'opposto si ottiene semplicemente scambiando 1 e T.

Cosa succede nelle altre basi dispari? Vediamo ad esempio in base cinque bilanciata: ricordiamo che in questo caso non possiamo avere piú di due di qualcosa. Il nostro venti dovrebbe essere quattro cinquine, ma questo non è possibile: dovremo quindi partire da una venticinquina (cinque al quadrato) e poi togliere una cinquina: possiamo ancora riciclare la T per rappresentare “meno uno”, ed il nostro venti diventa 1T0.

Ed in base sette? Stavolta non possiamo avere piú di tre di qualcosa, quindi non possiamo scomporre il venti in due volte sette piú sei: dovremo scomporlo in tre volte sette (ventuno) meno uno: 3T.

Curiosamente, in base nove bilanciata la rappresentazione rimane 22, poiché sono entrambe cifre presenti nella versione bilanciata.

La questione si fa piú spinosa nel caso della base undici: nel caso bilanciato, le cifre avranno valori “da meno cinque a piú cinque”, quindi non potremo rappresentare il venti come “undici piú nove”: dovremmo rappresentarlo come due volte undici meno due. E non esiste una convenzione grafica normale per la cifra con valore meno due. Potremmo però inventarne una sul momento, adottando la Z per rappresentare “meno due”, sicché venti diventerebbe 2Z.

L'unica vera rogna è la base tredici: in base bilanciata avremo cifre con valori da meno a piú sei, sicché il venti dovrebbe essere scritto come due volte tredici meno sei, ma che simbolo adottare per la cifra “meno sei”? Per questo motivo, nella tabella seguente ci affideremo invece alla convenzione di soprasegnare le cifre negative:

(non mi è chiaro perché vengono formattati in maniera diversa i blocchi con cifre negative, ma questo non è un problema da risolvere alle 11 di sera, quindi sarà per un'altra volta).

Quarto gruppo: il mistero del punto

L'ultimo venti da studiare (per oggi) è lo stranissimo

1000010.010001

che in Italia ed altri paesi dove si predilige l'uso della virgola come separatore “decimale”, sarebbe meglio scritto come

1000010,010001

o ancor meglio come

1 000 010,010 001

per aumentarne la leggibilità.

Ma cos'è questa follia? Come può un numero intero richiedere una parte frazionaria per essere rappresentato?

Il segreto è nella “magica” sezione aurea. Vi ricordate “il medio proporzionale tra il tutto e la parte rimanente”? Dalla proporzione

$$1:\Phi =\Phi :(1-\Phi )$$

si ottiene l'equazione

$${\Phi }^2=1-\Phi$$

che ha soluzione, espressa in base dieci:

$$\Phi =\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$$

La sezione aurea è proprio il rapporto $\varphi =1:\Phi$ (il valore Phi è detto coniugato della sezione aurea) e vale (ancora espressa in base dieci):

$$\varphi =\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1+\Phi .$$

L'aspetto particolare di $\varphi$ è che soddisfa l'equazione

$${\varphi }^2=1+\varphi$$

da cui, piú in generale

$${\varphi }^{n+1}={\varphi }^n+{\varphi }^{n-1}$$

ovvero: la somma di due potenze consecutive di $\varphi$ equivalgono alla potenza successiva (proprietà di normalizzazione).

Una delle tante peculiarità di $\varphi$ è che è possibile esprimere ogni numero intero come somma di sue potenze positive e negative (ovvero potenze di $\varphi$ e potenze di $\frac{1}{\varphi }=\Phi$).

Come? Facciamo qualche esempio.

Abbiamo ovviamente ${\varphi }^0=1$ (è vero per ogni numero diverso da zero, e quindi anche per $\varphi$).

Per le proprietà di $\varphi$ e $\Phi =\frac{1}{\varphi }$ abbiamo

$${\varphi }^2=1+\varphi$$

$${\Phi }^2=1-\Phi$$

e quindi

$${\varphi }^2+{\Phi }^2=2+\varphi -\Phi$$

da cui

$$2={\varphi }^2-\varphi +\Phi +{\Phi }^2=1+\Phi +{\Phi }^2={\varphi }^0+{\varphi }^{-1}+{\varphi }^{-2}=\varphi +{\varphi }^{-2}$$

dove l'ultima uguaglianza viene dalla proprietà di normalizzazione applicata alla potenza $n=0$.

Cosí procedendo possiamo continuare per i successivi numeri naturali:

$\begin{array}{ll}3=2+1& =\varphi +{\varphi }^{-2}+1={\varphi }^1+{\varphi }^0+{\varphi }^{-2}={\varphi }^2+{\varphi }^{-2}\\ 4=2^2& ={\varphi }^2+2\varphi {\varphi }^{-2}+{\varphi }^{-4}={\varphi }^2+(\varphi +{\varphi }^{-2}){\varphi }^{-1}+{\varphi }^{-4}=\\ & ={\varphi }^2+1+{\varphi }^{-3}+{\varphi }^{-4}={\varphi }^2+{\varphi }^0+{\varphi }^{-2}\\ 5=4+1& ={\varphi }^2+1+{\varphi }^{-2}+1={\varphi }^2+2+{\varphi }^{-2}={\varphi }^2+\varphi +{\varphi }^{-2}+{\varphi }^{-2}=\\ & ={\varphi }^3+2{\varphi }^{-2}={\varphi }^3+(\varphi +{\varphi }^{-2}){\varphi }^{-2}={\varphi }^3+{\varphi }^{-1}+{\varphi }^{-4}\end{array}$

e cosí via.

Questa particolarissima proprietà della sezione aurea permette di definire quella che si chiama la base aurea, un sistema di numerazione posizionale in cui la base è $\varphi$ e i simboli ammessi sono solo 0 (come coefficiente delle potenze della base che mancano nella rappresentazione) e 1 (dove invece la base è presente), con il separatore decimale a separare le potenze positive da quelle negative.

Dall'espansione in somme di potenze di $\varphi$ dei primi cinque numeri abbiamo quindi la loro rappresentazione aurea (permettetemi qui di usare il punto come separatore decimale, e la virgola come separatore della successione):

1, 10.01, 100.01, 101.01, 1000.1001

Abbiamo ora tutti gli elementi per calcolarci la rappresentazione aurea del venti. Abbiamo infatti:

$\begin{array}{ll}20=4\cdot 5& =({\varphi }^2+{\varphi }^0+{\varphi }^{-2})\cdot ({\varphi }^3+{\varphi }^{-1}+{\varphi }^{-4})=\\ & ={\varphi }^5+\varphi +{\varphi }^{-2}+{\varphi }^3+{\varphi }^{-1}+{\varphi }^{-4}+\varphi +{\varphi }^{-3}+{\varphi }^{-6}=\\ & ={\varphi }^5+{\varphi }^3+2\varphi +{\varphi }^{-1}+{\varphi }^{-2}+{\varphi }^{-3}+{\varphi }^{-4}+{\varphi }^{-6}=\\ & ={\varphi }^5+{\varphi }^3+2\varphi +{\varphi }^0+{\varphi }^{-2}+{\varphi }^{-6}=\\ & ={\varphi }^5+{\varphi }^3+{\varphi }^2+{\varphi }^{-1}+{\varphi }^0+{\varphi }^{-2}+{\varphi }^{-6}=\\ & ={\varphi }^5+{\varphi }^4+\varphi +{\varphi }^{-2}+{\varphi }^{-6}=\\ & ={\varphi }^6+\varphi +{\varphi }^{-2}+{\varphi }^{-6}\end{array}$

da cui la rappresentazione aurea 1000010.010001 con la sua affascinante quasi simmetria.

(Non) finisce qui

Ovviamente quelli presentati qui sono solo una misera frazione di tutte le rappresentazioni possibili per il numero venti. Esistono dopo tutto una miriade di sistemi di numerazioni e di simbologie per la rappresentazione delle cifre (anche già solo i famosi numeri arabi hanno una controparte “orientale” le cui cifre, pur avendo lo stesso valore, hanno una diversa veste grafica (٠١٢٣٤٥٦٧٨٩). A questi possiamo aggiungere i sistemi di numerazione passati e presenti di ogni parte del globo, dal greco antico all'ebraico, dal glagolitico al cinese, dal cistercense al giapponese.

Ma s'è fatta una certa, e qui si rischia di non finire piú.

I recently came across this interesting article (blog post?) from the Fediverse showing a nifty trick to compute multiples of π by relying on only two products: by 3, and by 14. I encourage you to read the article if you're interested in the method because it's crystal clear, whereas I'm going to muddy the waters a bit, throwing my considerations at it.

The reason why the proposed idea works is that the first digits of the fractional part of the decimal expansion of $\pi$ can be expressed as multiples of 14. Indeed, the fractional part of $\pi =3.14159265359...$

This effectively means that

$$\pi =3.14159265359...=3+14\cdot {10}^{-2}+14\cdot {10}^{-4}+14\cdot {10}^{-5}+...$$

and thus

$$k\cdot \pi =3k+14k\cdot ({10}^{-2}+\cdot {10}^{-4}+\cdot {10}^{-5}+...)$$

which is interesting because ${10}^{-x}$ means “shifting your results right by $x$ digits”, which is particularly nice if $k$ is an integer up to 7, and thus $7k$ has two digits, and the first two terms in the expansion are shifted by two and four digits (no need to take any actual summation).

Let's make the example with $k=7$, and try to compute

$$7\pi =21.991148575...$$

This may seem to be an arbitrary divergence from Cook's example, but is actually needed to discuss one of the limitations of the approach: spillover. We have $3k=21$, $14k=98$, and thus the first terms (up to what Cook's calls the simplest approach) are:

$$7\pi \approx 21.9898$$

(relative error is $<6.2\cdot {10}^{-5}$ —note that this is the same found by Cook, even though he discusses the absolute error instead)

Things get a bit hairier on the first refinement, because the value of $14k$ now needs to be shifted by one more digit, not two. And while in Cook's example with $k=4$ he has $14k=56$ and $560+56=616$ (remove the last two digits, replace with the new three digits) in our case there's a bit of a spillover: $980+98=1078$, so this refinement doesn't lend itself to a simple substitution of the last two digits:

$$7\pi \approx 21.99078$$

(relative error $<1.7\cdot {10}^{-5}$.)

The next refinement is a bit more involved, because (you may notice the $7$ in the tableau at the top of this article) it involves halving our $14k$ —which, coincidentally, is always possible because $14$ is even— and adding it in the same place. In our case, this means adding another $49$ to the last two digits, and once again we have a small spillover (luckily into a $0$):

$$7\pi =21.99127.$$

The relative error is now $<5.6\cdot {10}^{-6}$, more than order of magnitude better than the initial result, and —interestingly— it is now an overestimation.

Alternatives

If you go read the Fediverse thread, you'll notice that I raised the question of the comparison with approximations compute from the well-known rational approximations of $\pi$, i.e.

$$\frac{22}{7}=3+\frac{1}{7}$$

and

$$\frac{355}{113}=3+\frac{16}{113}=3+\frac{1}{7}-\frac{1}{791}$$

Aside from the somewhat contrived case of $k=7$ I'm using here an example, multiples of these fractions would be harder to compute, as observed by Bill Ricker, although the multiple of $355/113$ would still be more accurate.

What is interesting is that the second refinement presented by Cook can be further refined, e.g. by replacing the last “half $14k$” contribution with a “3/8th of $14k$” contribution. This is less trivial to compute, unless we consider that $3/8=1/2-1/8$, so we can correct Cook's refinement by subtracting the “half $14k$ divided by 4”, which in our case is $49/4=12.25$.

Even if we truncate this to $12$, the fixup gives us

$$7\pi \approx 21.99115$$

with a relative error that is now $<6.5\cdot {10}^{-8}$, which is now two orders of magnitude lower. (The actual correction would be $7\pi \approx 21.9911475$ with a relative error $<5\cdot {10}^{-8}$.)

What is impressive about this particular result is that the relative error is not only of the same order as the one given by the $355/113$ approximation, but actually slightly better (the relative error for $355/113$ is closer to $8.5\cdot {10}^{-8}$).

A summary

To get a good approximation of a multiple of $\pi$:

1. multiply by 3 (call this $u$);
2. multiply by 14 (call this $f$);
3. add: $u$,
   $f$ shifted by 2 digits,
   $f$ shifted by 4 digits,
   $f$ shifted by 5 digits;
4. bonus: add
   $f/2$ shifted by 5 digits;
5. extra: subtract
   $f/8$ shifted by 5 digits
   (note that $f/8$ can be computed as $\left(\frac{f}{2}\right)/4$).

An alternative to the last two points, getting to the same results, would be to add $f/4+f/8$ (this time computing $f/8$ as half of $f/4$) shifted by 5 digits.

Let's apply to this to Cook's example for $4\pi$:

1. $4\times 3=12$;
2. $4\times 14=56$;
3. $12+0.56+0.0056+0.00056=12.56616$;
4. bonus: $56/2=28\Rightarrow 12.56644$
   (note that Cook's post has a couple of typos in this line; absolute error is still $<7\cdot {10}^{-5}$);
5. extra: $28/4=7\Rightarrow 12.56637$
   (absolute error is now $<6.2\cdot {10}^{-7}$; note that the extra division by 4 is particularly easy to do in Cook's example).

with the possibility to replace 4. and 5. with

$$\frac{56}{4}=14,\frac{14}{2}=7\Rightarrow 12.56616+0.00014+0.00007=12.56630+0.00007=12.56637.$$

Note however that $12.5663$ is slightly worse than $12.56644$ as an approximation (error $7.1\cdot {10}^{-5}$ rather than $<7\cdot {10}^{-5}$, in addition of being of the opposite sign.) Note also that the best approximation we've discussed so far ($12.56637$) is also the midpoint of these two.

Smallest doesn't mean easier to handle

I believe that one of the most important discoveries to which this trick has led me is the importance of the difference between the compactness of the (approximating) fraction and how easy it is to handle.

This isn't something entirely new to me (I've always known that in computing there are several series that help find out new digits of $\pi$ faster), but what I learned this time is how this maps to “human computing”.

If we write the full mathematical expression of the $\pi$ approximant that leads to the algorithm we just described we have:

$$\pi \approx 3+\frac{14}{100}\cdot (1+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}\cdot (1+\frac{1}{2}\cdot (1-\frac{1}{4}))) (\star )$$

which is considerably more complex than the expressions we have from the continued fraction expansion,

$$\pi \approx \frac{22}{7}=3+\frac{1}{7}$$

or even my beloved Milü

$$\pi \approx \frac{355}{113}=3+\frac{16}{113}=3+\frac{1}{7}-\frac{1}{791}=3+\frac{1}{7}\cdot (1-\frac{1}{113}).$$

Yet, except for particular cases, the divisions by $7$ and $113$ involved in the latter expressions are likely to be more complex than the “multiply by $14$, divide by $100$”, because the division by $100$ in the decimal system is a simple shift by two digits.

To wit, if we have computed $1/7$ for the $22/7$ approximation, it would be simpler to approximate $\pi$ as

$$\frac{2199}{700}=3+\frac{1}{7}-\frac{1}{700}=3+\frac{1}{7}\cdot (1-\frac{1}{100})$$

than with the $355/113$ expansion, since the last term is obtained simply by shifting by two digits the already computed division by $7$. Even $3+1/7-1/800$ (more accurate, but still not as much as $355/113$) would be faster than the full $355/113$ contribution.

Sevenths

Incidentally, here's an interesting fact:

$$\frac{1}{7}=0.\left(142857\right)=\frac{14}{100}+2\cdot \frac{14}{{100}^2}+4\cdot \frac{14}{{100}^3}+8\cdot \frac{14}{{100}^4}+...$$

and if we factor $14/100$ (recognize it yet?)

$$\frac{1}{7}=\frac{14}{100}\cdot (1+\frac{2}{100}+\frac{4}{{100}^2}+\frac{8}{{100}^3}+\cdots )=\frac{14}{100}\cdot \sum _{i=0}^{\infty }\frac{2^i}{{100}^i}.$$

Now, if we compute $1/7(1-1/100)$ as discussed above, we get

$$\frac{1}{7}(1-\frac{1}{100})=\frac{14}{100}\cdot (1+\frac{1}{100}+\frac{2}{{100}^2}+\frac{4}{{100}^3}+\cdots )$$

and you may notice that the first two terms are the same as the ones in the mind trick formula $(\star )$. Where they start to diverge is on the third term, which is $2/10000=1/5000$ here, but (after simplifications) $11/8000$ in the mind trick formula.

This divergence should not surprise, since $1/7-1/700$ is actually a pretty poor approximation for $\pi -3$. If we try $1/7-1/800$, the first terms are a bit more complex to compute:

$$\frac{1}{7}-\frac{1}{800}=\frac{1}{7}\cdot (1-\frac{7}{8}\cdot \frac{1}{100})=\frac{14}{100}\cdot (1+\frac{9}{8}\cdot \frac{1}{100}+\frac{25}{8}\cdot \frac{1}{{100}^2}+...)$$

but we can make it easier to compare with $(\star )$ by rearranging the terms as

$$\frac{1}{7}-\frac{1}{800}=\frac{14}{100}\cdot (1+\frac{1}{100}+\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{100}+\frac{25}{8}\cdot \frac{1}{{100}^2}+...)$$

so that the third term would be:

$$\frac{100}{8}\cdot \frac{1}{{100}^2}+\frac{25}{8}\frac{1}{{100}^2}=\frac{125}{8\cdot 10000}=\frac{1}{8\cdot 80}=\frac{1}{640}$$

(compare $125/80000$ to the mind trick's $110/80000$.)

Speed versus accuracy

One of the key point in determining the approach to use to find approximate values to multiples of $\pi$ is to take into account the accuracy of the multiplier.

As an example, assume we want to compute the circumference of the Earth, knowing that the radius is approximately $r=6500$ km. We want to compute $2\pi r$ or $13000\pi$.

One would be tempted to use the magic algorithm that has been the main topic of discussion of this article, but that would actually be a waste of brainpower in this case, since the approximation for the radius is quite large already: there's no need to compute $13000\pi$ to particularly high accuracy, and in fact in this case the $3+1/7$ approximation of $\pi$ is sufficient: the first part is trivial, $3\times 13000=39000$, and the rest is

$$\frac{13000}{7}=\frac{14000}{7}-\frac{1000}{7}\approx 2000-140$$

(the next term from $1/7$ would be $140/100$, already too precise) which gives us a circumference of some $40960$ km.

The attentive reader who remembers when the meter was defined as the 40-millionth part of the circumference of the Earth, will have noticed that we're way over the expected $40000$ km, which is due to the fact that the (average) Earth radius is actually less than $6400$. If we want to redo these computations, this time with $12800\pi$, we have:

$$3\times 12800=38400$$

and leveraging the approximation $200/7\approx 28$:

$$\frac{12800}{7}\approx 1828$$

giving us a circumference of $38400+1828=40228$, which is still too large (and for the curious: no, using a more accurate approximation wouldn't solve the issue, dropping it only to around $40212$.)

Reciprocal problem

Maybe it would be better to work things the other way: assuming we know that circumference is $40000$ km, can we work out a more accurate value of the radius? This means computing $20000/\pi$. This is actually another one of those cases where the simpler, harder to manipulate fractions are easier to use, since their reciprocal is $1/\pi$.

In our case

$$\frac{20000}{\pi }\approx 20000\cdot \frac{7}{22}=\frac{70000}{11}\approx 6364$$

(the division by $11$ is easy to do in mind: $66$ from $70$ is $4$, $33$ from $40$ is $7$, and then it repeats). This is actually a pretty good approximation to the actual Earth radius, that is closer to $6371$ km. (Note also that using actual $\pi$ here would only give marginally better results with an integer part of $6366$: our approximation is accurate enough.)

So this got me wondering: could we build an approximant to $\frac{1}{\pi }$ that is as easy to handle as $(\star )$ and the corresponding algorithm? From a quick look, the answer seems to be … “ish”. We have

$$\frac{1}{\pi }=0.318309886...$$

so from a cursory look the best candidate to replace the $14/100$ in $(\star )$ is $318/1000$, and our shifts will be of three rather than two digits:

$$\frac{1}{\pi }\approx \frac{318}{1000}\cdot (1+\frac{1}{1000}\cdot (1-\frac{3}{100}))$$

which is considerably less manageable than $(\star )$, especially after the second term, because of the three-digit numbers, although it does give us pretty low relative errors right from the start, approximately $9.74\cdot {10}^{-4},2.55\cdot {10}^{-5},4.48\cdot {10}^{-6}$ at the first, second and third term.

A more manageable candidate may seem like $32/100$, since

$$\frac{1}{\pi }\approx \frac{32}{100}\cdot (1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{100}-3\cdot \frac{1}{{100}^2}+\frac{2}{10}\cdot \frac{1}{{100}^2})$$

with relative errors of approximately $5.4\cdot {10}^{-3},2.8\cdot {10}^{-4},1.8\cdot {10}^{-5},1.6\cdot {10}^{-6}$ respectively for the first, second, third term, and fourth term. The big nuisance of this building block is that it seems to be built primarily around subtraction rather than addition, something which is harder to manage mentally compared to the “add by shift” of $(\star )$.

To compare let's try to compute the same $20000/\pi$ with the two approximations.

We have $2\cdot 318=636$, so the first two terms of using the $318/1000$

$$\frac{20000}{\pi }=10000\cdot \frac{2}{\pi }\approx 10000\cdot 0.636636=6366.36$$

(compare with actual result $6366.19772...$ to show the excellent result of this approximation.)

For $32/100$, we have $2\cdot 32=64$ and $3\times 64=252$, but:

$$\frac{20000}{\pi }=10000\cdot \frac{2}{\pi }\approx 10000\cdot (0.64-0.0032-0.000252+0.0000128)$$

that is:

$$\frac{20000}{\pi }=10000\cdot (0.64-0.003452+0.0000128)$$

and finally:

$$\frac{20000}{\pi }=6400-34.52+0.128=6365.48+0.128=6365.608$$

Ultimately, the fact that the expressions in this case are uglier and less manageable may just be the sign that computing the reciprocal of $\pi$ is an inverse problem. Or that I suck at these kind of things, especially at this hour.

Introduction

I first heard about this problem from the Stand-up Maths video on the topic and I found it utterly fascinating. I'm going to present here the problem, the solution, and finally discuss a more general version.

The problem

The problem is quite simple. Find the length of the perimeter of the following plane figure:

The shape is obtained by folding an A4 piece of paper (whose sides have lengths in a ratio of $1:\sqrt{2}$) two times: on one corner until the short side reaches the adjacent long side, and then again on the corner of the leftover rectangle, until the leftover on the long side touches the folded short side. Check Matt's video if you're confused, or consider the following picture: from the initial rectangle, fold diagonally to bring $U$ to $H$ and then $V$ to $K$:

The solution

The solution to the problem is quite straightforward: we simply need to add up the lengths of the segments composing the perimeter of our figure.

We'll take as reference for the length the short side of the sheet of A4 paper, so the bottom segment $AD$, which is the long side of the sheet, has length $\overline{AD}=\sqrt{2}$.

The long diagonal segment $AB$ is the diagonal of a square $AUBH$, whose side is the short side of the sheet: the side has length $\overline{AU}=\overline{UB}=\overline{BH}=\overline{AH}=1$, and therefore the diagonal length is $\overline{AB}=1\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}$.

The short diagonal $BC$ was obtained folding the $V$ angle of the leftover rectangle $HBVD$, so let's focus for a moment on this rectangle. The long side of $HBVD$ is the short side of the original A4 paper sheet, and is thus of length $\overline{BH}=\overline{VD}=1$; the length of the short side of this rectangle, on the other hand, is equal to the difference in length between the long and short sides of the A4 paper sheet, and is thus $\overline{BV}=\overline{HD}=\overline{AD}-\overline{AH}=\sqrt{2}-1$.

By folding the corner of this rectangle, the resulting side is the diagonal of the $BVCK$ square, whose side is the short side of $HBVD$, and its length is thus

$$\overline{BC}=(\sqrt{2}-1)\cdot \sqrt{2}=2-\sqrt{2}.$$

The last segment $CD$ is the long side of the rectangle $KCDH$, which is the “leftover of the leftover” after the second fold: its length is thus the difference between the long and short sides of the leftover rectangle $HBVD$:

$$\overline{CD}=\overline{VD}-\overline{VC}=\overline{VD}-\overline{BV}=1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}.$$

(Notice how, curiously, this last segment is equal in length to the previous, diagonal segment! We have $\bar{BC} = \bar{CD}, which will come in handy next.)

We now have the lengths of all the segments:

and the length of our perimeter can then be computed as:

$$\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{AD}=\sqrt{2}+\sqrt{2}+(2-\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})=2+2=4.$$

Generalization

The beauty of the problem obviously comes from the fact that the cancelling square roots give us a nice and clean integer despite the original piece of paper having an irrational aspect ratio, thus resulting in irrational lengths for all sides. But what happens if we don't start from an A4 (or more in general, from an A-series) sheet? What if the original rectangle has a different aspect ratio?

So let's assume now that we're starting from a rectangle with aspect ratio $1:a$ with $a\ge 1$.

The bottom segment now has length $\overline{AD}=a$.

The long diagonal segment still has length $\overline{AB}=\sqrt{2}$, since the short side of the original rectangle still has length $1$.

Let's now look at the leftover rectangle. The long side still has length $1$, and the other has length $a-1$.

We must now be careful, since the second fold gives us the behavior we have already seen for the A4 sheet only as long as the short side of the leftover rectangle is not longer than the other side, i.e. only if $\overline{BV}\le \overline{VD}$, i.e. if $a-1\le 1$, i.e. only if $a\le 2$.

In this case, the second fold thus gives us a short diagonal of length

$$\overline{BC}=(a-1)\sqrt{2},$$

and the remaining segment has length

$$\overline{BC}=1-(a-1)=2-a.$$

We have lost the beautiful relationship between the last two segments, but we can still compute the final perimeter, with length

$$\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{AD}=a+\sqrt{2}+(a-1)\sqrt{2}+2-a=2+a\sqrt{2}.$$

We can thus see that the only case where we can a nice integer value for the length of the perimeter is when $a\sqrt{2}$ is an integer, which can only happen when $a=n\sqrt{2}$ for some integer $n$, but since it must be $1\le a\le 2$, the case $n=1,a=\sqrt{2}$ is the only possible case.

In the extreme case where $a=1$, the second fold produces a diagonal of length 0, and we get an isosceles triangle obtained by halving the square, with length $2+\sqrt{2}$.

In the extreme case where $a=2$, the second fold matches the first one, and we get another isosceles triangle, this time with two sides of length $\sqrt{2}$, and the other with length 2, and thus a perimeter of length $2+2\sqrt{2}=2\cdot (1+\sqrt{2})$.

Thin stripe case

We can, in fact, also do the case $a>2$, i.e. the case when the original rectangle is a “thin stripe” (long side more than twice longer than short side). In this case, the second fold would stop when the (now short) right side $VD$ of the leftover rectangle $HBVD$ meets the base, giving us a trapezium:

We still have $\overline{AD}=a$, $\overline{AB}=\sqrt{2}$, and this time also $\overline{CD}=\sqrt{2}$. Finally, the short base $BC$ is obtained subtracting from the long base the short sides of the original rectangle (due to the folds), and thus $\overline{BC}=a-2$.

The perimeter of the figure is therefore

$$\overline{AD}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{AD}=a+a-2+2\cdot \sqrt{2}=2\cdot (a-1+\sqrt{2}).$$

(Note that for the extreme case $a=2$ we obtain again $2\cdot (1+\sqrt{2})$.)

If we want the perimeter of the new figure to be an integer $n$, we need first of all that $a+\sqrt{2}-1$ to be rational, and thus $a=q-\sqrt{2}$ for some rational $q$. Then $n=2\cdot (a-1+\sqrt{2})=2\cdot (q-1)$, hence $q=1+\frac{n}{2}$, and thus finally

$$a=1+\frac{n}{2}-\sqrt{2}.$$

Observe that since this was done under the hypothesis $a\ge 2$, from this we also get $\frac{n}{2}\ge 1+\sqrt{2}$ whence $n\ge 2+2\sqrt{2}$, and since $n$ must be integer, $n\ge 2+3=5$.

The smallest integer perimeter we can get for the “thin stripe” case is $5$, achieved with $a=\frac{7}{2}-\sqrt{2}$ (for the curious, this is barely more than $2$, as $a=2.0857864376...$ —and yes, it's the trapezium in the figure). Subsequent integer perimeters are obtained by incrementing $a$ in steps of $\frac{1}{2}$.

.mau. propone per oggi un quizzino della domenica di stampo geometrico: calcolare l'area del quadrato blu in figura, sapendo che prolungando i lati questi intersecano l'asse delle ascisse a 3, 5, 7, 13:

Per risolverlo, chiamiamo $l$ il lato del quadrato. Se trasliamo il quadrato finché il vertice inferiore si trova al punto $(5,0)$, ci ritroveremo con un triangolo rettangolo (rosso in figura) la cui ipotenusa è lunga 2 (dal punto $(3,0)$ al punto $(5,0)$), ed il cateto maggiore è lungo $l$:

Effettuando invece la traslazione dall'altro lato, portando il medesimo vertice al punto $(7,0)$, ci ritroveremo con un triangolo rettangolo (verde in figura) la cui ipotenusa è lunga 6 (dal punto $(7,0)$ al punto $(13,0)$), ed il cateto minore è lungo $l$:

Osserviamo infine che i due triangoli in questione sono simili (essendo creati da rette rispettivamente parallele), per cui il cateto maggiore del triangolo verde è lungo $3l$ (essendo la sua ipotenusa lunga 3 volte l'ipotenusa del triangolo rosso, ed avendosi la medesima proporzione tra i cateti maggiori).

Il triangolo verde ha quindi lati $l,3l,6$, da cui segue, per il teorema di Pitagora, che $l^2+9l^2=36$ ovvero $10l^2=36$ e quindi $l^2=\frac{36}{10}$ che è l'area del quadrato.

Here's an interesting question: given a target integer $n$, what's the smallest number of (significant) digits an integer must have in a given base so that it contains as substrings all integers from $0$ to $n$?

Let's clarify with some examples, and assume for simplicity that we're working in base 10.

Obviously, for $n<10$, the minimum number of digits to have all numbers from $0$ to $n$ is $n+1$, since all numbers from $0$ to $n$ are (distinct) single-digit numbers, so, for example, for $n=9$ you need a $10$-digit number at least ($9876543210$ would do, but so would $1023456789$; the actual number doesn't matter, we only care about the number of digits).

With two-digit numbers, things become more interesting. For example, the same $9876543210$ also has $10$ as a substring, so it works for $n=10$ too. It doesn't work for $n=11$ though —and for that you can prove that you need at least an $11$-digit number because you need a repeated digit (for example, $98765432110$). With $n=12$ you want to have substrings $10,11,12$, and while the $11$ can share its final digit with either the $10$ or the $12$, it can't do both, so it will need to be something like $987654312110$, a 12-digit number.

The same argument can be repeated up to $n=19$ ($1918171615141312110$), a 19-digit number, and even for $n=20$ you'll need to at least add a $0$ after the existing 2 ($19181716151413120110$) since you can't share the 0 used for $0$ and $10$ … which is a pity, because this splits the $2$ from the $1$ that could be otherwise be used for $n=21$, so we need an extra digit ($191817161514131202110$). Similarly, we can't easily recycle the two $2$s we have to get to $n=22$ (we need $20$, $21$ and $22$), so we'll need another digit ($1918171615141312022110$, a 22-digit number), but then for $n=23$ we can't just add one digit, because we need both another 2 and another 3: $n=23$ needs a 24-digit number, and the same “+2” growth is needed for all numbers up to $n=29$, leading to the monstrous 36-digit number $191817161514131202211023242526272829$.

Things then slow down again: for $n=30$ we just need to add a single digit, $1918171615141312022110230242526272829$, and this same number works for $n=31$, but not for $n=32$ because we split the 3 from the 2 again …

How does the pattern flow then as $n$ grows larger? On the one hand, there should be more opportunities to use digits for multiple purposes: on the other, you need more combinations.

Is there some kind of law that can describe the pattern? Are there more opportunities to find numbers with less digits if they are rebuilt from scratch for the target $n$, or if they are built with small changes from the previous one(s)?

UPDATE #1: a discussion thread on the Fediverse with @mau@frenfiverse.net mentions that the number of digits needed is monotonic non-decreasing. This is obvious, but just in case here's a short proof.

Let ${\sigma }_b$ be the function that maps the target number $n$ to the minimum number of digits needed in bases $b$. This means that if $k={\sigma }_b\left(n\right)$ then there is an integer with $k$ (significant) digits in base $b$ that includes as substrings all integers from $0$ to $n$. Let's call such a number a $k$-digit representative of the target $n$ in base $b$. (Note that as exemplified in the beginning, there may be multiple representatives.)

Now consider $k_1={\sigma }_b(n+1)$. If must be $k_1\ge k$ because by definition of $\sigma$ there is an integer with $k_1$ significant digits in base $b$ that includes as substrings all integers from $0$ to $n+1$, which includes all integers from $0$ to $n$: if $k_1$ was strictly less than $k$, we could use the $k_1$-digit representative of $n+1$ also for $n$.

@mau also provides an example sequence of representatives in base 2, but I think it can be improved a little. Remember that the integers in base 2 go: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, … and a sequence of representatives could be: 0, 10, 10, 110, 1100, 101100 (@mau proposes 110100) 101100 (ditto), 1011100, 10111000, …

It doesn't look like OEIS has anything like this, so it might be really worth exploring this better.

The one thing that seems to emerge at least with small numbers and bases 2 and  10 is that $\sigma \left(n\right)\ge n$. Does this hold for larger targets? Does it all in all bases? (I'm particularly curious about the latter for odd balanced bases.)

And for those that enjoy pure math the most when it doesn't seem to have any applications, I strongly doubt somebody will ever find a practical application to this, other than in the game I play with my kids to avoid car boredom.

UPDATE #2: new discussion thread on the Fediverse. @wqferr@mathstodon.xyz points out that this problem may be related to (generalized) superpermutations, especially when $b=2$, and @mrdk@mathstodon.xyz relates it to de Bruijn sequences. There are are still some significant differences in the rules that the representative should follow that have a significant impact on the number of digits, but we seem to be getting somewhere.

.mau. propone per oggi un quizzino della domenica di stampo geometrico: è piú lunga la linea blu o quella rossa nel disegno seguente?

La spezzata blu seguete il bordo superiore del rettangolo ed il lato destro, mentre la spezzata rossa è formata da tre segmenti uguali. Essendo il rettangolo formato da quattro quadrati, la spezzata blu ha lunghezza $(4+1)l=5l$ dove $l$ è il lato del quadrato. La domanda quindi è: quanto è lunga la spezzata rossa? La risposta è ovviamente $3s$ dove $s$ è la lunghezza del singolo segmento.

Osserviamo che i segmenti da cui è composta la spezzata rossa sono le diagonali di altrettanti rettangoli (uguali poiché uguali sono i segmenti) la cui unione è il rettangolo originario.

Prendiamo uno di questi sotto-rettangoli ed osserviamo che per costruzione il lato lungo è $\frac{4}{3}$ di $l$, e per evitare di lavorare con le frazioni, poniamo $l=3u$.

Abbiamo quindi che la spezzata blu ha lunghezza $5l=15u$, mentre un singolo segmento $s$ della spezzata rossa è la diagonale di un rettangolo di lati $3u$ (lato corto) e $4u$ (lato lungo). Per il Teorema di Pitagora (o semplicemente ricordando che $(3,4,5)$ è una terna pitagorica) ne segue che $s$ ha lunghezza $5u$, e quindi la spezzata rossa ha lunghezza $3\times 5u=15u$.

Le due spezzate hanno la medesima lunghezza.

(Curiosità: siamo abituati a “tagliare in diagonale” per accorciare la strada, questo è un curioso esempio di un modo di farlo lasciando invariata la lunghezza complessiva del percorso.)

Introduction

You can find an introduction to the legendary “Question Six” in this Numberphile video. This article is my attempt at providing a “simple” answer to the problem, sketched from the hints provided in this more detailed insights video.

To be clear this isn't my personal “best effort” at trying to solve the problem (I did give it a quick try, starting from an intuition that induction would be the key, but I didn't get very far in). I also have no idea if this is how it was solved by any of the candidates that did provide the correct answer to the problem.

No, this is just a formalization into an actual proof of the hints provided by Simon Pampena in the second video. The proof should still be easy to follow even with only a basic knowledge of algebra.

The problem

Let $a$ and $b$ be positive integers such that $ab+1$ divides $a^2+b^2$. Show that

$$\frac{a^2+b^2}{ab+1}$$

is the square of an integer.

The solution

Let

$$f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{xy+1}.$$

We want to show that if $a,b$ are positive integers and $f(a,b)$ is an integer, then $f(a,b)$ is a square.

Observe first that if $a,b$ are non-negative integers, and one of them is 0, then the statement is trivially true, since $f(a,0)=a^2$ and $f(0,b)=b^2$.

Assume now that $a_0,b$ integers with $0<a_0<b$ are such that $f(a_0,b)$ is an integer. We want to show that there exist a non-negative integer $a_1<a_0$ such that $f(a_1,a_0)=f(a_0,b)$. Note that with this proven, we can apply the result iteratively, constructing a sequence $\left\{a_i\right\}$ with $0\le a_{i+1}<a_i$ and such that $f(a_{i+i},a_i)=f(a_0,b)$. Given the strictly decreasing nature of the sequence and the non-negativity of the values, the sequence will terminate in $k<a_0$ steps, with $a_k=0$, leading to $f(a_0,b)=f(0,a_{k-1})=a_{k-1}^2$, proving that $f(a_0,b)$ is the square of an integer.

Let us then prove the existence of $a_1$. Let $N=f(a_0,b)$. By hypothesis, $N$ is an integer and we have

$$\frac{a_0^2+b^2}{a_{0}b+1}=N$$

that with simple algebra can be rearranged into

$$b^2-N{a}_{0}b+a_0^2-N=0. (\star )$$

This implies that the quadratic equation

$$x^2-N{a}_{0}x+a_0^2-N=0$$

has the solution $x=b$. Dividing the polynomial

$$x^2-N{a}_{0}x+a_0^2-N$$

by $x-b$ gives us1 the second root, $a_1=N{a}_0-b$, which again is an integer.

We need to show that $a_1<a_0$, i.e.

$$N{a}_0-b<a_0$$

or equivalently

$$N{a}_{0}b-b^2<a_{0}b.$$

Note that by bringing the leftmost two terms in the right-hand side of equation $(\star )$ to the left-hand side and flipping the equation, we have

$$N{a}_{0}b-b^2=a_0^2-N$$

but since $a_0<b$, this implies:

$$N{a}_{0}b-b^2=a_0^2-N<a_{0}b-N<a_{0}b$$

and thus

$$N{a}_{0}b-b^2<a_{0}b,$$

quod erat demonstrandum.

xmau propone per oggi un quizzino della domenica che consiste nel “risolvere” una semplice somma espressa utilizzando i numerali romani (I, V, X) in maniera impropria: invece di rappresentare addendi e risultato semplicemente esprimendo i numeri con il meccanismo romano, i numeri sono espressi nel sistema decimale posizionale che ci è familiare, ma ciascuna delle cifre è espressa con i numerali romani1: I per 1, II per 2, III per 3, IV per 4, V per 5, VI per 6, VII per 6, VIII per 8, IX per 9, con l'aggiunta difficoltà dell'assenza di spazi tra le cifre.

L'esposto del problema è il seguente:

IVIIIIIVIII +
IIVIIIII    =
-------------
VIIXIVI

L'assenza di spazi è proprio ciò che rende questa una “crittosomma”: è infatti impossibile, con un semplice colpo d'occhio, capire ad esempio se una sequenza come III rappresenta la cifra 3 o una delle coppie di cifre 21 e 12.

L'unica “sequenza” di cui possiamo essere sicuri è IX, giacché X rappresenta il valore 10 secondo il sistema di numerazione romano, e nel sistema posizionale da noi adottato non esiste una cifra con questo valore, per cui IX è sicuramente 9. Possiamo quindi “semplificare” la nostra crittosomma in:

IVIIIIIVIII +
IIVIIIII    =
-------------
VI9IVI

Rimangono da interpretare le due sequenze di numerali romani nella somma finale: VI, che può essere 6 o 51, e IVI che può essere interpretata in tre modi diversi: 151, 41, e 16.

Un dubbio

Un problema aperto (che speriamo non sia determinante per la soluzione) è la lettura delle cifre: le piú significative saranno scitte a destra, come vuole la convenzione che abbiamo ereditato dagli arabi, o saranno scritte a sinistra, come sembra suggerire l'allineamento?

Alla prova del 9

Per cercare di limitare le possibili interpretazioni possiamo osservare che non tutte le interpretazioni hanno la stessa congruità modulo 9. Specificamente, mentre le sequenze “additive” (simbolo di valore maggiore seguito da simboli di valori non inferiori) hanno tutte lo stesso valore modulo 9, quelle potenzialmente sottrattive (simbolo di valore inferiore seguito da simbolo di valore maggiore) possono avere due possibili interpretazioni, con valori modulo 9 che differiscono di un valore pari alla differenza tra il valore additivo e quello sottrattivo del simbolo di valore inferiore.

Nel nostro caso, le uniche coppie ambigue sono IV per cui la differenza di valore sarà 2. Come esempio, vediamo che VI alla “prova” del 9 darà sempre 6 (sia che venga letto come 6, sia che venga letto come 51), per IV abbiamo due valori diversi a seconda che IV abbia valore “additivo” (15 = 6) o “sottrattivo” (4).

Per la somma finale, alla prova del 9 abbiamo quindi due possibili valori: 4 (interpretazione additiva di IV) oppure 2 (intepretazione “sottrattiva” di IV).

Il secondo addendo ha pure un'unica sequenza IV, e quindi due interpretazioni: 3 (additiva) e 1 (sottrattiva).

Il primo degli addendi ha invece due sequenze IV , e quindi ha tre possibili valori (a seconda che le due sequenze siano entrambe additive, entrambe sottrattive, o una additiva ed una sottrattiva, indipendentemente da quale sia quale): i valori associati sono 1 (additive), 6 (sottrattive) e 8 (mista).

Alla prova del nove, le possibili combinazioni dei due addendi sono: $1+1=2$, $1+3=4$, $6+1=7$, $6+3=8+1=0$, $8+3=2$. Poiché la somma è congrua 4 o 2 modulo, possiamo scartare per il primo addendo l'interpretazione sottrattiva: quindi o entrambe le sequenze del primo addendo vanno lette additivamente, oppure la lettura del primo addendo è mista, e quella del secondo è additiva (caso $8+3=2$).

La cifra piú a sinistra

La cifra piú a sinistra della somma è 5 o 6, e quindi le cifre piú a sinistra dei due addendi devono arrivare almeno a 4 o 5, piú un opzionale riporto dalle due cifre successive (supponendo che la notazione metta a sinistra le cifre piú significative).

Osserviamo subito che questo non è possibile se per il primo addendo si utilizza la lettura puramente additiva: in tal caso infatti la cifra piú a sinistra del primo addendo è 1, mentre quella del secondo è al piú 2, arrivando a 3, che è insufficiente.

Ne segue che per il primo addendo si deve usare la lettura mista, con la prima sequenza IV interpretata sottrattivamente (ed a fortiori la seconda interpretata additivamente). Questo ci porta quindi nel caso $8+3=2$ della prova del9, che implica un'interpretazione additiva del secondo addendo, e sottrattiva della somma: la sequenza IVI con cui termina quest'ultima può pertanto essere letta solo come 41.

Possiamo quindi ulteriorimente semplificare la nostra crittosomma in

4IIIIIVIII +
IIVIIIII   =
------------
VI941

Dei rimanenti simboli V sappiamo che vanno interpretati additivamente, e quindi o avranno valore 5 (a sé stanti) o saranno parte di sequenze per 6, 7 oppure 8.

Il lungo problema dell'1

Un terzo aiuto nel vincolare le interpretazioni ci viene dal possibile numero di cifre. Per la somma abbiamo solo due possibili interpretazioni: 6941 e 51941, di lunghezza rispettivamente 4 e 5. Nessuno dei due addendi può avere una lunghezza superiore (potrebbero avere una lunghezza inferiore se le cifre meno significative fossero a sinistra ed avessimo un riporto tra quelle piú significative, a destra).

Questo vincolo risulta particolarmente potente in congiunzione con il problema dell'1: un interessante corollario dell'uso del sistema numerico romano per la rappresentazione delle cifre è l'assenza di un modo per rappresentare lo 0: questo ci aiuta perché, non potendovi essere 0 negli addendi, l'unica cosa che può fare spuntare la cifra 1 nella somma è una coppia di cifre con riporto.

Guardando alla somma, abbiamo due possibili interpretazioni rimaste: 6941, e 51941. La seconda, in particolare, ha un 1 in seconda posizione (non sappiamo ancora se per le decine o per le migliaia), e questo non è ottenibile in alcun modo.

Supponiamo infatti che la lettura corretta della somma sia 51941. La cifra piú a sinistra del secondo addendo dovrà quindi essere 1, poiché se dovessimo leggere la sequenza iniziale II come 2, avremmo $4+2=6$. (L'alternativa per arrivare a 5 come cifra piú a sinistra piú significativa richiederebbe un riporto dalle cifre precedenti, che però possono essere lette al massimo come $5+2=7$, e non potremo mai avere un riporto di $4$ dalle cifre ancora precedenti per arrivare ad un riporto dalle seconde.)

Saremmo quindi a

4IIIIIVIII +
11VIIIII   =
------------
51941

ma diventa a questo punto impossibile ottenere un 1 in seconda posizione, non potendo esserci uno zero nel primo addendo, o un riporto tale da lasciare un 1.

L'unica lettura possibile per la somma è quindi 6941, e questo richiede (sempre per una questione di riporti) che la cifra piú a sinistra del secondo addendo sia un 2: la nostra crittosomma è ora parzialmente risolta come

4IIIIIVIII +
2VIIIII    =
------------
6941

e possiamo affermare che tutti e tre i termini sono composti da 4 cifre: potrebbero essere 3 con un opportuno riporto dalla somma delle cifre piú significative, ma il primo addendo non può avere solo 3 cifre.

Il vincolo sulle lunghezze è particolarmente importante per l'interpretazione del secondo addendo, per il quale rimangono 6 simboli per 3 cifre, con poche letture possibili: 811; 721 o 712; 631, 622 o 613, ed infine 532 o 523.

Anche qui ci viene in aiuto la questione dell'1 (terminale, stavolta), che risolve, insieme al vincolo delle lunghezze, anche la questione dell'ordine delle cifre: l'unico modo per ottenere un 1 come cifra piú significativa sarebbe un riporto da due addenti con tre cifre, e come già detto il primo addendo non può avere solo 3 cifre.

Da questo si deducono due fatti importanti: le cifre meno significative sono a destra (quindi alla fine otterremo numeri con le cifre ordinate secondo la convenzione cui siamo abituati), e per gli addendi queste sono rispettivamente 8 e 3, le uniche letture possibili per ottenere un riporto che ci lasci indietro l'1 della somma:

4IIIII8 +
2VII3   =
---------
6941

che lascia come possibili letture per il secondo addendo solo 2613 o 2523. E poiché dobbiamo arrivare a 9 come seconda cifra da sinistra, ed abbiamo al piú 3 dal primo addendo, e nessun riporto, la cifra dopo il 2 deve essere un 6, con un 3 in sua corrispondenza sul primo addendo, che ci permette una completa risoluzione del problema:

4328 +
2613 =
------
6941

Ci sono cose che a scuola non insegnano piú. L'ho scoperto per la prima volta perché ai miei figli non hanno insegnato la prova del nove, il modo probabilmente piú semplice e veloce per controllare (seppure senza certezza) se si è commesso un errore in una operazione.

Poi ho scoperto che non si fa piú nemmeno un metodo per l'estrazione di radice quadrata (ai miei tempi si insegnava il metodo di Bombelli, ma sarebbe stato utile conoscere anche il cosiddetto algoritmo babilonese).

Oggi m'è venuto in mente (e stavolta i miei figli non c'entrano) che un'altra cosa che non si fa piú sono le operazioni in gradi, primi e secondi e la conversione da questa notazione a quella decimale. (D'altra parte, vedendo come coetanei della mia prole sembrano avere problemi già con decimali e frazioni, posso capire.)

Ho pensato quindi di aprire una sottorubrica di Mathesis dedicata a queste piccole cose. Devo solo trovare il nome o il tag giusto per identificare queste paginette, il che è sempre un problema (qualunque sia il nome scelto, penso che opterò per un tag piuttosto che una sottorubrica, perché non escludo che ci finiranno dentro anche cose che con la matematica non c'entrano).

AGGIORNAMENTO: la notte porta consiglio, ed ho pensato di usare per questa categoria di articoli il tag laScuolaDimenticata; ho anche chiesto sul Fediverso, dove qualcuno ha espresso parere positivo per “non piú scuola”, ovvero il nome di questa pagina (ma non il suo titolo, che originariamente era «Non piú a scuola» ed oggi sto decidendo di cambiare mettendo la preposizione tra parentesi), che potrebbe funzionare anche come tag (senza accenti, nonPiuScuola, per evitare problemi di codifica o legati alla differenza tra la mia scelta di scrivere piú con l'accento acuto come vuole il fatto che la u sia una vocale chiusa rispetto alla piú comune scelta di scriverlo più). Ed in effetti, perché non usarli entrambi?

Chiediamo a mio figlio: ma tu ti ricordi una canzone sulla Prima Guerra Mondiale?

Oblomovino non è inspirato. Ci pensa su. Non risponde.

Insistiamo, mentre ognuno si sistema la biancheria appena piegata: Ovvero sulla terza guerra di indipendenza?

Niente.

Poi improvvisamente spunta: Ah ma io la conosco una canzone sulla Prima Guerra Mondiale!

Noi: ah, bene, e quale?

E lui: Snoppy contro il Barone Rosso!

(La versione di Giorgio Gaber, non l'originale americano di cui non conoscevo l'esistenza fino al momento di scrivere questo.)

E che gli puoi dire? Non è la Gorizia a cui pensavamo noi, con cui lui e sua sorella sono cresciuti, ma ha ragione, almeno in risposta alla prima domanda.

Con il mondo che va allo scatafascio, è importante non farsi prendere dalla disperazione. Non posso di avere il segreto della felicità, o una soluzione per i problemi sempre piú pressanti che ci troviamo e troveremo ad affrontare, né posso dire di essere contento del futuro che stiamo lasciando alle nuove generazioni, Ma per l'appunto, c'è una strada che posso proporre, una strada che può illuminare il futuro anche senza offrire soluzioni: la strada dei piccoli piaceri.

Infilo in questo calderone un po' tutto, dalla schadenfreude ai piccoli lussi che possiamo ancora permetterci, passando per ogni gesto o atto creativo, nostro o altrui che sia.

Schadenfreude

Abbiamo il CEO della Microsoft che chiede per favore di smettere di usare il termine “sbobba” quando parliamo dei prodotti dei loro modelli generativi che spacciano per intelligenza artificiale, con il prevedibile risultato di rafforzare questo uso, a tal punto che la vecchia deformazione del nome dell'azienda (Micro$oft, per la sfrontatezza con cui cercava il guadagno, senza nessuna considerazione etica) è ormai stato sostituito oggi da Microslop.

Abbiamo lo stesso figuro che implora perché noi si trovi un uso per la suddetta sbobba perché altrimenti loro perderanno il “permesso sociale” di consumare (inutilmente) risorse al ritmo a cui questi modelli consumano.

Abbiamo il CEO della NVIDIA che si lamenta perché tutti parlano male dei modelli generativi (al solito spacciati per intelligenza artificiale) invece di adottarli (o peggio ancora, dopo averli adottati).

E dà soddisfazione vedere questi miliardari cominciare a rendersi conto che questa volta nemmeno gli allocchi salveranno i miliardi buttatiinvestiti in una delle tecnologie piú inutili e dannose degli ultimi cento anni. Siamo tutti lí ad aspettare l'esplosione di questa bolla speculativa talmente gonfia da essere l'unica cosa a proiettare un'illusione di positività nel mercato azionario in un periodo di recessione economica che non cesserà finché i potenti non si renderanno conto di quanto avesse ragione Keynes, e che se gli operai non possono acquistare il prodotto del loro lavoro, l'economia non può girare. Dà soddisfazione, ed incoraggia ad insistere nelle campagne d'informazione sull'inutilità di questi modelli generativi, sul fatto che la produzione degli LLM sia sbobba di pessima qualità, sul criminale consumo di risorse nascosto dai colpevoli: dà soddisfazione non solo perché affermare il vero dà soddisfazione, ma anche perché i miliardari piangono, e se non possiamo fargli piangere sangue con le tasse perché si sono comprati i politici, almeno possiamo goderci i piagnistei perché stiamo sputtanando la loro sostanziale incapacità imprenditoriale.

(Bonus: Meta Inc. ha pure chiuso il comparto realtà virtuale sul quale aveva scommesso talmente tanto da cambiare persino nome per pubblicizzarlo —nonché ovviamente per la mala nomea che Facebook aveva accumulato tra genocidi e scandali vari. Ricordiamo che per la genAI oggi si usa la stessa propaganda che per la realtà virtuale di allora, per cercare di vendere qualcosa che in realtà non serve a nessuno. Moriranno male e non dispiacerà a nessuno.)

Piccoli lussi

Pur con gli inevitabili conflitti e problemi, sono contento di avere la famiglia ed il lavoro che ho. Per la prima in particolare, mai come in questo periodo sono vere le parole del padre nella vignetta sul rubinetto della felicità di SMBC Comics.

Quando il grande in tutte le scemenze tira fuori anche qualche battuta simpatica, quando si possono cominciare a fare discorsi piú serî, quando la piccola si mette lí a fare puzzle e chiede anche solo compagnia, ma si finisce per mettercisi tutti insieme a cercare incastri, quando ci sediamo tutti insieme davanti ad un mazzo di carte o ad un gioco di equilibrio, ed io lo so che comunque sono piccoli lussi che non tutti si possono permettere.

E sono piccoli lussi il sushi che ci concediamo di tanto in tanto, i giochi da tavola, i libri ed i fumetti che acquistiamo (anche quando ci costano un rene di dogana dopo mille peripezie, cosa che, mi sa, presto si ripeterà con il fumetto indipendente che ho recentemente sponsorizzato).

Creatività

Altrui …

Quando ho lasciato l'allora Twitter per il Fediverso, non è cambiato solo l'ambiente generale, ma anche la mia selezione su chi seguire. Benché io sia stato sempre un “conoscitore” di fumetti indipendenti pubblicati sul web, (non necessariamente un intenditore, ma comunque un lettore di grandi quantità degli stessi), è stata con grande piacere che ho scoperto quanti artisti indipendenti vi fossero sul sul Fediverso —nonostante una maggioranza di artisti indipendenti l'abbia in realtà evitato come la peste quando Twitter è diventato Xitter, preferendo migrare prima su varî esperimenti piú o meno falliti, ed infine generalmente su Bluesky: certa gente non impara mai.

Mi sono fatto un punto di seguire quanti piú di questi artisti possibile, non solo per interesse personale, ma anche come incoraggiamento al loro uso del Fediverso piuttosto che (o in aggiunta che fosse) alle piattaforme commerciali. Ho trovato con maggiore o minore difficoltà gente di cui leggevo da tempo le opere pubblicate online, ho trovato nuovi fumetti da seguire tramite contatti indiretti di artisti seguiti da altri artisti nel Fediverso, e piú recentemente nuovi artisti, dai nuovi fumetti che ogni tanto vado cercando, quando riconoscono l'opportunità di pubblicizzare anche la loro presenza sul Fediverso tra i profili social di corredo alle loro opere.

Ne è migliorata la qualità della mia navigazione sul Fediverso (soprattutto in questo periodo in cui le cattive notizie abbondano), ed in alcuni casi (come per Kamikaze) ne hanno tratto vantaggio economico anche gli artisti, perché un piccolo lusso che mi posso permettere io è una piccola speranza in piú per loro di sopravvivere del prodotto della loro creatività.

(Mi piacerebbe poter supportare finanziariamente tutti gli artisti che seguo; non posso. Ma la possibilità di permettere agli artisti di esprimere la propria creatività senza doversi preoccupare di morire di fame è certamente uno dei tanti argomenti a favore di quell'UBI che da tempo sostengo.)

… e mia

Non mi considero una persona molto creativa, pur avendo le mie valvole di sfogo aspiranti tali. Mi piace scrivere, anche se non sempre trovo il tempo di scrivere quello che (o su cui) voglio scrivere (e sí, questo aggiornamento è un po' una scappatoia per menzionare molti dei tanti argomenti per i quali vorrei trovare il tempo di scrivere), e troppo spesso per i miei gusti ormai finisco con il farlo piú sul mio profilo Mastodon (che controllo fino ad un certo punto) che non qui (ed ho già spiegato perché).

Trovo comunque soddisfazione nel software che creo per lavoro, ed ancor piú in quello che sviluppo per interesse personale. E recentemente ho cominciato a guardare con curiosità a nuovi linguaggi di programmazione, tra cui Julia, ma ancor piú sono rimasto affascinato da tempo dalla promessa di una programmazione “naturale” con la nuova versione di Inform, un linguaggio creato specificamente per la creazione di quel genere di giochi che oggi viene classificato come Avventure testuali o piú generale (in inglese) come interactive fiction. E pertanto, per imparare quest'ultimo linguaggio, ho dovuto cimentarmi con la creazione di un'avventura testuale, esperienza di cui magari parlerò piú avanti.

E come prevedibile, ben presto mi sono trovato ad andare oltre l'avventura testuale, a cimentarmi con lo scrivere estensioni che possano tornare utili ad altri autori di avventure testuali. Ed anche questo, nel suo piccolo, è un modo di rendere il mondo piú bello.

Con la rimozione del presidente venezuelano operata dagli Stati Uniti, si delineano definitivamente le strategie di questa fin troppo reale partita a Risiko. L'accordo (a quanto pare risalente almeno al primo governo Trump1) è abbastanza chiaro: gli Stati Uniti lasciano che la Russia si prenda l'Ucraina, e la Russia lascia che gli Stati Uniti si prendano il Venezuela.

Poi le elezioni del 2020 sono andate come sono andate, ma intanto la macchina da guerra di Putin per invadere l'Ucraina era partita, e queste non sono cose che si fermano facilmente: lo stronzo ha evidentemente deciso che il gambetto valeva fare la pena: sarebbe bastato durare fino alla fine del mandato di Biden, investendo pesantemente nella rielezione di Trump (facile con l'appoggio della quinta colonna neofascista statunitense del Project 2025, nonché quello involontario dei soliti utili idioti sia del centro liberale sia della sinistra piú integralista —vedi le campagne a favore di Jill Stein nonostante fosse notoriamente implicata con la Russia).

Ed ora finalmente i pezzi cominciano a muoversi. Non contento degli ostacoli che Trump è riuscito a mettere agli appoggi all'Ucraina, ormai da tempo Putin gli fa pressione perché molli del tutto, arrivando a dargli in imbeccata un presunto piano di pace che era sostanzialmente quella resa incondizionata dell'Ucraina che Putin ha sempre cercato (fin dal primo tentativo, all'inizio della guerra, di prendere Kyiv e deporre Zelenskyy per sostituirlo con un burattino).

Ed in tutto questo la Cina è stata ben contenta di appoggiare lo sforzo bellico russo, visto che una Russia a cui si lascia prendere l'Ucraina significa una Cina a cui si lascia prendere Taiwan. Se a questo aggiungiamo le aspirazioni canadesi e groenlandesi che Trump ha sempre annunciato con vigore, possiamo dire che sul tavoliere si gioca ormai a carte scoperte.

Le armate arancioni hanno come obiettivo di conquistare la totalità del Nord e del Sud America, le armate nere l'Europa e l'Asia Settentrionale, e le armate gialle Africa, Asia Meridionale, piú un terzo continente a scelta.

In tutto questo è inevitabile chiedersi: ma le armate blu cosa pensano di fare? O hanno già abbandonato il gioco?

Sogno una sorta di festicciola in casa tra creature umane o umanoidi, qualcuna di loro sicuramente soprannaturale, tra cui una succuba. Sono secute attorno ad un tavolo, giocano, chiacchierano. Ad un certo punto, forse per un gioco tipo obbligo o varietà, forse perché a tarda notte si rompono i filtri, la succuba interviene in una discussione di cui non ricordo piú il tema, forse le violenze carerarie, commentando «soprattutto se sei una ragazzina minorenne e muori stuprata» e c'è questa presa di coscienza collettiva del fatto che la succuba stia parlando della propria esperienza di “prima”, quando ancora era un essere umano, e tutti si alzano per abbracciarla, piangendo.

Forse prima, forse contemporaneamente, una delle creature non è al tavolo con gli altri, ma alla finestra, e guarda fuori sulla città (l'appartamento è forse in un palazzo molto alto, che guarda sopra la città), ed è una città apparentemente costruita a raggiera attorno al palazzo in cui si trovano, ed è una città di luci, tipo neon, gialle, verdi, con un fondo (stradale?) blu e viola, ed è tutta illuminata, ma ad un tratto (mentre la succuba confessa? subito prima? subito dopo?) la creatura alla finestra vede il nero del cielo, dell'oltre la città, che comincia ad introfularsi, a spaccare il fondale, ramificazioni come se stessero svellendo le strade, occupando il territorio.

Ma la succuba non voleva che qualcuno stesse alla finestra, che guardasse fuori, che vedesse questa fine del mondo, e tutti stanno piangendo, la succuba forse piú degli altri, che però anche la implorano di fermare il disastro, perché sanno che ne è responsabile lei, è lei che l'ha voluto, anche se non è chiaro se è lei direttamente a controllarlo o no, ma è chiaro che lei abbia invitato le altre creature a questa festicciola in casa per proteggerle, e quando bussano alla porta raccomanda di non aprire.

E niente. Ieri sera dopo cena apro il frigo per vedere se c'è qualcos'altro da sgranocchiare, e mi cade l'occhio sul cassetto della frutta, pieno di avocado. Solo che sul momento non mi viene in mente «avocado», quindi chiedo a mia moglie:

«Che ci fanno in frigo tutti quei guacamole da fare?»

Ora.

A mia discolpa posso dire che guacamole è la parola che mi è venuta sul momento, e che il mio cervello, nell'annebbiamento della stanchezza, è riuscito non solo ad identificarla comunque come “abbastanza vicina” (il passaggio guacamole → avocado sarebbe certamente ammesso il quel gioco enigmistico noto come il Bersaglio), ma anche a trovare un modo che a posteriori posso dire brillante per risolvere l'impasse.

Devo anche ringraziare mia moglie, che avrebbe avuto ogni diritto di leggere quella fase in tono accusatorio (visto anche che è lei quella che in genere si occupa di questo tipo di cucina), ed ha invece apprezzato anche lei questa uscita confusa ma felice.

E poi diciamocelo. A cos'altro servono i guacamolegli avocado?

L'altro giorno, mentre tornavano da alcune compere, mia figlia ha deciso di condividere con noi la sua idea su come Babbo Natale faccia a consegnare tutti i regali in cosí poco tempo.

La spiegazione che ha dato è che esistono tanti babbi Natale: tutti quei babbi Natale giocattolo che ci portiamo in casa, la notte di Natale si animano, e tirano fuori da non si sa dove (sono stato molto bravo e non ho detto niente; non ho fatto nessuna battutaccia; voglio fatti i complimenti) i regali che lasciano sotto gli alberi prima di tornare ad essere oggetti inanimati.

Mio figlio a questo punto è intervenuto con un'altra spiegazione, dicendo che no, Babbo Natale è uno solo, ma ha una “sfera d'influenza” che copre tutta la Terra, e nella discussione che è seguita ha chiarito che intendeva la cosa in senso quantistico: l'incertezza sulla sua posizione, che gli permette appunto per effetto tunnel di entrare nelle case di chiunque (la storia del camino è evidentemente un mito utilizzando quando (1) le case avevano effettivamente un camino e (2) non si sapeva nulla di meccanica quantistica).

L'intervento del crasto mi ha sorpreso, ma allo stesso tempo mi ha dato un senso di déjà vu; alla fine mi sono convinto a chiedergli se fosse farina del suo sacco o se ne avessimo parlato già in passato, e lui mi ha confermato che ne avevamo già parlato e quello era quello che si ricordava.

La cosa interessante è che io non mi ricordo piú nemmeno quando ne abbiamo parlato. È stato quando siamo finiti a parlare di motori a gatti imburrati? Prima? Dopo? In che occasione?

Eppure, non posso sorprendermi del fatto che queste scemenze gli siano rimaste impresse. Speriamo non sia l'unica cosa che resterà della nostra educazione.

Oggi mio figlio porta a scuola la nostra autorizzazione a fare la vaccinazione per l'HPV. L'iniziativa fa parte di una campagna di sensibilizzazione nei confronto di questo virus per il quale la vaccinazione non è obbligatoria, ma è comunque caldamente consigliata anche come profilassi collettiva contro alcune forme di tumore (tra cui in particolare quelli orofaringei ed al collo dell'utero), e questo mi ha fatto pensare a quanto sia stato “fortunato” in questo senso.

Già alle elementari infatti l'Oblomovino è stato “catturato” da una campagna della ASL per l'ortodonzia, cosa che ci ha permesso di occuparsi della sua situazione dentale a costi contenuti: quando infatti si è poi trattato di provvedere all'ortodonzia per sua sorella, che non ha avuto questa fortuna e per la quale ci siamo rivolti invece al privato (anche per questioni di tempistica), ho potuto apprezzare la differenza economica tra la sanità privata e quella pubblica (che mi era comunque inizialmente sembrata abbastanza costosa).

Se non altro, per la vaccinazione HPV abbiamo la fortuna che, se anche dovesse mia figlia avere nuovamente la “sfortuna” di non rientrare in una campagna vaccinale scolastica, per la vaccinazione potremo comunque passare dal SSN, con tempistiche brevi, e l'unica penalità sarà un procedimento un po' piú scomodo (prenotazione, andare sul posto, etc) rispetto al personale che viene a scuola dietro autorizzazione. (A proposito, questo mi ricorda che mi devo fare la combo influenza/COVID-19 di quest'anno.)

E penso: perché queste campagne non le fanno piú spesso? Facendone ad esempio una ogni tre anni potrebbero beccare tutti gli studenti delle elementari almeno una volta (tra la terza e la quinta), e ovviamente gli studenti delle medie (non so ancora se ci sono anche campagne per le superiori, ma in caso: vale comunque; anzi, con campagne triennali, alcuni li beccheresti due volte, se vanno a copertura dell'intero quinquennio), ottenendo una capillarità delle campagne di prevenzione difficilmente attuabile altrimenti, con la possibile esclusione della visita di leva (almeno per il comparto maschile), a proposito della quale, quando fu appunto abolita, mi sono sempre chiesto perché non abbiamo almeno mantenuto proprio la visita generale, allargata all'intera popolazione: ma questo avrebbe significato spostare risorse dal Ministero della Difesa a quello della Sanità, e come ben sappiamo non sembra essere negli interessi dei nostri governi assicurarsi della buona salute dei cittadini (a quanto pare, curiosamente, a meno che non siano da mandare al macello).

E mi fermo qui perché altrimenti piú che da Diaria questo diventa un contributo per le Riflessioni.

Un cowboy è un vaccaro
questo è vero, però …

Giorni fa ho fatto presente agli Oblomovini che un cowboy è un vaccaro. L'ho fatto con uno specifico intento, e credo che la cosa abbia funzionato fin troppo bene: la cosa è piaciuta loro tantissimo, ed hanno continuato a parlarne (o quanto meno a farvi riferimento) anche nei giorni a seguire.

Riconosco che la scelta è discutibile, benché non possa essere veramente falsificata: chiaramente, ciò che distingue il cowboy dal vaccaro (o del mandriano) “nostrano” non è nel ruolo precipuo caratterizzato dal nome, quanto nel contesto culturale in cui esso si muove, con tutta la mitologia del Far west che lo accompagna nell'immaginario collettivo.

Eppure proprio per questo trovo che sia importante sfatarne il mito: rimarcare che un cowboy è un vaccaro è una verità che copre una menzogna che copre una verità. Ed è importante imparare quanto prima che un mito è un mito, e porta con sé verità e menzogne che vanno analizzate.

Oblomovina: «Mamma, ma dove andiamo c'è un supermercato?»

Consorte: «Perché, amore, cosa vuoi comprare?»

Oblomovina: «Marmellata di more cosí Oblomovino si mangia quella e a me lascia quella fatta in casa dalla nonna con le more che ho raccolto io.»

• information è un plurale collettivo [2010-11-22]
• GIF (Graphic Interchange Format) si pronuncia con la G dolce (“jiff”) [2010-11-26]
• si scrive accommodation e non accomodation [2010-11-29]
• il costume adamitico non viene (direttamente) da Adamo, bensì dagli adamiti [2010-12-05]
• si scrive embarrassing e non embarassing [2011-12-14]
• calzoni: praticamente delle grosse calze (scoperto vestendomi ed infilandomi una gamba di pantalone, dicendo «mi infilo un calzone» e pensando «devo mettermi anche le calze») [2011-12-24]
• i millenni in inglese sono millennia con due n (per quale motivo mi ero convinto che fossero con una n sola?) [2022-12-16]
• il woodchuck in inglese è il groundhog (la marmotta) e non il beaver (castoro); improvvisamente il famoso scioglilingua how much wood would a woodchuck chuck if a woodchuck would chuck wood ha molto piú senso [2026-02-03]
• da un thread sul Fediverso ho scoperto varie cose che non sapevo: [2026-02-26]
  • l'àrista ha l'accento sulla prima sillaba;
  • il facocèro è piano;
  • alzare sarebbe con la z sonora;
  • guaína ha l'accento sulla i, non sulla prima a;
  • scandinàvo è una parola piana, non sdrucciola.

As the United States of America descend straight into Nazism with the Second presidency of Donald Trump under the aegis of Project 2025 and with the full unabated support of the GAFAM “techbrocracy”, the tiniest, easiest act of resistance that can be done worldwide is to preserve and replicate all the information that they want to suppress: name the names, save the data, spread the news.

The ongoing (as of February 2025) coup in the USA, presided by the rapist and convicted felon Donald Trump, better known for being Putin's puppet since his first presidency, has been enabled and is being actively supported by staple names in the tech billionaire world like:

• Mark Zuckerberg, co-founder of the infamously genocidal Facebook, and its name-washed Meta, Inc. collecting the bought-out Instagram and WhatsApp,
• Union busting Amazon founder and CEO Jeff Bezos,
• Microsoft CEO Satya Nadella,
• his Google counterpart Sundar Pichai,
• the South African neo-Nazi baby-king Elon Musk, most famously known for his Tesla, Inc. takeover and similar prestige buyouts.

(This list is incomplete, I'll add to it as time and will permit.)

The Internet Archive is already doing its best to resist, for example by preserving all the CDC information that the Trump II administration has been trying to suppress in its effort to roll back the modicum of progress done in recent year on gender and sexual health. You can find the new archive here. Making a local copy of that archive is an act of resistance: at less of 100GB, it's surprisingly not that large either, all things considered. More in general, you can help the work of the InternetArchive by running an Archive Team Warrior instance and help with the preservation of important sites (be them related to the US government or not)..

Meanwhile, the unnominated Elon Musk has sent some of his peons to take over the management of government employees. And as he's trying to suppress the news from circulating, here are the names of some of the henchmen: Akash Bobba, Edward Coristine, Luke Farritor, Gautier Cole Killian, Gavin Kliger, and Ethan Shaotran. For a more in-depth analysis on how bad this action is, I recommend Mike Masnick's analysis here and here. See also Kreb's writeup on Coristine and the network of Russia-affiliate infiltrators and saboteurs he comes from. Don't forget about Marko Elez and his racist tirades: while he has resigned after being publicly denounced for the piece of shit he is, Musk has made it clear that he's the kind of guy he wants on staff, just in case anybody had any doubts about his positions.

Meanwhile ProPublica has a page dedicated to “Elon Musk's Demolition Crew” collecting details about many known members of the teams used in the government takeover.

On an apparently (but just so) different topic, United Healthcare, the health insurer with the most denied claims and opaque procedures whose CEO recently got “deposed” allegedly by Luigi Mangione, is trying to suppress a video by a doctor fighting against denials for her patients and not just because of the comments supportive of the purported killer (as in Luigi Mangione, not Brian Thompson) it received. I'm guessing the message won't get through.until the guillotines start operating again.

A list with the full names and email addresses of (some of?) the members of (one of?) Musk's assault team(s?) has been leaked. Musk isn't happy about it and has banned accounts for sharing it on his Xitter corporate silo, and has hypocritically denounced the action as doxxing, despite the information in the list being a matter of public record if DOGE is indeed a government agency or department. So here's the list in text form.

Meta Platforms, Inc., still better known as Facebook despite their effort to distance themselves from the numerous scandals ranging from catastrophic privacy failures to their role in the Rohingya genocide in Myanmar, is going after former Director of Public Policy (archive copy) Sarah Wynn-Williams, trying to stop her from promoting her memoir, Careless People.

So, spread the news and the name. Hopefully, we can sink “Meta” just as well as we're sinking Musk's automotivecarbon credit industry with the Tesla Takedown movement, that has been so effective in scaring the bejeebers out of his owner (whose stocks are the collateral for his Twitter purchase, among other things) so much that his friend the Russia agent Krasnov, better known as Donald Trump, the first convicted felon president of the USA put up a show that reminded everybody of Hitler's peddling of the Volkswagen.

Oh, and of course they're trying to pin the blame on Soros for these protests, because they can't accept that they could be so widely despised. A perfect term has been introduce to describe people like Musk & co: incellionaire, a portmanteau of Incel (itself a portmanteau!) and Billionaire. Incellionaire: because having money and getting gender affirming surgery1 won't fix your Nazi nerd loser personality and make people like, admire or respect you.

Justin Eichorn, Republican senator in Minnesota, who introduced a bill to declare people hating on Trump as mentally ill, has been arrested for soliciting a minor.

(This post will be updated as more noteworthy names will need to be set in stone to be remembered.)

Premessa

Si è fatto un gran parlare di “extraprofitti” in questi anni (soprattutto in questo anno, il 2022) in cui la speculazione delle aziende in posizione dominante nella fornitura di servizi essenziali ha portato loro massicci incrementi nei profitti, nonostante l'effetto drammatico che la recessione ha avuto sui redditi piú bassi.

Questa focalizzazione sulla “eccezionalità” di questi “extraprofitti” come giustificazione per la necessità di tassarli in maniera “eccezionale” mi ha dato “eccezionalmente” fastidio, perché fin da subito mi è stato evidente che non fosse altro che uno specchietto per le allodole messo in atto specificamente per distrarre l'attenzione da una banalità cruciale per i sostenitori del neoliberismo: che la situazione corrente non è altro che l'inevitabile (ed attesa, voluta) strada del capitalismo.

Ben lungi dall'essere una situazione eccezionale, la concentrazione del potere economico e la conseguente forbice tra i profitti di chi ha in mano i capisaldi dell'economia ed il crollo di tutti gli altri è la normalità del capitalismo, ostacolata nel secolo scorso solo dalla credibilità della “minaccia comunista”, che ha portato (almeno in alcune regioni geografiche) ad uno stemperamento di tale potenziale, dirottato verso iniziative atte alla riduzione delle sperequazioni proprie del capitalismo.

Il crollo della credibilità di tale minaccia è stato come sciogliere le briglie ad una bestia ombrosa, ora finalmente libera di dimostrare la propria pericolosa natura.

Concentrarsi sugli “extra”profitti in un regime socioeconomico che, con la connivenza della politica, da mezzo secolo ormai e sempre piú sfrontatamente favorisce la speculazione e lo sfruttamento, premia il narcisismo egocentrico ed individualista, protegge il potente e punisce la vittima, significa perdere di vista il quadro generale.

Discorso analogo vale, ad esempio, per le voci che si alzano di nuovo a favore di un salario minimo, in concomitanza con l'abolizione di quel “reddito di cittadinanza” pentastellato che, pur essendo una porcata mal fatta, ha avuto l'indubbio merito di far venire allo scoperto lo sfruttamento e l'ipocrisia di quegli imprenditori che piangono miseria lamentando l'assenza di lavoratori per nascondere la loro scelta di non offrire compensi congrui.

Ma come per gli “extraprofitti”, il discorso sul salario minimo finisce con il distrarre dalle ragioni di fondo del contesto che rende tali discorsi necessari, e trasforma la discussione da un'analisi di tale contesto ad un'analisi della (ed una guerra alla) soluzione proposta, analisi sostanzialmente inapprocciabile data la divergenza di fondo sul valore e sul significato delle transazioni (economiche e non) che sottendono i rapporti di potere. (Vedere i dibattiti in Francia sullo SMIC e sul suo aumento come esempio.)

Piuttosto che continuare ad insistere sull'adozione di misure ad hoc per questo o quell'angolo del problema (tassazione “eccezionale” sugli “extraprofitti”, salario minimo, salario massimo, forbice massima dei salari, e via discorrendo), non sarebbe meglio insistere perché gli strumenti che lo Stato ha già a disposizione vengano calibrati perché facciano quello per cui sono intesi?

La prospettiva su cui rimugino già da qualche tempo (in verità da prima di buttar giú i primi appunti su questa serie di articoli), infatti, è che lo Stato ha già in mano tutti gli strumenti necessari per bilanciare la naturale propensione capitalista alla concentrazione del potere ed all'amplificazione delle diseguaglianze, ma che (ovviamente, essendo la faina a guardia del pollaio) tali strumenti siano intenzionalmente stati “spuntati”. Insistere per la creazione di nuovi strumenti (altrettanto facili da “spuntare”) non può infatti che farmi pensare alla discussione sull'(in)utilità delle “grida” nei Promessi Sposi. Sarebbe piú utile lavorare per tornare ad avere una sinistra degna di tale nome in parlamento.

Introduzione

Come si può facilmente immaginare dal titolo di questo articolo, lo strumento principale su cui mi interessa concentrarmi qui è il regime fiscale. Non credo che sia l'unico (vi includo ad esempio anche il reddito di base incondizionato), ma è uno strumento che potrebbe essere di estrema efficacia se impostato correttamente. In questo senso questo articolo si inquadra nella discussione già cominciata dalle mie precedenti note sulla “flat tax”, benché per molti versi il cardine sarà l'opposto di quello del precedente articolo. Ed anche in questo caso si tratta di una bozza incompleta (per questo negli appunti per ora piuttosto che tra le riflessioni), ma che se non comincio a scrivere non finirò mai.

Parleremo stavolta dei sistemi fiscali progressivi, ovvero di quelli che impongono aliquote crescenti al crescere della base imponibile. In Italia (come, a quel che mi risulta, nella maggioranza dei Paesi), la progressività tributaria è implementata con un meccanismo a scaglioni, con ciascuna aliquota applicata a quella parte della base imponibile che rientra nei limiti (minimo e massimo) dello scaglione1.

La prima cosa che vorrei far notare è che negli anni non solo sono diminuiti gli scaglioni IRPEF, ma è anche stata ridotta l'aliquota massima. Questo è interessante per due motivi, con una medesima radice: il primo è che la progressività è tanto piú “raffinata” tanto piú sono gli scaglioni; il secondo è che il sistema tributario è tanto piú iniquo quanto piú è bassa l'aliquota massima. La radice comune a questi motivi è legata ai discorsi già fatti sulla “flat tax”: all'interno di ciascuno scaglione si è infatti sostanzialmente in regime di “flat tax”, e piú sono “ampî” gli scaglioni maggiore è la diseguaglianza all'interno dello scaglione e tra l'uno e l'altro; in particolare, piú è bassa l'aliquota massima, maggiore è la diseguaglianza generale, poiché superata la soglia massima (abbassata dal 2022 a soli 50K€) la proporzione di reddito disponibile dopo la tassazione può crescere indefinitivamente.

I grafici nella pagina WikiPedia sono illuminanti: l'evoluzione nel tempo degli scaglioni, delle aliquote marginali e dell'aliquota media mostrano chiaramente lo spostamento del carico fiscale dalle fasce piú ricche a quelle piú deboli, che andando ad aggravare la perdita del potere d'acquisto degli stipendi è una delle concause della regressione dell'economia italiana a causa dello schiacciamento verso il basso della classe media.

Ancora piú interessante è che laddove ora sarebbe impensabile avere aliquote sopra il 50%, l'IRPEF al momento della sua istituzione arrivava ad aliquote massime superiori al 70%, ed anche prima, nel periodo del cosiddetto Miracolo economico italiano, le aliquote dell'imposta complementare progressiva sul reddito arrivarono a superare (con le dovute differenze sul metodo del calcolo della base imponibile) il 60%.

Leggere la Gazzetta del 1962 ci mostra in realtà un'altra gemma: l'uso di una formula continua per descrivere l'aliquota in funzione del reddito invece degli scaglioni: con questo approccio, l'imposta viene calcolata direttamente dall'imponibile con una particolare formula (o, come nel caso descritto, due) che definiscono l'aliquota “milione per milione”. Anche questa è un'idea che terremo in considerazione nel nostro discorso.

Senza limiti d'(ali)quota

Dovrebbe essere chiaro già ora che piuttosto che parlare di stipendi massimi o extraprofitti sarebbe piú importante tornare ad un sistema tributario in cui l'aliquota massima non si ferma sotto il 50%, ma continua a crescere per basi imponibili molto elevate. Idealmente, l'aliquota massima potrebbe tranquillamente tendere al 100% per basi imponibili infinite.

L'idea potrebbe sembrare scandalosa ai sostenitori di un mercato piú liberale, ma proseguendo il discorso già fatto per la “flat tax” giova ricordare che l'economia beneficia piú da una maggior quantità di reddito disponibile nelle fasce piú povere della popolazione che da una spropositata concentrazione nelle mani di pochi (che è, dopotutto, il punto centrale di questa discussione); a questo proposito segnalo un notevole articolo che spiega come anche il piú semplice dei modelli economici di libero mercato (senza redistribuzione e senza “aiuto di stato agli imprenditori”) porti comunque inevitabilmente all'amplificazione e fossilizzazione delle diseguaglianze, ed alle creazioni di oligopoli ed oligarchie. (Lo stessa tema è stato trattato da SciAm, e nasce da un articolo scientifico del 2002.)

Un'aliquota crescente senza altro limite che il 100% per imponibile infinito ha come obiettivo proprio quello di disincentivare mire (anche involontarie) multimiliardarie e regolamentare la redistribuzione dei profitti per mantenere l'economia (e con essa la politica) in condizioni “sane”.

Faccio notare da subito che in un sistema tributario di questo tipo qualunque discorso sugli “extraprofitti” non avrebbe senso, poiché profitti spropositatamente alti sarebbero automaticamente tassati spropositatamente di piú, senza bisogno di interventi ad hoc. Lo stesso strumento può inoltre essere calibrato per incentivare una riduzione della forbice salariale, come discuteremo nel prossimo paragrafo2.

Ma facciamo intanto un esercizio matematico: come dovrebbero essere scelte le aliquote in funzione della base imponibile (es. del reddito) in un sistema del genere? Come già anticipato, scaglioni meno ampî possono aiutare a ridurre l'iniquità del sistema fiscale, sicché idealmente sarebbe opportuno che ad ogni base imponibile $x$ corrisponda un'aliquota $\alpha$ esprimibile sotto forma di funzione continua dell'imponibile $\alpha =\alpha \left(x\right)$.

Tale funzione dovrebbe godere delle seguenti proprietà:

1. la funzione dovrebbe avere valori in $[0,1]$ per ogni imponibile:

   $$0\le \alpha \left(x\right)\le 1\forall x\ge 0;$$

2. il limite della funzione al tendere dell'imponibile all'infinito dovrebbe essere 1:

   $$\underset{x\to +\infty }{lim}\alpha \left(x\right)=1;$$

3. la funzione dovrebbe essere strettamente crescente:

   $$x_1<x_2\Rightarrow \alpha \left(x_1\right)<\alpha \left(x_2\right);$$

4. l'applicazione dell'aliquota non deve fare diminuire il reddito disponibile (se A ha un imponibile piú alto di B, non può ritrovarsi con meno soldi di B dopo aver pagato le tasse):

   $$x_1<x_2\Rightarrow (1-\alpha \left(x_1\right))x_1<(1-\alpha \left(x_2\right))x_2.$$

Per semplicità conviene mirare ad una funzione $\alpha \left(x\right)$ che sia sufficientemente regolare (diciamo almeno $C^1$, quindi derivabile con derivata continua), sicché le condizioni 3 e 4 si possono riscrivere in termine delle derivate, portando a:

$$0<\alpha \text{'}\left(x\right)<\frac{1-\alpha \left(x\right)}{x}.$$

essendo la derivata di $(1-\alpha \left(x\right))x$ la funzione $1-\alpha \left(x\right)-\alpha \text{'}\left(x\right)x$.

Se consideriamo l'eguaglianza invece che la maggiorazione a destra, otteniamo una soluzione $\alpha \left(x\right)=1-\frac{k}{x}$ per arbitrari $k>0$, che in qualche modo rappresentano le (famiglia di) “funzioni limite” per la nostra aliquota.

Curiosamente, la condizione $\alpha \left(x\right)>0$ implica $x>k$, per cui, fissato $k$, viene definita automaticamente la zona d'esenzione. Il parametro $k$ definisce inoltre quanto velocemente cresce $\alpha \left(x\right)$, con il caso limite $k=0$ corrispondente ad una tassazione costante al 100%, mentre a $k$ maggior corrispondono aliquote piú piccole per ogni fissato $x$.

{ Altre funzioni con crescite piú lente $1-{\left(\frac{k}{x}\right)}^p,{(1-\frac{k}{x})}^{\frac{1}{p}}$ o forme diverse, e.g. $arctan\left(x\right)$ normalizzato è dello stesso ordine, ma può essere calibrato meglio con due parametri: $\left(\frac{2}{\pi }\right)arctan\left(\frac{x-x_0}{k}\right)$, o addirittura 3 con ${\left(\left(\frac{2}{\pi }\right)arctan\left(\frac{x-x_0}{k}\right)\right)}^p$ }

Fiscalizzazione regressiva (alla mediana)

Togliere il limite superiore alle aliquote può disincentivare la creazione di redditi “spropositatamente” alti, ma fa poco per incentivare l'innalzamento degli stipendi. Inoltre, rimane sempre “interpretabile” il concento di stipendio “spropositatamente” alto, anche se, almeno intuitivamente, è apparente che questo vada definito per rapporto agli altri stipendi.

Uno degli strumenti classicamente applicati per imporre una riduzione della forbice salariale è fissare un limite superiore al rapporto tra lo stipendio massimo e minimo. { esempi; ricordo male io o il pubblico in Francia è cosí? ; materialmente siamo passati da un rapporto dell'ordine di 20:1 negli anni'60 del XX secolo a oltre 350:1 in questi anni }

Questo approccio è molto incisivo, soprattutto se accoppiato con una legge sul salario minimo, ma oltre alla discrezionalità sulla scelta del rapporto massimo (ed eventualmente del salario minimo) soffre di un problema di (mancanza di) generalità: i salari di riferimento ed i tetti sugli stipendi massimi in rapporto ai minimi sono in genere per settore (e.g. nel pubblico o in questa o quella industria) e non sull'economia generale, nonostante i problemi che dovrebbero essere risolti o tenuti sotto controllo siano invece di carattere generale, e variabile nel tempo (per esempio, a causa dell'inflazione o della trasformazione dell'economia).

Un approccio piú generale (benché meno ovvio) per mirare a simili equilibrî potrebbe essere quello di adottare un sistema fiscale in cui le aliquote siano parametrizzate sui parametri statistici nella distribuzione delle basi imponibili, quali la mediana dei redditi e un opportuno indice di dispersione (come ad esempio lo scarto interquartile).

Come esempio concreto, consideriamo un sistema fiscale con un'area d'esenzione fissata al 10% della distribuzione dei redditi, con un'aliquota che cresca poi linearmente con i percentili, sicché un reddito mediano (maggiore di quello del 50% della popolazione) verrebbe tassato al 40%, e il 99% percentile (il famoso “1%”) verrebbe tassato all'89%. (Questa funzione non soddisfa tutti i criteri del precedente paragrafo, ma potrebbe comunque soddisfarne abbastanza da essere comunque accettabile.)

In un regime fiscale di questo tipo, un'azienda avrebbe un incentivo a non alzare troppo gli stipendi della dirigenza rispetto a quelli della concorrenza, giacché questo potrebbe portarli in una fascia percentile con tassazione piú elevata —con una maggiorazione del costo per l'azienda a parità di reddito netto disponibile per gli stipendi piú elevati. D'altra parte, per lo stesso motivo non vi sarebbe neanche incentivo ad alzare gli stipendi piú bassi, né a limitare quelli apicali che si trovassero già in regime massimale (ovvero in quel famoso 1%), perché l'unica cosa che potrebbe cambiare la loro fascia sarebbe far scendere questi stipendi al di sotto di quelli dei “top manager” della concorrenza.

In generale, l'idea sarebbe quindi di definire i parametri della funzione $\alpha$ sopra discussa in modo che l'aliquota “ideale” sia raggiunta (ad esempio) al reddito mediano, e che la funzione cresca tanto piú o meno velocemente quanto piú o meno “dispersi” siano i redditi. Facendo dipendere le aliquote non solo dalla posizione dell'imponibile rispetto agli altri (in percentili), ma anche da come gli altri sono distribuiti, si introduce infatti un altro fattore nella valutazione dell'opportunità di alzare questo o quello stipendio, e di quanto: ad esempio, alzare gli stipendi piú bassi lasciando quelli piú alti invariati restringerebbe l'IQR, che farebbe abbassare le aliquote su quelli piú alti, risultando quindi in una crescita del reddito netto anche per gli stipendi piú alti.

{ schemino (dinamico?) con l'esempio dell'${arctan}^p$ dove $p$ è (monotòno con) l'inverso dell'IQR, o similmente per $1-{\left(\frac{k}{x}\right)}^p$ o ${(1-\frac{k}{x})}^p$, con le dovute differenze. }

Se gli imprenditori sapessero giocare

Il principale problema di una soluzione del genere, a parte l'ovvio riuscire ad avere al governo qualcuno con la saggezza ed il coraggio di andar contro l'interesse particolare delle fasce piú ricche della popolazione, è la generale inettitudine della classe imprenditoriale (italiana, ma purtroppo non solo). La cosa è abbastanza evidente non solo nella poco diffusa capacità di innovare (la maggioranza della c.d. imprenditoria si divide principalmente tra rendite di posizione e copie di idee altrui), ma anche nell'incapacità di vedere alla necessità keynesiana di trattare i proprî dipendenti (ed i proprî clienti) con riguardo e dignità piuttosto che come limoni da spremere sfruttando la loro disperazione.

Questa mancanza di lungimiranza e manifesta incapacità nelle teorie dei giochi renderebbe la subdolità della strategia fiscale proposta sicuramente meno efficiente dell'imposizione del famoso rapporto massimo tra gli stipendi, anche se potrebbe essere piú efficiente di qualunque appello all'etica, una volta mostrato in che modo (ed in che misura) l'innalzamento degli stipendi piú bassi porterebbe ad un aumento del reddito (netto) di quelli piú alti prima ancora di considerare i beneficî sull'economia in generale di una piú equa distribuzione della ricchezza.

Ciò che rende interessante l'approccio fiscale proposto (nella prospettiva della teoria dei giochi) è il modo in cui le scelte locali hanno effetti globali, tanto piú evidenti tanto maggiore è la disparità di trattamento ed il numero di persone coinvolte: il bottegaio che alzasse di 50€/mese lo stipendio della propria manciata di dipendenti avrebbe meno impatto della grossa azienda che decidesse di redistribuire il bonus ai dipendenti pagati meno piuttosto che concentrarlo nelle mani del consiglio d'amministrazione, ma in un'economia dominata dalla piccola/media impresa, avrebbe ancora piú impatto una scelta da parte di tutti i bottegai di alzare gli stipendi dei proprî dipendenti.

Un aspetto non banale è la scelta dell'anno di riferimento per il calcolo degli indici statistici da cui dipenderebbero le aliquote. Attualmente, le aliquote vengono stabilite (almeno) l'anno precedente (anche perché altrimenti il sostituto d'imposta non potrebbe sapere quanto accantonare), ma le uniche statistiche (complete) disponibili sarebbero relative all'anno ancora prima, portando ad una latenza di almeno 2 anni tra il calcolo delle statistiche e l'anno del pagamento.

Sarebbe piú interessante (ma meno realistico e probabilmente non realizzabile) stabilire il rapporto tra aliquote e statistiche anticipatamente, ma sulla base delle statistiche dell'anno stesso di riferimento. Le tasse 2022 verrebbero quindi pagate non sulle statistiche dei redditi 2020 disponibili nel 2021, ma direttamente sulle statistiche del 2022 (disponibili nel 2023). Questo richiederebbe la separazione della fase di dichiarazione dei redditi da quella del computo del contributo fiscale, giacché l'aliquota reale non potrebbe essere nota se non quando tutte le dichiarazioni siano disponibili; nell'ipotesi in cui le statistiche non cambino molto di anno in anno, si potrebbe comunque procedere con il pagamento in due tempi (con le vecchie statistiche al momento della dichiarazione, piú un correttivo —potenzialmente a rimborso!— quando le statistiche dell'anno siano conosciute), ma l'impatto di grandi stravolgimenti (pensiamo alla crisi economica venuta con la pandemia di COVID-19, o i famosi “extraprofitti”) sarebbero a dir poco interessanti.

Da anni rimando di buttar giú queste note, principalmente perché desideroso di complementarle con una simpatica interfaccina per “giocare” sull'effetto di varî sistemi di tassazione. Dopo l'ennesima difesa della presunta equità della famigerata flat tax ho deciso però infine di mettermi a scrivere.

Introduzione

Per pararmi da alcuni possibili interventi da parte di anarchici e libertari premetto subito che tutti i discorsi che seguono partono dal presupposto che la tassazione è una necessità: lo Stato (o chi per lui) offre un certo numero di servizi, che hanno un costo, per coprire il quale lo Stato ha bisogno di soldi, e la tassazione è il meccanismo primario con cui lo Stato se li procura. Ammesso e non concesso che esistano meccanismi alternativi, tale discussione va condotta indipendentemente (ed in separata sede) dalle questioni circa l'equità dei vari sistemi fiscali e del loro impatto socioeconomico, che intendo invece affrontare qui.

Mi concentrerò inoltre principalmente sulla tassazione del reddito, anche se non escludo qualche commento o future estensioni di questa pagina per parlare di altre forme di tassazione.

Nel discorso che segue supporrò che ciascun soggetto tassabile abbia un proprio reddito annuo lordo (RAL) $R$, su cui pagherà una certa quantità di tasse $T$. Il valore $D=R-T$ rappresenta il reddito disponibile, ovvero quello che il soggetto potrà effettivamente spendere, ovvero ancora quella parte del reddito del soggetto che potrà direttamente contribuire all'economia. Distingueremo inoltre dalle (potenziali) spese del soggetto quelle essenziali (o imprescindibili, ovvero che il soggetto non può non sostenere) $E$, identificando il rimanente $S=D-E=R-T-E$ come reddito discrezionale.

Un aspetto importante da considerare è che l'importo delle spese essenziali $E$ non dipende dal reddito, ma esclusivamente dalla natura del soggetto e dalle sue circostanze; per esempio, se il soggetto è un singolo individuo questi avrà un certo minimo di spese da sostenere per nutrirsi, vestirsi, avere un tetto sopra la testa, raggiungere il luogo di lavoro, etc; se il soggetto è una famiglia con 4 persone, questo minimo sarà ovviamente diverso (ed in genere piú elevato, viste le maggiore necessità di cibo e di vestiario, anche se probabilmente inferiore a 4× il minimo del singolo individuo). Tutto il resto può essere considerato parte delle spese discrezionali.

(Volendo, ci si potrebbe anche dilungare su come minimizzare le spese essenziali nel breve termine abbia in realtà un costo maggiore sul medio/lungo termine, per cui bisognerebbe prestare attenzione a quanto si debba considerare essenziale e quanto discrezionale, ma tutto questo merita a sua volta un discorso a parte.)

Una nota semantica

Il principale problema dell'analisi presentata in questo testo risiede nella scelta del significato da dare alla parola “equo”: quando è equo un sistema fiscale?

L'idea generale che si vuole rispettare è che si abbia diritto a godere dei beneficî della propria produttività —qualcosa su cui, a livello puramente concettuale, possono trovarsi d'accordo il veterocomunista Marxista piú convinto (dopo tutto, è da questo che parte la famosa teoria del plusvalore) con l'anarco-capitalista libertario dell'ultim'ora. Le differenze, ovviamente, risiedono nella proposta strategica per il raggiungimento di questo ideale, ma ancor prima, e forse soprattutto, nella scelta (metodologica) di come quantificare in concreto quanto ci si stia distaccando dall'ideale.

Cosa va rapportato con cosa, nel decidere quanto si sta godendo della propria produttività? Le scelte sono innumerevoli (lo sforzo al reddito? il reddito proprio a quello altrui? il reddito lordo a quello netto?)

Per l'analisi che segue faremo una scelta ben precisa, con la coscienza che tale scelta pone in maniera naturale dei limiti sulla validità dell'analisi stessa, e che porre obiettivi diversi porterebbe per necessità a conclusioni diverse. D'altra parte, riteniamo che la scelta in sé sia ben fondata, almeno nella misura in cui si stia analizzando un sistema fiscale caratterizzato da una certa semplicità: l'equità del sistema sarà per noi la misura in cui quello che rimane in tasca al soggetto sia quanto piú proporzionale possibile al suo reddito lordo, tolte le tasse e le spese essenziali.

Analisi dell'equità della flat tax

Con il termine flat tax si intende un sistema fiscale con singola aliquota $k<1$. Dato il reddito lordo $R$, le tasse da pagare saranno $kR$, indipendente dall'ammontare di $R$, e possibilmente anche da altri fattori (quali la fonte del reddito stesso).

L'idea di base di molti suoi sostenitori è che tale sistema fiscale, oltre ad avere il vantaggio della semplicità, sia anche “piú equo” di altri (in cui le aliquote variano a seconda del reddito stesso) perché tutti pagano la stessa percentuale del proprio reddito lordo, ed hanno pertanto la stessa percentuale di reddito disponibile: $\frac{D}{R}=1-k$.

Se però guardiamo al reddito discrezionale, le cose cambiano; il rapporto $\frac{S}{R}$ si riduce infatti a $1-k-\frac{E}{R}$, ed essendo le spese essenziali $E$ indipendenti dal reddito (e quindi in particolare uguali a parità di natura del soggetto e sue circostanze), il rapporto $\frac{E}{R}$ tende a zero al crescere di $R$, aumentando il rapporto $\frac{S}{R}$.

Facciamo un esempio con dei numeri. Prendiamo tre soggetti che abbiano le stesse spese essenziali, mettiamo $E=5¤$ (l'anno) e che vi sia un'unica aliquota fiscale $k=20\%=0.2$. Supponiamo che i RAL siano $10¤$, $50¤$ e $100¤$: i redditi lordi stanno in rapporto $1:5$, $1:2$ e $1:10$. Di tasse pagano rispettivamente $2¤$, $10¤$ e $20¤$ (mantenendo gli stessi rapporti), con redditi disponibili rispettivamente $8¤$, $40¤$ e $80¤$ (ancora con gli stessi rapporti).

Tolte però le spese essenziali, i redditi discrezionali rimanenti sono $3¤$, $35¤$ e $75¤$: tra il primo ed il secondo vi è un rapporto di $1:11.67$ (piú di due volte il rapporto tra i RAL), tra il secondo ed il terzo di $1:2.14$, e tra il primo ed il terzo di $1:25$, due volte e mezzo il rapporto tra i RAL.

Al di là dei numeri specifici, rimane la realtà dei fatti: con un'aliquota singola, il rapporto $\frac{S}{R}$ cresce al crescere del reddito, risultando quindi (proporzionatamente) piú favorevole a chi ha RAL piú elevati, tanto piú quanto piú è alta la discrepanza tra i RAL.

La soglia d'esenzione

La flat tax piú rudimentale presenta anche un altro problema: nel momento in cui vengono considerate le spese essenziali, la combinazione di queste (fisse) e delle tasse (proporzionali al reddito) porta i redditi piú bassi addirittura in negativo, anche supponendo che non vi siano redditi inferiori alle spese essenziali.

Per evitare questa idiosincrasia, la soluzione piú semplice è l'introduzione di una soglia d'esenzione (no tax area), che chiameremo $N$. In un tale sistema, i redditi lordi verranno tassati solo nella misura in cui superano tale soglia d'esenzione (ed in particolar modo, i redditi inferiori alla soglia d'esenzione non saranno tassati). L'importo delle tasse sarà quindi $T=k(R-N)$, per $R>N$. (Ovviamente, per evitare la criticità dell'andare in negativo con le tasse, è necessario che $N$ sia non inferiore ad $E$.)

La presenza di una soglia d'esenzione, oltre a risolvere la criticità, aiuta anche ad “equalizzare” la sproporzione tra redditi lordi e redditi discrezionali presente con l'aliquota singola, essendo $\frac{S}{R}=1-k(1-\frac{N}{R})-\frac{E}{R}$.

Se nell'esempio già considerato aggiungiamo infatti una soglia d'esenzione di, mettiamo, $6¤$, otteniamo che il reddito di $10¤$ sarà tassato solo su $4¤$, e dovrà quindi pagare $0.8¤$, il reddito di $50¤$ sarà tassato su $44¤$, e dovrà quindi pagare $8.8¤$, mentre il reddito di $100¤$ sarà tassato su $94¤$, e dovrà quindi pagare $18.8¤$. In questo caso, in proporzione, il reddito piú alto dovrà pagare piú tasse (tra il minimo ed il massimo il rapporto di quanto pagato è di $1:23.5$ a fronte di un rapporto di redditi lordi di $1:10$), ma benché i rispettivi redditi discrezionali ($4.2¤$, $36.2¤$, $76.2¤$) rimangano sproporzionatamente in favore dei redditi elevati ($1:8.62$, $1:2.1$ ed $1:18.14$ rispettivamente), la discrepanza è inferiore al caso senza soglia d'esenzione.

La soglia d'esenzione è quindi una misura (anzi l'unica, se l'obiettivo è la semplificazione del sistema fiscale) per limitare l'effettiva iniquità (e soprattutto il conseguente impatto sull'economia reale) dell'aliquota singola.

(Il discorso in realtà non è cosí semplice nel momento in cui si osserva che, all'interno della no tax area non vi è alcuna proporzionalità dei redditi discrezionali, essendo $\frac{S}{R}=1-\frac{E}{R}$. L'unica soluzione in questa prospettiva è l'eliminazione di tutte le spese essenziali, possibile solo nel momento in cui lo Stato fornisca tutti i servizi essenziali a titolo interamente gratuito per gli utenti, ovvero senza altre spese che le tasse.)

Trovare un equilibrio

Possiamo riscrivere la formula del rapporto tra reddito discrezionale e reddito lordo come:

$$\frac{S}{R}=1-k(1-\frac{N}{R})-\frac{E}{R}=1-k-\frac{E-kN}{R}$$

mettendo quindi in evidenzia come il contributo della soglia d'esenzione abbia segno inverso ad $E$ e ne possa quindi compensare l'effetto.

{ Studio del segno del termine nelle condizioni di esistenza $R\ge N\ge E$) }

Volendo considerare il carico fiscale “massimamente equo” laddove tale rapporto sia costante (ovvero nella condizione in cui, indipendente dal RAL, si abbia la stessa percentuale di reddito discrezionale), è necessario annullare $E-kN$, ottenendo la condizione $N=\frac{E}{k}$ (osserviamo che essendo $k<1$, si avrà sempre $N>E$, come voluto). Per $N<\frac{E}{k}$ si ottiene un sistema che favorisce i redditi piú alti, mentre $N>\frac{E}{k}$ dà un sistema che favorisce i redditi piú bassi.

La relazione ci dice in particolare che riducendo l'aliquota occorre alzare la soglia di esenzione per preservare l'equità. Viceversa, aumentando l'aliquota si può ridurre la soglia d'esenzione, fino ad un minimo teorico di $E$ nel caso di tassazione al 100%. E vale ovviamente la relazione inversa, per cui piú è bassa la soglia d'esenzione piú alta dev'essere l'aliquota per mantenere equo il sistema.

Un corollario interessate a questo è che una riduzione dell'aliquota che mantenga equo il sistema (alzando proporzionatamente la soglia d'esenzione) porta ad un decremento del gettito fiscale complessivo da due fronti: meno tasse dai contribuenti, e meno contribuenti.

(Nell'esempio numerico preso in considerazione sopra, la soglia d'esenzione ottimale sarebbe $N=\frac{5¤}{0.2}=25¤$, portando il reddito da 10¤ nella no tax area. Il reddito da $50¤$ verrebbe tassato su $25¤$, per un totale di $5¤$, portando il reddito discrezionale a $40¤$; il reddito da $100¤$ verrebbe tassato su $75¤$, con $15¤$ di tasse, portando il reddito discrezionale a $80¤$, e mantenendo quindi il rapporto $1:2$ dei RAL anche nei discrezionali. Il fisco riceverà da questi contribuenti un totale di $20¤$, contro i $28.4¤$ della soglia a $6¤$ ed i $32¤$ dell'aliquota singola pura. Mantenere lo stesso gettito fiscale nell'esempio in questione sarebbe ad esempio possibile con un innalzamento dell'aliquota al 28% con un conseguente abbassamento della soglia d'esenzione ai $17.87¤$ circa, che lascerebbe comunque fuori il reddito piú basso.)

Considerazioni sparse

• poiché le spese essenziali dipendono dal soggetto e dalle circostanze, il calcolo della soglia d'esenzione (che ad essa è legata nel rapporto di equità) dovrebbe avere un'analoga dipendenza, con notevoli implicazioni (ed una discussione a parte meriterebbe a questo punto l'equità di questa soglia d'esenzione variabile);

• l'aliquota singola è tanto piú iniqua quanto piú è elevata la disparità tra RAL (es. forbice salariale);

• l'aliquota singola è tanto piú iniqua quanto piú sono elevate le spese essenziali;

  un interessante corollario è il seguente: piú è bassa l'aliquota, piú essa è (indirettamente) iniqua; la motivazione è la seguente: (parte del)le spese essenziali può essere assorbita dallo Stato e dai servizi che esso offre; meno sono i servizi offerti dallo Stato, e minore è la loro qualità, maggiore sarà l'importo delle spese essenziali; e poiché servizi di qualità costano, anche nell'ottimistico caso teorico di uno Stato massimamente efficiente, minore è il gettito fiscale dello Stato, minori saranno i servizi e la loro qualità; ad aliquote piú basse corrispondono gettiti fiscali inferiori, e quindi meno servizi (e di qualità inferiore): maggiori saranno pertanto le spese essenziali, e pertanto maggiore sarà l'iniquità dell'aliquota;

  poiché le spese essenziali dipendono dal gettito fiscale, abbiamo un sistema fortemente non lineare in cui il gettito fiscale dipende dalla soglia d'esenzione che dipende (tramite la propria dipendenza dalle spese essenziali nel rapporto d'equità) anche dal gettito fiscale stesso.

Quale reddito libero?

Evoluzione dell'iniquità

Dal discorso fatto sopra sulla flat tax dovrebbe essere evidente che la principale difficoltà nel definire aliquote e soglie d'esenzione per un sistema fiscale affinché questo possa essere considerato equo (nella misura usata, ovvero la proporzionalità tra RAL e reddito discrezionale) è la determinazione delle spese essenziali.

Assumendo che il problema sia in pratica irrisolvibile (salvo, come già accennato, l'annullamento di tutte le spese essenziali, tramite servizi offerti dallo Stato a titolo interamente gratuito) occorre scegliere tra quella che potrebbe essere una sovrastima di tali spese (e quindi in conseguenza anche della soglia d'esenzione) o se sia preferibile una sottostima degli stessi. Come già detto, la differenza principale è che l'uno “favorisce” (lascia proporzionatamente piú reddito discrezionale a) i RAL piú bassi, mentre l'altro “favorisce” i redditi piú alti.

Si potrebbe inquadrare questa questione nel piú generico dibattito dell'economia supply-side vs demand-side, supponendo che (statisticamente) i redditi piú elevati siano quelli “imprenditoriali”, ma è anche possibile fare un'analisi delle due scelte limitandoci al campo delle riflessioni fatte finora.

Partiamo dall'osservazione che il reddito discrezionale è quello che il soggetto può utilizzare per i proprî scopi (al di fuori della soddisfazione dei bisogni essenziali), ed in particolar modo è quello che il soggetto può utilizzare per migliorare la propria condizione, inclusa qui anche la possibilità di trovare un lavoro migliore, o di investire sul proprio lavoro per renderlo piú efficiente, e quindi in generale anche di innalzare il proprio RAL.

Avere piú reddito discrezionale disponibile dà piú opportunità in questo senso, ovvero maggiori o migliori possibilità di passare ad un RAL superiore, almeno a parità di RAL di partenza. (Non faremo in questo senso alcuna ipotesi di relazione tra queste possibilità ed il RAL di base, ovvero non ipotizziamo che passare ad esempio da $10¤$ a $20¤$ sia intrinsecamente piú o meno facile che passare da $20¤$ a $30¤$ o da $20¤$ a $40¤$.)

Confrontiamo adesso due sistemi fiscali iniqui (ovvero in cui il reddito discrezionale non sia proporzionale al RAL) in senso opposto: un sistema A che favorisca i redditi piú alti, ed un sistema B che favorisca i redditi piú bassi. Per quanto appena osservato, nel sistema A i redditi piú alti saranno favoriti (rispetto agli stessi redditi del sistema B) nel migliorare la propria condizione, mentre i redditi piú bassi si troveranno svantaggiati; nel sistema B sarà ovviamente al contrario.

Il sistema A migliora quindi le possibilità dei redditi alti per diventare ancora piú alti, limitando quelle dei redditi bassi, laddove il sistema B migliora le possibilità dei redditi bassi di sollevarsi, limitando quelle dei redditi alti. Il primo tenderà quindi ad allargare la disparità tra RAL, mentre il secondo tenderà invece a ridurla.

L'iniquità dei due sistemi ha quindi una caratteristica strutturale che le differenzia: l'iniquità a favore dei RAL piú alti tende ad amplificare l'iniquità stessa (aumentando la forbice), laddove l'iniquità a favore dei RAL piú bassi tende a ridurre l'iniquità del sistema favorendo la riduzione della forbice.

{ Analisi sull'eventuale RAL di “equilibrio” nel sistema B; occorrerà probabilmente considerare anche il comportamento dei redditi sotto la soglia d'esenzione }

Il limite dell'analisi

Ovviamente, poiché queste operazioni di (de)stabilizzazione operano sulla distribuzione dei redditi, si potrebbe obiettare che il costo di questa equità fiscale è l'omogeneizzazione dei RAL, condizione nel quale tutti i meccanismi fiscali basati puramente sul RAL diventano automaticamente fiscalmente “equi”, spostando di fatto l'iniquità altrove, ad esempio con una effettiva disincentivazione del raggiungimento di RAL piú elevati, se non addirittura “punendo” il guadagno “eccessivo”: producendo il doppio, pur portandomi ad un RAL doppio, non mi darà il doppio di soldi in tasca, ed anzi tanto meno di ciò quanto piú favorevole ai redditi bassi sarà il sistema.

D'altronde, se di equità stiamo parlando, non è nemmeno equo che chi riesce ad ottenere solo un RAL basso debba per questo essere “punito” per avere un guadagno “insufficiente”: per quale motivo produrre la metà, pur portandomi ad un RAL dimezzato, dovrebbe darmi meno della metà di soldi in tasca, ed anzi tanto meno di ciò quanto piú favorevoli ai redditi alti è il sistema?

Azzarderei quindi che, pur con i suoi limiti, l'analisi fatta finora gode di un certo “bilanciamento”, non superabile senza l'introduzione di ulteriori elementi di valutazione.

Si potrebbe ad esempio riflettere su quanto il RAL sia frutto effettivamente dell'impegno del soggetto (nel qual caso si potrebbe voler premiare il maggior impegno che ha portato ad un RAL piú elevato, e quindi prediligere il sistema A), e quanto invece delle circostanze (nel qual caso sarebbe quasi sadico impoverire ulteriormente chi non avrebbe potuto fare altrimenti, e quindi prediligere il sistema B). Oppure, adottando un'ottica “calvinista”, o quanto meno weberiana, si potrebbero considerare le circostanze dominanti, ma prediligere comunque il sistema A, che per sua natura “premia” il successo e “punisce” l'insuccesso, vedendolo quindi, in maniera forse un po' blasfema, come una manifestazione terrena della Grazia di Dio.

Sull'utilità marginale del reddito

Un aspetto a cui si può guardare con un occhio forse piú oggettivo è l'effetto che la distribuzione dei redditi (ed in particolare del reddito discrezionale) ha sull'economia in particolare, e sulla società in generale.

Sostanzialmente, dovendo scegliere tra due sistemi fiscali entrambi iniqui nei confronti dei singoli contribuenti, vogliamo andare a vedere quale dei due sistemi possa dare un beneficio complessivo all'economia (ed alla società), pur operando a discapito di una delle due categorie (quella dei redditi alti o quella dei redditi bassi).

Partiamo con l'osservare che, a parità dell'ammontare della variazione, l'effetto di una variazione di reddito discrezionale cambia in base al reddito di partenza: un incremento o un decremento di $1¤$ su un reddito discrezionale di $1¤$ e molto maggiore dello stesso su di un reddito di $10¤$, per il quale è comunque superiore allo stesso incremento su di un reddito di $100¤$ (in un certo senso, il denaro stesso segue la legge dell'utile marginale decrescente).

L'impatto di questa variazione non è solo intrinseco, legato alla proporzione fra variazione e valore di riferimento, ma ha anche implicazioni sulle modalità in cui l'economica da tale variazione può beneficiare (o essere danneggiata). Eppure già solo il valore relativo della variazione dovrebbe far riflettere, in particolare sull'opportunità che, a parità di gettito fiscale, il carico sia “spostato” sui redditi piú alti.

Ragioniamo per questo in termini della utilità complessiva legata alla particolare distribuzione di reddito.

Data una certa distribuzione di soggetti, ciascuno con il proprio RAL e con le proprie spese essenziali, la scelta del sistema fiscale (aliquota e soglia d'esenzione) comporta variazioni sul gettito fiscale complessivo (somma di tutti gli importi pagati dai contribuenti) e pertanto di reddito discrezionale complessivo (somma di tutti i redditi discrezionali). Tuttavia è anche possibile variare il sistema fiscale mantenendo invariato il gettito. In tal caso, scelte diverse di aliquota e soglia d'esenzione porteranno ad una diversa distribuzione del medesimo reddito discrezionale complessivo (osserviamo che se il gettito fiscale non cambia, con esso non cambia la somma dei redditi discrezionali).

Per quanto osservato sull'utilità marginale del reddito discrezionale, sotto opportune condizioni, una variazione del sistema fiscale che, a parità di gettito fiscale, benefici i redditi piú bassi a danno di quelli piú alti risulta in un incremento complessivo dell'utilità dello stesso ammontare di reddito discrezionale.

Supponiamo ad esempio che vi siano 10 redditi discrezionali da $10¤$ l'uno e 10 redditi discrezionali da $100¤$ l'uno. Una variazione del sistema fiscale che incrementi di $1¤$ i redditi discrezionali da $10¤$ e riduca dello stesso ammontare i redditi discrezionali da $100¤$ risulterebbe in una distribuzione di reddito con una maggiore utilità complessiva (l'utilità marginale acquisita dai redditi piú bassi è superiore a quella persa dai redditi piú alti).

In quest'ottica, un sistema iniquo di tipo B (piú favorevole ai redditi bassi) sarebbe preferibile ad un sistema iniquo di tipo A (piú favorevole ai redditi alti) nella misura in cui porterebbe ad una maggiore utilità complessiva del reddito discrezionale.

Vi sono ovviamente dei limiti entro cui tale meccanismo è ammissibile: se ad esempio supponiamo che vi siano 99 redditi discrezionali da $10¤$, ed un solo reddito discrezionale di $100¤$, un incremento di $1¤$ per tutti i redditi bassi comporterebbe una perdita di $99¤$ del reddito discrezionale alto per mantenere il gettito fiscale: a fronte di un incremento contenuto per l'utilità dei redditi bassi si avrebbe un crollo drammatico per quello alto. Anche nel caso in cui l'utilità complessiva dovesse risultate maggiore, questo incremento dovrebbe essere pesato contro la notevole iniquità del sistema.

Non di facile soluzione è in questo determinare i limiti concreti di ammissibilità di questa forma di redistribuzione del reddito discrezionale.

Impatto economico e sociale

{ Miglioramento dell'economia legato alla maggiore utilità del reddito redistribuito; impatto sociale dell'innalzamento dei redditi piú bassi; potrebbero essere necessarie riflessioni (e dati) sulla distribuzione percentuale dei RAL }

John Maynard Keynes

Forse uno dei più geniali inviti al pragmatismo:

The long run is a misleading guide to current affairs. In the long run we are all dead.

Il lungo periodo è una guida fuorviante per gli affari correnti. Nel lungo periodo saremo tutti morti.

John Maynard Keynes, A Tract on Monetary Reform, Ch. 3

Una delle più puntuali definizioni del capitalismo liberale:

Capitalism is the astonishing belief that the nastiest of men and the nastiest of motives will somehow work for the benefit of all

Il capitalismo è quella sorprendente credenza secondo cui i più odiosi degli uomini ed le più odiose delle intenzioni in qualche modo porteranno al bene di tutti

John Maynard Keynes, attribuita da sir George Schuster in Christianity and human relations in industry

Bertrand Russell

Advocates of capitalism are very apt to appeal to the sacred principles of liberty, which are embodied in one maxim: The fortunate must not be restrained in the exercise of tyranny over the unfortunate

I difensori del capitalismo sono molto inclini all'appellarsi ai sacri principî della libertà, che sono raccolti in una massima: il fortunato non deve essere trattenuto dall'esercitare tirannia sopra lo sfortunato

Bertrand Russell, Freedom in Society (Essay 13 in Sceptical Essays)

When you are studying any matter, or considering any philosophy, ask yourself only: What are the facts, and what is the truth that the facts bear out. Never let yourself be diverted, either by what you wish to believe, or by what you think would have beneficent social effects if it were believed; but look only and solely at what are the facts

Quando studiate qualunque qquestione, o considerate qualunque filosofia, chiedetvi soltanto: quali sono i fatti, e qual è la verità supportata da questi fatti. Non lasciatevi mai dirottare né da quello che vorreste credere, né da ciò che pensate possa avere benefici effetti sociali se fosse creduto; ma guardate solo ed esclusivamente a quali sono i fatti

Bertrand Russell, Face to Face (BBC interview)

Albert Allen Bartlett

The greatest shortcoming of the human race is our inability to understand the exponential function.

Il piú grande limite della razza umana è la nostra incapacità a comprendere la funzione esponenziale.

Prof. Al Bartlett

Jorge Agustín Nicolás Ruiz de Santayana y Borrás (George Santayana)

La probabile origine del famoso aforisma sul non imparare dalla storia

Progress, far from consisting in change, depends on retentiveness. When change is absolute there remains no being to improve and no direction is set for possible improvement: and when experience is not retained, as among savages, infancy is perpetual. Those who cannot remember the past are condemned to repeat it.

Il progresso, lungi dal consistere di cambiamento, dipende dalla capacità di trattenere. Quando il cambiamento è assoluto, non rimane essere da migliorare e non vi è nessuna direzione fissata per possibili miglioramenti: e quando l'esperienza non è trattenuta, come tra i selvaggi, l'infanzia è perpetua. Coloro che non ricordano il passato sono condannati a ripeterlo.

George Santayana, The Life of Reason, vol. 1: Reason In Common Sense

Samuli Paronen

Confesso di non conoscere il finlandese, ma mi ha molto incuriosito la citazione di questo autore trovata in questo articolo:

Todelliset voittajat eivät kilpaile

I veri vincenti non competono

Samuli Paronen, Maailma on sana

Jason Read

People who dismiss the unemployed and dependent as “parasites” fail to understand economics and parasitism. A successful parasite is one that is not recognized by its host, one that can make its host work for it without appearing as a burden. Such is the ruling class in a capitalist society.

Coloro che scartano i disoccupati e gli assistiti come “parassiti” non capiscono né l'economia né il parassitismo. Un parassita ha successo quando non viene riconosciuto tale dal proprio ospite, quando riesce a far lavorare il proprio ospite a proprio vantaggio senza sembrare un peso. Tale è la classe dirigente di una società capitalista.

Jason Read

Pierre Despoges

On peut rire de tout, mais pas avec tout le monde.

Si può ridere di tutto, ma non con tutti.

Pierre Despoges

Varie/sconosciute

Why does Garry Kasparov choose to fight Deep Blue at chess when he could simply pull its plug?

Perché Garry Kasparov decide di battersi contro Deep Blue a scacchi quando potrebbe semplicemente staccargli la spina?

Evil Spinnerette

Al mondo ci sono due tipi di persone: da una parte gli intelligenti e dalla stessa parte gli idioti che non capiscono di dover andare dall'altra.

Claudia Simple

L'Italia è un paese di destra, ma ogni giro di destra non dura più di vent'anni. L'ultimo è iniziato ieri.

GePs (26 febbraio 2013)

Alcune note sparse su come scegliere/valutare annessi e connessi al viaggio.

Alberghi

Nel valutare le camere, piccoli dettagli a cui prestare attenzione (da fare: assegnare punteggi ):

• cioccolattino sul letto/frutta fresca accanto al letto (quando si arriva/dopo il servizio di camera);
• possibilità di farsi un té in camera (bollitore, té, zucchero);
• presa di corrente vicina al letto;
• internet gratis;

Opportunismo ecologico: molti alberghi assumono una qualche convenzione per far sì che i clienti stessi possano segnalare quando cambiare le lenzuola (cartellino da lasciare sul letto, letto completamente tirato via) o gli asciugamani in bagno (generalmente, da lasciare sul pavimento se si desidera vengano cambiati). A loro fa comodo, ed è un piccolo contributo a ridurre gli sprechi.

Corollario: quando si fanno viaggi “in lungo” (una nuova città ogni giorno) bisognerebbe considerare anche questo impatto ambientale (dieci giorni di viaggio = dieci cambi di lenzuola e asciugamani) oltre alla classica carbon print (aerei, macchine, treni, etc).

Confesso che di tanto in tanto trovo divertente affrontare test della personalità (o altro) che si trovano online, soprattutto se sono originali nella scelta delle domande o divertenti nell'esposizione.

Non credo ci si possa aspettare granché, in effetti, dalla maggior parte dei test: sono infatti facilmente inquadrabili in semplicistiche domande da psicologia da bar. Ogni tanto però capita anche di incontrarne qualcuno più interessante.

In questa collection cercherò di raccogliere i risultati dei test online da me affrontati. (Avendo cominciato a raccoglierli oggi, mancheranno ovviamente tutti quelli del passato, tranne quelli che mi ricorderò di aver fatto e dei quali riuscirò a risalire ai dati.)

“L'eccezione che conferma la regola” è un modo di dire che suscita parecchi brividi dal punto di vista logico-matematico, come dal punto di vista scientifico; semmai, una eccezione dovrebbe negare la regola; le “eccezioni” vengono usate come controesempi per dimostrare che un teorema non è valido nel momento in cui una delle ipotesi viene ‘allentata’; le “eccezioni” sono usate nel metodo scientifico per falsificare una teoria, non per confermarla (anche se la sua falsificazione ci dice che la teoria era, appunto, scientifica).

In definitiva, cosa dovrebbe mai portare a dire che un'eccezione conferma la regola?

È abbastanza evidente che questo modo di dire nasce legato al mondo reale ed al suo essere molto meno ‘pulito’ e ‘regolare’ di quanto la matematica e la scienza possano descrivere e modellare; in qualche modo, diventa un modo per evidenziare il fatto che nella realtà vi sono delle regolarità “imperfette”; ed è anche un modo di dire che serve a giustificare quando si preferisce, in contesti specifici, non seguire certe regole.

In realtà, da un punto di vista logico-semantico, l'esistenza di un'eccezione conferma, effettivamente, l'esistenza di una regola, nel senso che senza una regola, non si potrebbe parlare di eccezione (eccezione a cosa?).

Eppure, anche in matematica è riuscita ad insinuarsi la possibilità di “situazioni eccezionali” in “deroga” alla liscia, astratta regolarità che normalmente si associa ad essa.

In effetti, la grande analisi del diciannovesimo secolo, che costituisce tuttora la sua parte forse più nota, diffusa ed usata (consciamente o inconsciamente), si occupa sostanzialmente di enti matematici (principalmente, funzioni) caratterizzate da grande regolarità: integrali e derivate, gli strumenti fondamentali dell'analisi, si appoggiano pesantemente a concetti quali quelli di continuità, differenziabilità, lipschitzianità … si richiede quindi che le funzioni siano senza ‘salti’, che il loro grafico sia ‘liscio’, senza spigoli o strane pieghe.

Ma sul finire del diciannovesimo secolo, alcuni matematici tra cui l'italiano Giuseppe Peano si dedicarono alla formalizzazione del concetto di misura (intuitivamente, l'equivalente della lunghezza dei segmenti, delle aree delle figure bidimensionali, dei volumi dei solidi).

La teoria della misura che si viene sviluppando negli anni successivi introduce quindi nel campo dell'analisi un concetto rivoluzionario, quello del quasi ovunque; non è più necessario che una funzione non abbia salti, che sia liscia: eccezioni alla regolarità delle funzioni sono permesse, purché queste siano ‘poche’ rispetto al comportamento ‘generalmente’ regolare della funzione.

La ‘pochezza’ (sic) delle eccezioni è strettamente legata alla teoria della misura, ma da un punto di vista intuitivo può anche essere un numero molto grande (potenzialmente infinito). Ad esempio, i numeri razionali sono ‘pochi’ rispetto a tutti i numeri reali (la misura di Lebesgue dell'insieme dei numeri razionali è zero), nonostante il fatto che la nostra mente possa enumerare una quantità infinita di numeri razionali e solo un pugno di numeri irrazionali.

Perché è interessante tutto questo? Se immaginiamo la vita di uomo come un ‘segmento temporale’, un insieme di istanti (con dimensione topologica 1), quest'uomo può affermare di avere quasi sempre ragione pur avento torto un'infinità di volte, a patto che l'insieme degli istanti in cui ha torto abbia misura nulla.

Non è meraviglioso tutto ciò?

Obiettivi

Lo scopo di questi appunti è di discutere/valutare la possibilità di una struttura sociopolitica che abbia Internet come propria piattaforma, e di studiarne potenzialità ed esigenze (strumenti, modalità, etc).

Il nome —istocrazia— è stato scelto dopo una sudata ricerca (in Rete) per il termine del greco antico che meglio potesse indicasse la Rete nel nostro contesto corrente. La scelta, scartate le parole in greco antico che si riferissero a reti da caccia o pesca ed a ragnatele, è infine caduta su ἱστός, che letteralmente rappresenta (fonte) “ciò che sta dritto”, tipicamente l'albero della nave o il braccio di un telaio (che è l'idea che ci interessa qui); in greco moderno, la parola è ugualmente connessa con la rete, in termini di “ciò che collega cose o persone”; in italiano rimane in alcune parole (come istologia) per indicare tessuto.

Non posso dire di essere troppo convinto della scelta, anche se non è disprezzabile (ad esempio, si potrebbe parlare di istocrazia come strumento per la formazione di un nuovo tessuto sociale). Si accettano comunque suggerimenti per alternative.

Considerazioni a latere (margini di premessa)

(Chi non fosse interessato, può saltare direttamente agli elementi di istocrazia.)

Su qualcosa come l'istocrazia il sottoscritto rimugina in realtà da anni, in varie forme e con varî nomi. In verità, l'idea stessa del wok nasce anche come ‘piattafroma di prova’ per possibili strumenti che potrebbero essere proprî dell'istocrazia. (In effetti, sarebbe un interessante ‘social experiment’ vedere fin dove possa arrivare a diffondersi l'idea stessa dell'istocrazia, partendo da qui; ma non ha molto senso condurlo prima di rendere il wok più interattivo.)

Ma poiché mentre il sottoscritto pensa c'è chi fa, dal primo affacciarsi di queste idee (quando ancora non esistavano gli strumenti, ed Internet cominciava appena a diffondersi) ad ora c'è chi ha portato avanti progetti con cui l'istocrazia potrebbe confrontarsi, o ha usato metodi che l'istocrazia potrebbe sfruttare.

L'idea dell'istocrazia si potrebbe quindi far partire da alcuni eventi, movimenti, esperienze, situazioni degli ultimi anni che hanno cercato, in qualche modo, di fare leva sulla connettività delle nuove generazioni per spingere questa o quella agenda politica, sociale, personale.

Gli esempi che mi vengono in mente, non necessariamente da intendersi in positivo (anzi), sono il MoVimento 5 Stelle ed Obama. (Si evitino battute sulla scia di “dalle stelle alle stalle”, in qualunque direzione vengano intese.)

{ Altri possibili esempi: Occupy whatever? }

Il MoVimento 5 Stelle

Il MoVimento 5 Stelle è l'esempio brillante di come qualcosa che a parole sarebbe dovuto essere un “movimento dal basso”, apartitico e di larga partecipazione, si possa in realtà struttrare in maniera opposta, con direttive centralizzate, decisioni “dall'alto” e scarsa possibilità di dibattito interno (salvo sui temi “di richiamo”, signoraggi e scie chimiche varî) { Link ad esempi }.

Il fatto stesso che nel nome del movimento si metta in risalto la V del Vaffanculo Day aiuta a comprendere come esso sia più una piattaforma di sfogo per rabbia e frustrazione verso bersagli facilmente condivisibili, con un orgoglio da qualunquismo populista (populismo qualunquista?), che qualcosa con la minima speranza (e probabilmente intenzione) di costruire, in maniera ragionata e condivisa, qualcosa di solido e significativo.

{ Uso di Interent da parte del MoVimento 5 Stelle. }

Obama

Obama, intendendo qui non (tanto o solo) l'individuo in sé quanto chi nel suo entourage di questo, è invece un esempio brillante di uso su larghissima scala di tutti i mezzi di comunicazione messi a disposizione da internet per la costruzione di una vasta base di supporto. Obama (o chi per lui) è stato probabilmente il primo ad aver compreso le potenzialità propagandistiche dei social network, rispecchiando in rete le campagne informative fatte “dal vivo”, tese a coinvolgere quante più persone possibili.

Ovviamente, il successo di Obama non è dovuto solo al suo sagace uso dei nuovi mezzi di comunicazione di massa, ma anche dalla sua capacità di proiettare di sé un'immagine da «uomo vicino al popolo», sia su scala politica (es. la Open Government Initiative), sia su scala ‘domestica’ (es. la campagna Dinner with Barack).

Quanto questa immagine aderisca alla realtà, ovviamente, è tutto un altro discorso. Il punto chiave è che la strategia comunicativa di Obama è una strategia “vincente”.

Elementi di istocrazia

Dire semplicemente che l'istocrazia dovrebbe avere Internet come base ovviamente non significa dire un granché. Occorre addentrarsi sui come, ma anche sui cosa: come si organizza e gestisce una cosa del genere? cosa dovrebbe costruire, e come dovrebbe costruirlo?

E forse soprattutto: cosa sarebbe esattamente l'istocrazia? Una forma partecipativa di progettazione, un metodo di diffusione delle idee e delle proposte.

{ Approfondire. }

{ collegamento alle riflessioni su terza e quarta rivoluzione industriale, sia per quanto riguarda gli strumenti, sia per quanto riguarda le possibilità di diffusione; esempi (positivi) dagli Occupy e/o dalle rivoluzioni nei Paesi arabi (per questi ultimi indagare meglio su in quali casi e quanto abbiano contribuito le comunicazioni interpesonali di massa tramite social network e app per cellulari) }

Istocrazia e partecipazione

{ istocrazia come forma di partecipazione: ogni tema viene discusso e votato (scelte: sì/no/indifferente) da tutti; legami con open government e open source governance }

Caratteristiche

{ ragionevolezza: le proposte e le critiche sono argomentate e documentate }

{ responsabilità: proposte non anonime, argomentazioni e critiche non anonime, votazioni non anonime, storia delle proposte }

{ anonimato vs pseudonimato }

Gli strumenti

{ wiki distribuita e sotto revision control; ogni proposta ha la sua discussione, e può essere riaperta se qualcuno cambia idea o se nuovi arrivati contribuiscono nuovi argomenti/documentazioni }

{ perché distribuita: migliore gestione del DTDP, dando a tutti la possibilità di studiare le proposte, preparare risposte, argomenti e documenti secondo i proprî tempi }

{ problemi di scala: funziona facilmente bene per un pugno di persone, come scala a migliaia o addirittura milioni di persone? anche il self-hosting di ikiwiki (per dire) probabilmente non arriva a queste proporzioni; vedi anche gestione del kernel Linux, con centralizzazione più mirror/ridondanza, ‘luogotenenti’ etc, ma da fare evitando rischi derivanti da centralizzazione (che per Linux non sono rischi, ma al contrario punti di forza, pur senza violare la natura open di sviluppo del software); vedi anche Crowdsourcing e direttive }

Istocrazia e diffusione

{ istocrazia come forma di diffusione delle idee e delle proposte: il progetto iniziale parte da un piccolo gruppo di individui, si diffonde tramite ‘social graph’. Domanda: fin dove può arrivare questa diffusione, supponendo che parta da un solo individuo/un piccolo gruppo di individui della “periferia” dei social network? }

Pragmatismo

Dalla proposta alla realizzazione

{ come fare perché le proposte discusse ed accettate istocraticamente diventino realtà? }

Crowdsourcing e direttive

{ l'istocrazia come forma di crowdsourcing; opportunità o meno di qualche forma di dirigenza, esempi dal mondo dell'open source: progetti con comitati direttivi e/o “dittatori benevoli” vs progetti meno guidati (vedi ad es. questo post e relativi commenti) }

In questa pagina intendo raccogliere una serie di appunti per un possibile dibattito sull'anarchia. I contenuti della pagina sono (e saranno) variegati, non troppo ben organizzati, e spazieranno dai miei dubbi personali su alcune questioni ai più evidenti problemi argomentativi che mi capita di incontrare leggendo roba scritta da (sedicenti) anarchici e/o libertari.

Il materiale qui raccolto va considerato più come risultato di sessioni di brainstorming individuale che come riflessioni conclusive, e richiede come minimo approfondite analisi, chiarimenti e riscontri prima di andare a costituire parte solida di un pensiero o di un'argomentazione in qualche dibattito.

Cautelativa

Sinceramente non sono molto convinto dell'opportunità di mettere questi contenuti online prima che il wok sia aperto ai contributi esterni, ma ho infine deciso di pubblicarli comunque, pur conscio di non lasciare (al momento) spazio (locale) al contraddittorio (in forma soddisfacente), per una serie di motivi:

• tendo a dimenticarmi le cose: ricostruire le riflessioni già fatte, in parte pubblicate altrove sotto forma di commento, in parte mai trascritte, mi è costato un weekend esteso (tre giorni) di lavoro, senza peraltro giungere a compimento (come mostrato dai molti spazi lasciati “da completare”);
• devo interrompere il lavoro di scrittura con l'inizio della settimana lavorativa, e mi piace avere un punto fermo solidamente registrato;
• la pubblicazione darà comunque la possibilità ad altri di leggere con calma la valanga di contenuti qui depositati, per studiarli, analizzarli, giudicarli ed eventualmente preparare (sempre con calma) risposte, commenti, suggerimenti, correzioni, opinioni;
• c'è sempre la possibilità di risposte per vie traverse (es. FriendFeed), anche se per qualcosa di così complesso preferirei non venisse utilizzata un canale comunicativo così ridotto e fragile;
• per chi fosse interessato ad accendere il dibattito fin d'ora potrei rendere disponibile il sorgente del wok, aprendo così il sito ad una delle previste forme interattive (la forma nerd, il wok come progetto ‘open source’ sotto version control).

Premessa

Una premessa è d'obbligo: la mia cultura sull'anarchia è (al momento) estremamente ridotta. Visto il notevole rallentamento dei miei tempi di lettura ‘classica’ (con Logica della scoperta scientifica sul davanzale della finestra accanto alla tazza del cesso, per intenderci), chissà quando arriverò a leggere qualche pilastro della teoria anarchica (Godwin? Proudhon? Stirner? Malatesta?); nel frattempo, la mia principale fonte d'informazione è Internet, per lo più nella forma dell'immancabile Wikipedia da prendere con le pinze e di qualche blog letto saltuariamente e per vie traverse.

Devo dire subito che quel poco che leggo (al di fuori della didascalica Wikipedia) non è esattamente soddisfacente, dal punto di vista intellettuale: tra fallacie argomentative e metafore che centrano il punto come le mele stanno ai triangoli1, definizioni a dir poco non condivisibili ed una generale superficialità nell'affrontare questioni che a mio parere sarebbero invece di cruciale importanza per una discussione seria sulla fondatezza di un'ideologia (come ad esempio quella anarchica), mi ritrovo spesso più perplesso che convinto.

È anche vero, d'altronde, che la mia esperienza personale mi ha fatto più volte incontrare sostenitori di idee da me pienamente condivise a cui potrei fare critiche non dissimili da quelle appena sollevate allo scarso (in termini quantitativi) materiale che ho letto di, da, e su libertari ed anarchia; e se qualcosa questo mi ha insegnato è che non si può limitare la valutazione di un'idea alla qualità o alla capacità argomentativa di alcuni suoi sostenitori. (Se pur con le dovute cautele che non può non prendere chiunque abbia letto l'importantissimo saggio sulla stupidità umana di Carlo Maria Cipolla il cui testo è fortunatamente di dominio pubblico).

Definizioni

È ben inteso che se non c'è accordo sul significato delle parole che si usano e sui concetti di cui si parla, difficilmente si potrà sperare non dico di raggiungere un accordo, ma nemmeno di avere una discussione minimamente costruttiva. Senza finire con l'impelagarci nei paradossi autoreferenziali della filosofia linguistica ed ignorando le inevitabili conclusioni sull'incomunicabilità2, c'è quindi un minimo di termini che sarebbe il caso di cercare di definire.

Stato, governo, nazione, società

Ho avuto l'impressione, leggendo qui e là, che qualche libertario avesse le idee un po' confuse sulle differenze tra questi concetti. La confusione è in parte imputabile ad una effettiva ambiguità semantica (soprattutto in presenza di enti quali Germania, USA e UAE), in parte ad identificazioni cui la storia degli ultimi due-trecento anni ci ha abituato (le famose idee sullo Stato-nazione dell'Ottocento), in parte a grossolana superficialità (uno Stato non è il proprio governo, nemmeno quando martellante propaganda mediatica vorrebbe convincerci del contrario), e forse anche grazie al contributo di qualche problema di traduzione (ad esempio dall'uso angosassone di nation per supplire alla mancanza di un termine che ben traduca il concetto di Volk o di popolo).

Lo Stato è un ente giuridico, associato (generalmente? sempre?) ad un territorio, la cui esistenza è legata in parte alla capacità dei suoi cittadini di autodeterminarsi ed in parte alla volontà degli altri Stati di riconoscerne l'autonomia. La ricorsività della definizione non è tanto un problema logico quanto soprattutto una questione pratica, come dimostrano casi che vanno dalla Cina (continentale) vs Taiwan ai Paesi Baschi passando per Kurdistan e Bretagna, giusto per citarne i primi che mi vengono in mente.

Il concetto di nazione è ancora più ambiguo di quello di Stato, ed aggiunge ai fattori territoriali anche questioni di identità (o presunte tali) culturali, etniche e/o religiose che ne caratterizzano (o caratterizzerebbero) i popoli.

Il governo è l'ente che in uno Stato detiene il potere esecutivo. Esso può essere costituito da una o più persone (generalmente cittadini dello Stato stesso, ma sarei curioso di sapere se esistono controesempi), e può anche detenere altri poteri. Un aspetto importante da sottolineare è che lo Stato non è il proprio governo, ed il governo di uno Stato non è lo Stato stesso. Persino nel caso di assolutismi, lo Stato è i propri cittadini, anche quando questi, per paura o per pigrizia, subiscano incondizionatamente lo strapotere di chi li governa.

(Una metafora: una famiglia è i propri membri; anche quando gestita da un capofamiglia dispotico e violento, essa non si riduce al capofamiglia stesso.)

Domande possibili, da affrontare oltre le definizioni:

• è possibile che il governo coincida con l'intera popolazione dello Stato? (Credo che in Islanda ci vadano molto vicini)
• è possibile che il potere esecutivo venga esercitato in una forma che rispetti le libertà individuali?

Infine, il termine più importante, e forse più difficile, tra questi è quello di società. Specificamente, vorrei dare a questa parola un significato un po' più ampio di quello formalmente inteso. Società sarebbe quindi ogni gruppo di individui che interagisce (direttamente o indirettamente) in maniera abituale (anche quando sporadica). In tal senso, società è termine più generale di ciò che potrebbe essere descritto come comunità, in cui si legge invece anche un esplicito senso d'identità, ed è rappresentata, per ciascun individuo, dalla sua sfera d'interazione (abituale).

Ho coscienza del fatto che una tale definizione di società va un po' fuori dai margini della notazione usuale, ma la userò comunque in assenza di un altro termine (possibilmente di uso corrente) che possa indicare quanto descritto. (Suggerimenti ben accetti.)

Anarchia, anarchici e libertari

Ovviamente, la definizione più importante se si vuole dibattere sull'anarchia è cosa sia l'anarchia stessa. A questa si aggiunge un mio dubbio personale che ultimamente credo risolto: c'è differenza tra anarchici e libertari? Mi sembra di capire che siano sostanzialmente la stessa cosa, e che il termine “libertario” sia nato per distinguere l'anarchia come ideologia politica ‘positiva’ dall'anarchia volgarmente intesa negativamente come caotico e selvaggio free-for-all senza regole (tranne forse la più animalesca ed istintiva “legge del più forte”).

O forse c'è una qualche distinzione possibile sui principali campi toccati dall'ideologia, sociopolitica in un caso ed economica nell'altro. Ma per il momento scriverò col presupposto che i due termini possano essere usati intercambiabilmente, salvo dover rivedere la semantica nel caso qualche differenza emergesse.

Tornando all'anarchia, sarei alquanto sorpeso se venissi a scoprire che esiste un “pensiero unico anarchico”, un'ideologia complessa e dettagliata condivisa fin nei minimi particolari (teorici e pragmatici) da tutti gli anarchici; mi aspetterei anzi che ci siano tante teorie quanti libertari3. Immagino però ugualmente che esista un nucleo di principî fondanti su cui tutti gli anarchici si ritrovano d'accordo, un “massimo comun denominatore” del pensiero anarchico.

Nella mia limitata conoscenza, penso che un buon punto di partenza sia quella sintetica definizione data da Proudhon di anarchia come «ordine senza potere», una definizione che mi piace perché in poche parole racchiude due capisaldi che possono facilmente essere considerati i pilastri (in senso positivo da un lato e negativo dall'altro) del pensiero anarchico:

ordine

la rottura con il significato negativo fino ad allora associato al termine, quindi non più anarchia come caos, assenza di regole;

senza potere

la possibilità (se non la necessità, addirittura) che regole ed organizzazione emergano senza prevaricazione, nel rispetto della volontà e della libertà dell'individuo.

Meno sinteticamente, possiamo quindi dire che la filosofia anarchica è incentrata sulla possibilità di una società di organizzarsi senza imposizioni, senza coercizioni, e quindi spontaneamente e soprattutto con l'accordo dei partecipanti. Con una banalizzazione che ai libertari sicuramente non piacerà, l'anarchia potrebbe quindi essere vista, da questo punto di vista, come un raffinamento della democrazia dove le uniche regole siano quelle accettate all'unanimità. Ma di questo si parlerà in dettaglio più avanti.

Un'attenzione particolare, inoltre, merita il concetto di potere. Si può infatti vedere il potere in almeno due forme; in un senso più specifico e restrittivo, lo si può intendere nella sua forma coercitiva, il potere come autorità imposta, come violazione della volontà (altrui). Esiste però anche una forma di potere che può giungere agli stessi obiettivi (intendendo come obiettivo il far fare ad altri qualcosa che loro spontaneamente non farebbero) in maniera che potremmo dire morbida, in alcuni casi persino indiretta: è il potere esercitato dal carisma, dal fascino, o anche semplicemente dalla capacità di convincere —o di imbrogliare.

Se è abbastanza evidente nel pensiero libertario il rifiuto del potere nel suo significato più ristretto, il caso del senso più ampio è invece più incerto, ed una sua analisi rischia di impelagarsi su questioni filosofiche circa la natura della volontà e delle sue violazioni. Ma anche di questo si parlerà in dettaglio più avanti.

{ Esistono altri principî fondanti del pensiero anarchico, principî che non possono essere derivati da quelli appena esposti, ovvero il rifiuto della prevaricazione (ed il rispetto della volontà) non separato dalla ricerca dell'ordine? }

Regole e comunità

Fatto salvo il caso oserei dire irrealistico del singolo individuo che non abbia mai alcuna forma di interazione, diretta o indiretta, con un altro (e per il quale quindi non si pone nessuna delle questioni discusse in questi appunti), la maggior parte di noi si trova a vivere almeno parte della propria vita come membro di una società, intendendo tale termine nel senso più generico possibile discusso nelle definizioni.

Individui le cui interazioni includano un senso di identità come gruppo e/o una forma di vincolo reciproco costituiscono una comunità. Le comunità hanno regole che possono essere scritte o non scritte, immutabili o mutabili, regole nei confronti della quale i membri hanno (o ci si aspetta abbiano) un atteggiamento generalmente positivo: esse vengono riconosciute come generalmente valide, e seguite salvo casi tipicamente eccezionali, accettati o giudicati secondo limiti di tolleranza che sono specifici della comunità stessa. { Collegamento a discussione su violazione e mutamenti delle regole }

Alcune importanti osservazioni: l'adesione ad una comunità porta con sé implicitamente l'accettazione delle regole della comunità stessa. Inoltre, l'anarchia non è incompatibile con l'esistenza di comunità: a condizione che l'appartenenza alla comunità sia una libera scelta individuale e che le regole della comunità stessa non violino i principî fondamentali dell'ideologia libertaria, non è irrealistico concepire l'idea di una comunità anarchica.

Vorrei adesso entrare nel dettaglio di un problema specifico che ritrovo spesso discusso da libertari, un caso da cui prendere spunto per un'ulteriore indagine sulla questione dell'esistenza delle comunità e del senso di appartenenza.

Tasse e furti

Uno dei punti più caldi delle “lamentele libertarie” che trovo su internet è l'equazione tra tasse e furto. A difesa di questa tesi si trovano metafore che vanno dal ridicolo all'assurdo passando per l'intellettualmente disonesto (vuoi per estremizzazioni, vuoi per oculata omissione di dettagli importanti).

Oltre ad essere deboli dal punto di vista argomentativo, le presentazioni sulla tassa come furto da me incontrate soffrono a mio parere di un altro grave problema: spostano l'attenzione da un problema centrale e di grande importanza ad un suo corollario periferico. Anche quando lo si voglia fare per semplici intenzioni esemplificative (uno dei modi in cui lo Stato opprime gli individui4), questo approccio ha nel migliore dei casi all'incirca la stessa potenza argomentativa dell'indicare un dito che indica la Luna dopo aver indicato la Luna stessa. E questo, s'intende, quando presentato con solidità e perizia.

L'idea di fondo della tassazione come furto, se ho capito correttamente gli argomenti incontrati, è che essa è imposta (aggettivo, nel senso prevaricativo del termine più che in quello burocratico che da esso deriva): è cioè un trasferimento di beni mobili dal tassato allo Stato (o al comune o alla regione etc), trasferimento che avviene contro la volontà del tassato. (Sia quindi inteso che si parla qui di tasse nel senso specifico di imposte (stavolta sostantivo, nel senso quindi burocratico), e non con il significa più generico che può essere utilizzato anche per forme di tassazione volontaria.)

In tal senso, si noti, le tasse sarebbero un'imposizione a prescindere dal fatto che se ne abbia poi un ritorno in termini di servizi (istruzione, sanità, sicurezza, sussidi di disoccupazione, borse di studio), nonché a prescindere dalla qualità dei servizi stessi (qualità peraltro generalmente non omogena nel territorio di uno Stato, per non parlare delle differenze tra Stati diversi): non essendo una contribuzione volontaria, con la resa dei servizi ci avvicineremmo magari alla filosofia dell'estorsione più che a quella dello scippo, ma resteremmo comunque nell'ambito del, diciamo così, “reato contro il patrimonio”.

Nonostante ciò vi sono comunque libertari che sembrano quasi ansiosi di sottolineare, ogni qualvolta possano, quanto inefficiente sia il rendimento delle tasse, in termini di rapporti costi/benefici, vuoi con esempi di mala amministrazione vuoi sulla base di questa o quella (discutibile) teoria economica5.

Sarebbe interessante capire se l'evidenziare l'inefficienza tasse/servizi sia semplicemente un “di più” («non solo lo Stato ti deruba/estorce con le tasse, ma per giunta questi soldi li spende male»), se abbia un mero valore esplicativo («io le tasse non voglio pagarle perché sono un modo inefficiente di avere servizi», quindi ricollegandosi alla questione appunto della volontà), o se abbia invece un intento argomentativo di tipo rafforzativo. Mi auguro che non si dia il terzo caso perché i cattivi esempi non sono argomenti validi.

(Mi piacerebbe avere anche una statistica della diffusione delle idee anarchiche nei vari Stati, da correlare all'efficienta dello stato sociale; non sarei sorpreso di scoprire una correlazione inversa, per esempio con gli USA al primo posto per diffusione delle idee libertarie e le socialdemocrazie nordeuropee all'ultimo. Penso comunque che un lavoro del genere dovrebbe anche tener conto di fattori correttivi quali il livello di istruzione.)

L'efficienza del sistema tasse/servizi è una questione di tipo prettamente economico che, lungi dall'essere immeritevole di attenzione, tocca però solo tangenzialmente la questione sociale che dovrebbe essere invece di centrale attenzione dal punto di vista libertario, in questo senso: appurato che un individuo saggio che fosse convinto dell'opportunità di una contribuzione individuale per un servizio collettivo accetterebbe volontariamente di pagare detta contribuzione, lo stesso individuo, libertario, sarebbe comunque contrario ad una imposizione della contribuzione (a sé o ad altri) in violazione della volontà del (potenziale) contribuente.

In parole povere: se anche il sistema tasse/servizi fosse efficiente, se anche fosse per chiunque il sistema più efficiente per ottenere servizi (ipotetica molto del terzo tipo), la tassazione (non volontaria, anzi in quanto non volontaria) sarebbe comunque un sopruso ed una violazione della libertà individuale. Vorrei quindi tornare al punto che dovrebbe essere cruciale (se non forse l'unico) nel discutere di tasse dal punto di vista anarchico: l'imposizione.

In realtà, un elemento chiave che manca sia dalle metafore noir a suon di pistole puntate alla tempia sia nelle argomentazioni un po' più serene e puntuali è che le tasse da pagare sono una delle regole di una comunità (formale) cui il contribuente (formalmente) appartiene: sono quindi legate al suo essere cittadino di un particolare Stato, residente in un particolare comune, etc6.

Ora, è ben inteso che, prescindendo dal caso specifico Stato/tasse, nell'accettare di far parte di una comunità (che abbia regole ben precise) se ne seguano le regole. In altre parole: nella misura in cui un individuo accetta di far parte di una comunità, le regole della stessa non possono essere considerate imposizioni sull'individuo.

Come ho già detto, questa piccola ma significativa precisazione da un lato invalida l'argomentazione libertaria che classifica le tasse come furto in quanto contro la volontà; nel farlo, però, spalanca le porte ad un discorso che scende molto più addentro alla questione nella quale l'apparente imposizione delle tasse è solo un superficiale sintomo; questione che tratterò tra poco.

Per concludere provvisoriamente il discorso sulle tasse, vorrei però rimarcare che quanto detto sopra è alquanto generico, e non tiene conto ad esempio della diversa natura che diverse tasse possono avere. In particolare, non tiene conto della differenza tra quelle che il contribuente versa direttamente in quanto tali, e quelle pagate indirettamente.

La differenza non è insignificante perché, per esempio, anche un turista straniero (ovvero non cittadino) paga l'IVA allo Stato in cui sta facendo turismo qualora usufruisca di servizi o acquisti beni che non ne sono esenti. Tuttavia, anche in questi casi può generalmente farsi un discorso specifico che evidenzi la debolezza della classificazione della tassa come furto.

Sempre restando nel caso dell'IVA, si hanno per esempio almeno due ragioni. La prima, di ordine burocratico, è che non essendo cittadini si può chiedere il rimborso dell'IVA7 (che non è proprio la stessa cosa che non pagarla, ma ci va comunque molto vicina). La seconda è che è se pur vero che l'acquirente non è cittadino dello Stato, lo è invece il venditore; il pagamento dell'IVA, pertanto, se non è legato alla volontà dell'acquirente, lo è a quella del venditore. Ma si entra qui nell'ambito delle dinamiche interpersonali, che è una questione dell'ideologia anarchica che merita un discorso a sé.

Comunità e appartenenza

Le riflessioni sulla natura delle tasse mostrano come il loro carattere apparentemente vessatorio sia in realtà soltanto un sintomo molto superficiale di qualcosa di ben più profondo, ovvero la qualità e la natura dell'appartenenza comunitaria.

Le tasse sono parte delle prescrizioni dettate dalle regole di appartenenza a specifiche comunità (Stati, comuni, etc) ai rispettivi membri (cittadini, residenti, etc). Porre la questione in termini di scelta del pagamento o meno delle tasse è quindi improprio: in realtà la questione dovrebbe vertere sulla scelta di appartenere o meno a ciascuna specifica comunità6.

In altre parole, la questione non è se il singolo individuo possa scegliere di pagare le tasse o meno, bensì se lo stesso abbia la possibilità di scegliere se far parte della comunità che ne richiede il pagamento oppure no. S'intende che laddove l'individuo possa scegliere, una sua eventuale scelta in negativo comporterebbe automaticamente la decadenza non solo dei doveri prescritti dalle regole di appartenenza della comunità in questione (ed in particolare le tasse), ma anche di tutti i diritti e privilegi garantiti dalla stessa.

Questo apre almeno due filoni di analisi: uno teorico focalizzato sulla compatibilità tra il pensiero (ed il vivere) libertario con altre forme di interazione sociopolitiche (discorso rimandato ad altrove { da determinare il paragrafo appropriato nella sezione Condizioni di realismo, quando sarà scritto }); uno pratico incentrato sulla possibilità di un vivere libertario ora. In questo senso i ragionamenti qui di seguito non saranno legati tanto ad un “come le cose dovrebbero/potrebbero essere”, ma piuttosto fortemente a “come le cose sono”.

Un punto indiscutibile è che nella situazione corrente la maggior parte di noi (libertari e non) si trova ad essere membro di varie comunità non per liberta scelta di adesione individuale, ma per questioni diciamo così storico-geografiche: per via del luogo dove siamo nati e/o cresciuti e/o quello in cui abitiamo, o per via della nazionalità dei nostri genitori8.

È pur vero però che, non avendo potuto scegliere di aderire a queste comunità, possiamo generalmente scegliere di uscirne (un sub-ottimale opt-out invece del (per alcuni) preferibile opt-in), seguendo le necessarie procedure burocratiche (rinuncia alla cittadinanza, cancellazione della residenza, etc) prescritte dalle regole delle comunità stesse per il riconoscimento della fuoriuscita del membro.

La questione non è purtroppo sempre lineare ed immediata. Probabilmente come reazione all'esperienza della prima metà del secolo scorso (lettura consigliata), ad esempio, i regolamenti di alcuni Stati rendono infatti difficile divenire apolidi; non so ad esempio se sia nemmeno possibile (o quanto sia facile), nel contesto legislativo attuale, rinunciare alla cittadinanza italiana senza averne un'altra (chi vuole può darsi alla lettura del testo della L.91/1992 come emendata dalla L.94/2009 o cercare altri regolamenti rilevanti).

Supponendo comunque che si riesca a rescindere l'appartenenza a quelle comunità cui non si vuole appartenere, il dopo è pure tutt'altro che semplice. In questo caso, il cardine dei problemi è il controllo territoriale: non esiste infatti (o se esiste io personalmente non ho idea di dove trovarla) un'area di terre emerse su cui qualche Stato non dichiari possesso; semmai, è facile trovarne su cui a pretendere controllo sono più d'uno (ovviamente in conflitto tra loro). Tra le possibilità abbiamo quindi (intendendo l'appartenenza di un luogo ad uno Stato in termini di pretese di controllo dello Stato sul luogo):