متتالية

المتتالية (بالإنجليزية: Sequence)‏ (ويطلق عليها المتتابعة والمتوالية والتناسب) هي مجموعة من الأغراض أو الأحداث أو الحروف المرتبة بنمط خطي (وله معنى بحيث أن ظهور الحرف أو الحدث بعد الآخر له دلالة ولم يأتي عبثاً قد يكون وفق تطبيق محدد) حيث يكون ترتيب أعضاء المتتالية محدداً تماماً ومميزاً. هذه الأعضاء تسمى عناصر المتتالية أو حدودها.

متتالية غير منتهية من الأعداد الحقيقية (باللون الأزرق). هذه المتتالية ليست تصاعدية ولا تنازلية, وليست لها نهاية (أي أنها ليست متقاربة، إذن، هي متباعدة)، وليست هي بمتتالية كوشي. ولكنها محدودة.

إذا وضعنا مقابل كل عدد طبيعي $n$ عددا حقيقيا $x_{n}$ فنحصل على: $x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{n},...$ وكل هذه الاعداد ندعوها بحدود المتتالية و $x_{n}$الحد العام.

و المهم في المتتالية أنها من أجل كل $n\in N$ أن الحد $x_{n+1}$ يلي الحد $x_{n}$ والحد $x_{n}$ يسبق الحد $x_{n+1}$ بغض النظر عن قيمهما.

نبذة تاريخية

• دُرِسَت المتتاليات العددية الأولى في اليونان القديمة، مثل متتالية الأعداد الأولية وأرخميدس قام بأعمال حول المتتاليات التي نهايتها تساوي p.
• في القرن الثالث عشر اكتشف الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي المتتالية التراجعية البسيطة التي تحمل اسمه: $u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}$مع $u_{0}=1$ و $u_{1}=1$والتي تترجم نمو تكاثر الحيوانات وتدخل المتتالية في توزيع وترتيب اوراق بعض النباتات بحيث يضمن هذا التوزيع وصول أكبر قدر من اشعة الشمس، وقد أثبت عام 1975 بأن عناصر هذه المتتالية تمثل جذورا لكثيرات حدود من الدرجة الخامسة. .
• المتتاليات الحسابية والهندسية ظهرت في أوروبا وفي الصين في القرون الوسطى.
• في عصر النهضة درست المتتاليات المعروفة لدينا الآن.

التعريف الرسمي والخصائص الأساسية

تعريف

يُسمى متتاليةً عدديّةً كل تطبيق منطلقه مجموعة الأعداد الطبيعية $N$ ومستقره حقل $K$. نرمز عادة إلى المتتالية بالرمز $(U_{n})_{n\in N}$أو $\{u_{n}\}$عوضاََ عن:

${\begin{matrix}u:N\rightarrow K\\n\mapsto u_{n}\end{matrix}}$

تعريف متتالية من خلال الاستدعاء الذاتي (تعريف التدرجي) :

حيث يكون كل حد في المتتالية متعلقاً بالحد أو الحدود التي قبله، كأن يكون كل حد هو مجموع الحدين الذين قبله

مثال: مهما يكن $\forall n\in N$ نعرف المتتالية $\{x_{n}\}$ كما يلي: ${\begin{matrix}x_{0}=1\\x_{n+1}=(n+1)x_{n}\end{matrix}}$

تعريف متتالية دالة :

مثال: $x_{n}={\frac {2^{n}}{2^{n}+1}}$

متتالية عددية حقيقية لانهائية محدودة

نقول عن المتتالية $\{x_{n}\}$محدودة إذا كانت محدودة في $R$ أي: مهما كان $m,M\in R$يكون: $m\leq x_{n}\leq M$

أو: $\left\vert x_{n}\right\vert <K$من أجل كل $n\in N$و $K$ عدد حقيقي موجب.

أي أن مجموعة قيم أي متتالية عددية حقيقية لا نهائية تكون مجموعة اما منتهية وغير خالية أو غير منتهية وتكون إما محدودة أو غير محدودة.

ونقول انها محدودة من الأعلى إذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأعلى ونقول أنها محدودة من الأدنى إذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأدنى.

و نقول ان المتتالية ما محدودة لما تكون مجموعة قيمها محدودة من الأعلى والأدنى في اَن واحد.

المتتاليات الحسابية والمتتاليات الهندسية

قد تكون متتالية ما حسابيةً إذا كان الفرق بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثاً، وتكون هندسيةً إذا كانت النسبة بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثة. وقد تكون غير ذلك (أي أنها ليست حسابية وليست هندسية).

المتتاليات المطردة

نقول عن المتتالية العددية إنها متتالية مطردة إذا كانت إما متتالية تصاعدية أو تنازلية أو تصاعدية تماما أو تنازلية تماما.

متتالية تصاعدية ومتتالية تنازلية

يقال عن متتالية ما أنها تصاعدية إذا كان كل حد أكبر من الحد الذي يسبقه أو يساويه. ويقال عنها أنها تصاعدية تماماً إذا كان كل حد أكبر تماماً من الحد الذي يسبقه. ويقال عن متتالية ما أنها تنازلية إذا كان كل حد أصغر من الحد الذي يسبقه أو يساويه. ويقال عنها أنها تنازلية تماماً إذا كان كل حد أصغر تماماً من الحد الذي يسبقه.

بالتعبير الرياضي:

نقول أن المتتالية العددية $\{x_{n}\}$أنها:

• تصاعدية إذا كان $x_{n}\leq x_{n+1}$ من أجل كل $n\in N^{*}$
• تنازلية إذا كان $x_{n}\geq x_{n+1}$ من اجل كل $n\in N^{*}$
• تصاعدية تماما إذا كان $x_{n}<x_{n+1}$ من اجل كل $n\in N^{*}$
• تنازلية تماما إذا كان $x_{n}>x_{n+1}$ من اجل كل $n\in N^{*}$

المتتاليات الجزيئة

المتتالية الجزئية لمتتالية ما، هي متتالية تتكون من عناصر المتتالية الأصلية، بعد حذف بعض العناصر منها، دون تغير الترتيب النسبي الذي جاءت فيه العناصر غير المحذوفة. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الزوجية 0، 2، 4، 6... هي متتالية جزئية من متتالية الأعداد الطبيعية، 0، 2، 4، 6، 8.... (في هذا المثال حذفت جميع الأعداد الفردية).

لتكن لدينا المتتالية العددية $x_{1};x_{2};...;x_{n};...$ولنختر من بين حدودها حدََا نرمز له بالرمز $x_{n_{1}}$ثم نحذف من هذه المتتالية الحدود $x_{1};x_{2};...,x_{n_{1}}$فتبقى لدينا الحدود $x_{n_{1}+1};x_{n_{1}+2};...$, ومن الحدود المتبقية نختار الحدََا نرمز له بـ $x_{n_{2}}$ونكرر نفس عملية الحذف وهكذا حتى نحصل على المتتالية الجديدة: $x_{n_{1}};x_{n_{2}};...;x_{n_{k}};...$, تدعى هذه المتتالية بالمتتالية الجزئية من المتتالية $x_{1};x_{2};...;x_{n};...$و يكون الحد العام للمتتالية الجزئية هو $x_{n_{k}}$و نلفت النظر ان رقم الحد $x_{n_{k}}$يتعين بواسطة $k$وليس $n$.

وننوه أن: $n_{k}\geq k$من أجل كل $k\in N^{*}$وهذا يعني انه من اجل كل $k\in N^{*}$يكون الحد $x_{n_{k}}$إما يساوي الحد $x_{k}$أو يساوي أحد الحدود التي تلي الحد $x_{k}$, ويمكن البرهان على هذا بالاستقراء: فمن أجل $k=1$تكون القضية $n_{1}\geq 1$صحيحة لان الحد $x_{n_{1}}$هو إما $x_{1}$ أو أحد الحدود التي تلي $x_{1}$في المتتالية $x_{1};x_{2};...;x_{n};...$و لنفرض أن المتباينة $n_{m}\geq m$صحيحة من اجل $k=m$ عندئذ نجد أن: $n_{m+1}\geq n_{m}+1\geq m+1$ وبهذا قد أثبتنا المطلوب.

أنواع أخرى من المتتاليات

تُدعى متتالية ما جدائية إذا كان${\textstyle f(x\times y)=f(x)\times f(y)}$ حينما يكون x و y أوليين فيما بينهما. متتالية موبيوس مثال على ذلك.

انظر إلى مجموعة مرتبة جزئيا وإلى دالة رتيبة.

نهاية متتالية وتقاربها

متتالية عددية حقيقية متقاربة

نقول عن العدد $a$ انه نهاية المتتالية العددية $\{x_{n}\}$و نكتب: $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ عندما وفقط عندما يتحقق ما يلي:

$\forall \epsilon \in R_{+}^{*}\ \exists \ n_{\epsilon }\in N:n\geq n_{\epsilon }\Rightarrow |x_{n}-a|<\epsilon$

حيث العدد الطبيعي $n_{\epsilon }$يتغير في الحالة العام بتغير العدد $\epsilon$.

ونقول عن المتتالية العددية الحقيقية اللانهائية التي توجد لها نهاية بإنها متتالية متقاربة . وإذا كانت هذه النهاية تساوي $a$ نقول عن هذه المتتالية انها متقاربة من $a$

ويمكن كتابة تعريف المتتالية المتقاربة في $R$بالشكل التالي:

نقول عن المتتالية $\{x_{n}\}$أنها متقاربة من العدد الحقيقي $a\in R$ إذا وفقط إذا كان $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$.

متتالية متباعدة

يُقال عن متتالية عددية $\{x_{n}\}$ أنها متباعدة إذا لم تكن متقاربة. ويتوفر ذلك في إحدى الحالتين التاليتين:

• نهاية هذه المتتالية هو ما لا نهاية له. المتتالية الحيادية التي تربط كل عدد n بنفسه مثال على ذلك.
• المتتالية حيث متتاليتان جزئيتان تقتربان من نهايتين مختلفتين. المتتالية المتناوبة $\{x_{n}\}=(-1)^{n}$ مثال على ذلك.

متتالية كوشي

المقالة الرئيسة: متتالية كوشي

يُقال عن متتالية أنها لكوشي إذا كانت حدود هذه المتتالية تتقارب من بعضها البعض بشكل غير محدود من القرب كلما آل n إلى ما لا نهاية له. سُميت هذه المتتاليات هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لوي كوشي.

مبرهنات اساسية حول التقارب

المبرهة الأولى: وحدانية نهاية متتالية

إذا كانت المتتالية العددية $\{x_{n}\}$ متقاربة من العدد $a$ ومن العدد $b$ فإن $a=b$.

الاثبات: ليكن $\epsilon \in R_{+}^{*}$عندئذ ${\frac {\epsilon }{2}}\in R_{+}^{*}$ويوجد عددان طبعيان يختلفان عن الصفر $n_{1}$و $n_{2}$ بحيث يكون:

$\forall n\in N^{*}\ :n\geq n_{1}\Rightarrow |x_{n}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}$

$\forall n\in N^{*}\ :n\geq n_{2}\Rightarrow |x_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}$

ومنه يوجد عدد الطبيعي $n_{3}=\max(n_{1};n_{2})$ بحيث يكون:

$\forall n\in N^{*}\ :n\geq n_{3}\Rightarrow |x_{n}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}\ \land \ |x_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}$

$\Rightarrow |a-b|=|a-x_{n}+x_{n}-b|\leq |a-x_{n}|+|x_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$

وبهذا قد برهن على القضية الصحيحة الاتية:

$\forall \epsilon \in R_{+}^{*}\exists n_{3}\in N^{*}\ :n\geq n_{3}\Rightarrow |a-b|<\epsilon$

ومنه يمكن استنتاج أن $a=b$كما يلي:

لو كان $a\neq b$ لكان $|a-b|>0$وبالتالي لكان يوجد عدد $n_{3}\in N^{*}$ بحيث يكون $|a-b|\leq |a-b|$عندما $n\geq n_{3}$ وهذا غير ممكن اذن $a=b$ وهو المطلوب.

المبرهة الثانية: كل متتالية متقاربة محدودةٌ

كل متتالية عددية متقاربة تكون محدودة.

الاثبات: لتكن المتتالية $\{x_{n}\}$ متقاربة ولنفرض انها متقاربة نحو $a$ عندئذ يوجد من اجل كل العدد الحقيقي الموجب 1 عدد طبيعي يختلف عن الصفر $n_{1}$ بحيث يكون:

$n>n_{1}\Rightarrow |x_{n}-a|<1$

ومنه يوجد العدد الحقيقي الموجب: $K=\max(1;|x_{1}-a|;...;|x_{n}-a|)+1$بحيث يكون من أجل كل $n\in N^{*}$ :

$|x_{n}-a|<K$ومنه: $a-K<x_{n}<a+K$ وهذا يعني ان مجموعة قيم المتتالية $\{x_{n}\}$محدودة وبالتالي فالمتتالية $\{x_{n}\}$محدودة.

ليس من الضروري ان كل متتالية عددية محدودة تكون متقاربة.

المبرهنة الثالثة: إزاحة حدود متتالية

لتكن المتتالية العددية $\{x_{n}\}$ ليكن $n_{\epsilon }\in N^{*}$ و $a\in \mathbb {R}$ لنفرض أنه من اجل كل $n\in N^{*}$ يكون $y_{n}=x_{n_{0}+n-1}$ ولنأخذ المتتالية العددية $\{y_{n}\}$ عنذئذ:

1. المتتالية $\{x_{n}\}$متقاربة من $a$ $\Leftrightarrow$المتتالية $\{y_{n}\}$متقاربة من $a$.
2. المتتالية $\{x_{n}\}$متباعدة $\Leftrightarrow$ لمتتالية $\{y_{n}\}$متباعدة.

الاثبات

1) لتكن $\{x_{n}\}$متتالية متقاربة من $a$وليكن $\epsilon \in R^{+}$عندئذ يوجد $N_{1}\in N^{*}$بحيث أن:

$n\geqslant N_{1}\Rightarrow \mid x_{n}-a\mid <\epsilon$

ثم نفرض أن $N_{2}=\max(N_{1},N_{0})$عندئذ يكون:

$n\geqslant N_{2}\Rightarrow \mid x_{n}-a\mid <\epsilon$

وحسب تعريف $y_{n}$يمكن القول أنه يوجد عدد طبيعي $N'$ بحيث يكون:

$n\geqslant N'\Rightarrow \mid y_{n}-a\mid <\epsilon$

اذن $\lim _{n\to \infty }y_{n}=a$ وهذا يعني أن $\{y_{n}\}$متقاربة من $a$.

وبالعكس نفرض أن $\{y_{n}\}$متتالية متقاربة من $a$ وليكن $\epsilon '\in R^{+}$عندئذ يوجد $N_{3}\in N^{*}$بحيث يكون:

$n\geqslant N_{3}\Rightarrow \mid y_{n}-a\mid <\epsilon '$

وحسب تعريف $y_{n}$يمكن ايجاد عدد طبيعي $N''$بحيث يكون:

$n\geqslant N''\Rightarrow \mid x_{n}-a\mid <\epsilon '$

اذن $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$وهذا يعني أن $\{x_{n}\}$متقاربة من $a$.

2) لتكن $\{x_{n}\}$ متباعدة ولنفرض أن $\{y_{n}\}$ متقاربة وعندئذ وحسب (1) تكون $\{x_{n}\}$ وهذا مستحيل ومنه $\{y_{n}\}$ متباعدة.

وبالعكس لتكن $\{y_{n}\}$ متباعدة ولنفرض أن $\{x_{n}\}$ أنها متقاربة وحسب (1) تكون $\{y_{n}\}$ وهذا مستحيل اذن $\{x_{n}\}$ متباعدة.

المبرهنة الرابعة: تقارب المتتاليات الجزئية

تكون المتتالية العددية $\{x_{n}\}$متقاربة من $a$ إذا وفقط إذا كانت كل متتالية جزئية منها متقاربة من $a$.

الاثبات: اولا نفرض أن كل متتالية جزئية من المتتالية $\{x_{n}\}$متقاربة من $a$عندئذ تكون المتتالية $\{x_{n}\}$متقاربة من $a$لانها متتالية جزئية من نفسها.

ثانيا لنفرض أن المتتالية $\{x_{n}\}$متقاربة من $a$ ولنأخذ منها متتالية جزئية اختيارية ولتكن $\{x_{n_{k}}\}$ثم نأخذ $\epsilon \in R_{+}^{*}$عندئذ يوجد $n_{1}\in N^{*}$بحيث يكون: $n\geq n_{1}\Rightarrow |x_{n}-a|<\epsilon$ لما كان $n_{k}\geq k$ من أجل كل $k\in N^{*}$ فإن الحد $x_{n_{k}}$إما أن يساوي $x_{k}$أو يكون يكون واقعا على يمين الحد $x_{k}$في المتتالية $x_{1};x_{2};...;x_{n};...$ ومنه يكون: $k\geq n_{1}\Rightarrow |x_{n_{k}}-a|<\epsilon$إذن المتتالية الجزئية $\{x_{n_{k}}\}$متقاربة من $a$. وبهذا قد أثبتنا المطلوب.

المتسلسلات

المقالة الرئيسة: متسلسلة (رياضيات)

مجموع حدود متتالية هو متسلسلة. وبتعبير أدق، إذا كانت (x₃, x₂, x₁, ...) متتالية، فإنه قد يُنظر إلى متتالية المجاميع الجزئية (S₃, S₂, S₁, ...) حيث:

$S_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}.$

$\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}.$

المتتاليات في مجالات أخرى من الرياضيات

الطوبولوجيا

مفهوم الكثافة: كثافة مجموعة جزئية من فضاء طبولوجي في نفس الفضاء أو فضاء آخر. فأنت إذا أردت مثلا إثبات مساواة أو متباينة في مجموعة الأعداد الحقيقية يكفيك في أغلب الأحيان أن تثبتها في مجموعة الأعداد الناطقة، وهذا بفضل كثافة هذه المجموعة الأخيرة في مجموعة العداد الحقيقية. انظر إلى فضاء متري.

التحليل الرياضي

• دراسة المعادلات التفاضلية: نحصل على حلول هذه المعادلات في الكثير من الأحيان نهايات متتاليات تقربنا شيئا فشيئا من الحل الدقيق.
• الحساب (أو التحليل) العددي: التقريبات وتقديرات الأخطاء تتم عموما عبر المتتاليات.
• تعريف مفاهيم رياضية أخرى: الانتقال مثلا من تعريف مفهوم المكاملة للدالة معرفة على مجال حقيقي وتأخذ قيمها في فضاء مجرد.
• فضاء باناخي (Banach (1945-1892 مثل $R^{n}$- يمر عبر المتتاليات.
• ومن التطبيقات التي نجدها في المتتاليات أنها تمكن من تعريف العديد من الدوال المألوفة مثل:
  • الدالة الأسية.
  • الدالة المثلثية جب.
  • الدالة المثلثية تجب.
  • الدالة اللوغاريتمية (بوصفها الدالة العكسية للدالة الأسية).
  • الدالة المثلثية ظل (بوصفها نسبة للدالتين المثلثيتين جب وتجب).

في علم الحاسوب

في علم الحاسوب، متتالية منتهية من الحروف تسمى سلسلة.

انظر أيضا

• المتتالية 1±
• متتالية حسابية
• متتالية هندسية
• متتالية كوشي
• تبديل
• علاقة متعدية

مصادر

• بابا حامد، بن حبيب (الطبعة الرابعة 2006) التحليل 1 تذكير بالدروس وتمارين محلولة عدد 300. (ترجمة عبد الحفيظ مقران) الجزائر ديوان المطبوعات الجامعية (ISBN 9961-0-0997-5)
• عمران، قوبا (2017).التحليل الجزء الأول . الطبعة الثانية .الجمهورية العربية السورية .المعهد العالي للعلوم التطبيقية والتكنولوجيا.
• مراد، محمد فاتح ; تاوريريت، جمال; قورين، مجمد ; فلاح، عبد الحفيظ ; موس، عبد المؤمن ; بلجيلالي، غريسي (2007) الرياضيات الجزء الثاني لسنة الثالثة من التعليم الثانوي العام . الجزائر . الديوان الوطني للمطبوعات المدرسية .
• أبو حمدة، عبد الواحد (1988).التحليل 1.الجمهورية العربية السورية . جامعة دمشق - مديرية الكتب الجامعية .