Рад Ларана

Рад Ларана — двухбаковы бясконцы ступеневы рад па цэлых ступенях $(z-a)$ над полем камплексных лікаў:

$\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}(z-a)^{n},$

дзе $z,a_{n},a\in \mathbb {C} .$

Гэты рад з'яўляецца сумай двух радоў:

1. $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}$ — неадмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца правільнай і
2. $\sum _{n=-\infty }^{-1}{a_{n}}{(z-a)^{n}}$ — адмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца галоўнай.

Пры гэтым рад Ларана лічыцца збежным тады і толькі тады, калі сыходзяцца яго правільная і галоўная часткі. Гэтыя рады названы так у гонар французскага матэматыка П. А. Ларана.

Уласцівасці

• Калі нутро вобласці збежнасці рада Ларана непустое, то яно ўяўляе сабой кругавое кольца

$D=\{z\in \mathbb {C} \mid r<|z-a|<R<\infty \}$

• Ва ўсіх пунктах свайго кольца збежнасці $D$ рад Ларана сыходзіцца абсалютна;
• Як і для ступеневых радоў, паводзіны рада Ларана ў пунктах межавых акружнасцей кольца збежнасці могуць быць самымі разнастайнымі;
• На любым кампактным падмностве $K\subset D$ рад збягаецца раўнамерна;
• Сума рада Ларана ў $D$ ёсць аналітычная функцыя $f(z)$;
• Рад Ларана можна дыферэнцаваць і інтэграваць у $D$ пачленна;
• Раскладанне ў рад Ларана адзінае, гэта значыць калі сумы двух радоў Ларана супадаюць у $D$, то супадаюць і ўсе каэфіцыенты гэтых радоў.
• Каэфіцыенты $a_{n}$ рада Ларана вызначаюцца праз яго суму $f(z)$ формуламі

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-a)^{n+1}}},$

дзе $\gamma (t)=a+\rho e^{it}$, $t\in [0,2\pi ]$, $r<\rho <R$ — любая акружнасць з цэнтрам a, размешчаная ўсярэдзіне кольца збежнасці.

Тэарэма Ларана

Прымяненне радоў Ларана заснавана галоўным чынам на наступнай тэарэме Ларана:

Любую адназначную аналітычную функцыю $f(z)$ у колцы $D=\{z\in \mathbb {C} :r<|z-a|<R<\infty \}$ можна прадставіць у $D$ збежным радам Ларана.

У тым ліку, у праколатым наваколлі

$D=\{z\in \mathbb {C} :0<|z-a|<R<\infty \}$

ізаляванага асаблівага пункта $a$ адназначная аналітычная функцыя $f(z)$ прадстаўляецца радам Ларана, які служыць асноўным інструментам даследавання яе паводзін у наваколлі ізаляванага асаблівага пункта.

Тып асаблівага пункта вызначаецца галоўнай часткай рада Ларана ў праколатым наваколлі гэтага пункта:

• Скасавальны асаблівы пункт — галоўная частка рада Ларана роўная 0.
• Полюс — галоўная частка змяшчае канечны лік ненулявых членаў.
• Істотна асаблівы пункт — галоўная частка змяшчае бясконцую колькасць ненулявых членаў.

Літаратура

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.