Bóla (matemáticas)

En matemáticas, unha bóla é a figura sólida limitada por unha esfera; tamén se lle chama esfera sólida.^[1] Pode ser unha bóla pechada (incluíndo os puntos límite que constitúen a esfera) ou unha bóla aberta (excluíndoos).

Estes conceptos defínense non só no espazo euclidiano tridimensional senón tamén para dimensións máis baixas e maiores, e para espazos métricos en xeral. Unha bóla de $n$ dimensións chámase hiper-bóla ou $n$ -bóla e está limitada por unha hiperesfera ou ( $n -1$ )-esfera . Así, por exemplo, unha bóla no plano euclidiano é o mesmo que un disco, a área delimitada por un circunferencia. No espazo 3-euclidiano , considérase que unha bóla é o volume limitado por unha esfera bidimensional. Nun espazo unidimensional, unha bola é un segmento de liña.

Noutros contextos, como na xeometría euclidiana e no uso informal, a esfera úsase ás veces para significar bóla. No campo da topoloxía o bóla pechada n-dimensional adoita denotarse como $B^{n}$ ou $D^{n}$ mentres que a bóla aberta n-dimensional é $\operatorname {int} B^{n}$ ou $\operatorname {int} D^{n}$ .

No espazo euclidiano

No $n$ -espazo euclidiano, unha $n$ -bóla (aberta) de raio $r$ e centro $x$ é o conxunto de todos os puntos de distancia menor que $r$ desde $x$ . Unha $n$ -bola pechada de raio $r$ é o conxunto de todos os puntos de distancia menor ou igual a $r$ desde $x$ .

No espazo $n$ -euclidiano, toda bóla está limitada por unha hiperesfera. A bóla é un intervalo limitado cando $n = 1$ , é un disco limitado por unha circunferencia cando $n = 2$ e está limitado por unha esfera cando $n = 3$ .

En espazos métricos en xeral

Sexa $(M, d)$ un espazo métrico, é dicir, un conxunto $M$ cunha métrica (función de distancia) $d$ , e sexa $r$ un número real positivo. A bóla aberta (métrica) de raio $r$ centrada nun punto $p$ en $M$ , normalmente denotada como $B r (p)$ ou $B (p; r)$ , defínese do mesmo xeito que unha bóla euclidiana, como o conxunto de puntos en $M$ con distancia a $p$ menor que $r$ , $B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\}.$

A bóla pechada (métrica), ás veces denotada como $B r [p]$ ou $B [p; r]$ , igual que antes pero con menor ou igual, $B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.$

En particular, unha bóla (aberta ou pechada) sempre inclúe a propia $p$ . Unha bóla unitaria (aberta ou pechada) é unha bola de raio 1.

Unha bola nun espazo métrico en xeral non ten por que ser redonda. Por exemplo, unha bola no espazo de coordenadas reais baixo a distancia de Chebyshev é un hipercubo e unha bóla baixo a distancia do taxista é un politopo cruzado. Unha bóla pechada tampouconon ten por que ser compacta. Por exemplo, unha bóla pechada en calquera espazo vectorial normado de dimensións infinitas nunca é compacta. Non entanto, unha bóla nun espazo vectorial será sempre convexa como consecuencia da desigualdade do triángulo.

Un subconxunto dun espazo métrico está limitado se está contido nalgunha bóla. Un conxunto está totalmente limitado se, dado algún raio positivo, está cuberto por un número finito de bólas dese raio.

As bólas abertas dun espazo métrico poden servir de base, dándolle a este espazo unha topoloxía, cuxos conxuntos abertos son todas as posíbeis unións de bólas abertas. Esta topoloxía nun espazo métrico chámase topoloxía inducida pola métrica $d$ .

Sexa ${\overline {B_{r}(p)}}$ o fechamento da bóla aberta $B_{r}(p)$ nesta topoloxía. Sempre temos que $B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p],$ mais non sempre temos que ${\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p].$ Por exemplo, nun espazo métrico $X$ coa métrica discreta, temos ${\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}$ mais $B_{1}[p]=X$ para calquera $p\in X.$

En espazos vectoriais normados

Calquera espazo vectorial normado $V$ con norma $\|\cdot \|$ tamén é un espazo métrico coa métrica $d(x,y)=\|x-y\|.$ Neses espazos, unha bóla arbitraria $B_{r}(y)$ de puntos $x$ arredor dun punto $y$ cunha distancia inferior a $r$ pode verse como unha copia con escala (por $r$ ) e trasladado (por $y$ ) dunha bóla unitaria $B_{1}(0).$ Esas bólas "centradas" con $y=0$ denótanse con $B(r).$

As bólas euclidianas comentadas anteriormente son un exemplo de bólas nun espazo vectorial normado.

$p$ -norma

Nun espazo cartesiano $R n$ coa $p$ -norma $L p$ , é dicir, se escolle algún $p\geq 1$ e definimos $\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},$ A continuación, unha bóla aberta arredor da orixe con raio $r$ vén dada polo conxunto $B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<r\right\}.$ Para $n = 2$ , nun plano bidimensional $\mathbb {R} ^{2}$ , as "bólas" segundo a norma $L 1$ (moitas veces chamada métrica do taxista ou Manhattan) están limitadas por cadrados coas súas diagonais paralelas aos eixos de coordenadas; para os que seguen a norma $L \infty$ , tamén chamada métrica de Chebyshev, teñen como límites cadrados cos seus lados paralelos aos eixos de coordenadas. A norma $L 2$ , coñecida como métrica euclidiana, xera os discos coñecidos dentro de circunferencias, e para outros valores de $p$ , as bólas correspondentes son áreas limitadas por curvas de Lamé (hipoelipse ou hiperelipse).

Para $n = 3$ , as bólas $L 1$ están dentro de octaedros con diagonais aliñadas nos eixos, as bólas $L \infty$ están dentro de cubos con lados aliñados en eixos e os límites das bólas para $L p$ con $p > 2$ son superelipsoides. Con $p = 2$ xérase o interior das esferas habituais.

Moitas veces tamén se pode considerar o caso de $p=\infty$ , nese caso definimos $\lVert x\rVert _{\infty }=\max\{\left|x_{1}\right|,\dots ,\left|x_{n}\right|\}$

Norma xeral convexa

De forma máis xeral, dado calquera subconxunto $X$ con simetría central, limitado, aberto e convexo de $R n$ , pódese definir unha norma sobre $R n$ onde as bólas sexan todas copias de $X$ transladadas e escaladas uniformemente. Teña en conta que este teorema non se cumpre se o subconxunto "aberto" é substituído por un subconxunto "pechado", porque o punto de orixe cualifica pero non define unha norma sobre $R n$ .

En espazos topolóxicos

Pódese falar de bólas en calquera espazo topolóxico $X$ , non necesariamente inducidas por unha métrica. Unha bóla topolóxica (aberta ou pechada) $n$ -dimensional de $X$ é calquera subconxunto de $X$ que sexa homeomorfo para unha bola $n$ euclidiana (aberta ou pechada). As $n$ -bólas topolóxicas son importantes na topoloxía combinatoria.

Calquera bola topolóxica aberta $n$ é homeomorfa ao espazo cartesiano $R n$ e ao $n$ -cubo unidade (hipercubo) $(0, 1) n \subseteq R n$ . Calquera bóla topolóxica $n$ pechada é homeomorfa ao $n$ -cubo pechado $[0, 1] n$ .

Unha bóla $n$ é homeomorfa a unha bóla $m$ se e só se $n = m$ . Os homeomorfismos entre unha $n$ -bóla aberta $B$ e $R n$ pódense clasificar en dúas clases, que se poden identificar coas dúas posíbeis orientacións topolóxicas de $B$ .

Unha bóla topolóxica $n$ non precisa ser suave; se é suave, non ten por que ser difeomorfa a unha $n$ -bola euclidiana.

Rexións

Pódense definir unha serie de rexións especiais para unha bóla:

casquete, limitado por un plano.
sector, limitado por un límite cónico cun ápice no centro da esfera.
segmento, limitado por un par de planos paralelos.
coroa, limitado por dúas esferas concéntricas de diferentes raios.
cuña, limitada por dous planos que pasan polo centro da esfera e pola superficie da esfera.

Notas

↑ Encyclopedic Dictionary of Mathematics. 1993. ISBN 9780262590204.

Véxase tamén

Bibliografía

Smith, D. J.; Vamanamurthy, M. K. (1989). "How small is a unit ball?". Mathematics Magazine 62 (2): 101–107. JSTOR 2690391. doi:10.1080/0025570x.1989.11977419.
Dowker, J. S. (1996). "Robin Conditions on the Euclidean ball". Classical and Quantum Gravity 13 (4): 585–610. Bibcode:1996CQGra..13..585D. arXiv:hep-th/9506042. doi:10.1088/0264-9381/13/4/003.
Gruber, Peter M. (1982). "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball". Israel Journal of Mathematics 42 (4): 277–283. doi:10.1007/BF02761407.

Outros artigos

[1] Encyclopedic Dictionary of Mathematics. 1993. ISBN 9780262590204.

[1]