Գումարում

Դասագրքերում գումարումը հաճախ բացատրվում է խնձորների և 3 + 2 = 5 հավասարության միջոցով։ Գումարումը (նշանակվում է «+» նշանով ) թվաբանական գործողություն է։ $a$ և $b$ թվերի գումարման արդյունքում ստացված թիվը կոչվում է $a$ և $b$ թվերի (գումարելիների) գումար և նշանակվում է $a+b$: Սա թվաբանության չորս տարրական մաթեմատիկական գործողություններից մեկն է, հանման, բազմապատկման , բաժանման հետ։ Երկու բնական թվերի գումարումը այդ մեծությունների ընդհանուր գումարն է։ Օրինակ, երեք և երկու խնձորների համախումբը (նկարում) գումարման արդյունքում տալիս է 5։ Այս դիտարկումը համարժեք է «3 + 2 = 5» հանրահաշվական արտահայտությանը, այսինքն՝ «3 պլյուս 2 հավասար է 5»։

Գումարման իրագործումը

Երեխաների կողմից գումարման յուրացումը

Գումարման աղյուսակ

Լավ հիշելու համար երեխաներին հաճախ ցուցադրում են գումարման աղյուսակը 1-ից մինչև 10 թվերի զույգերի համար։ Այս աղյուսակն իմանալով, կարելի է իրականացնել ցանկացած գումարում։

Գումարման աղյուսակ.

1+	2+	3+	4+	5+	6+	7+	8+	9+	10+
1 + 0 = 1	2 + 0 = 2	3 + 0 = 3	4 + 0 = 4	5 + 0 = 5	6 + 0 = 6	7 + 0 = 7	8 + 0 = 8	9 + 0 = 9	10 + 0 = 10
1 + 1 = 2	2 + 1 = 3	3 + 1 = 4	4 + 1 = 5	5 + 1 = 6	6 + 1 = 7	7 + 1 = 8	8 + 1 = 9	9 + 1 = 10	10 + 1 = 11
1 + 2 = 3	2 + 2 = 4	3 + 2 = 5	4 + 2 = 6	5 + 2 = 7	6 + 2 = 8	7 + 2 = 9	8 + 2 = 10	9 + 2 = 11	10 + 2 = 12
1 + 3 = 4	2 + 3 = 5	3 + 3 = 6	4 + 3 = 7	5 + 3 = 8	6 + 3 = 9	7 + 3 = 10	8 + 3 = 11	9 + 3 = 12	10 + 3 = 13
1 + 4 = 5	2 + 4 = 6	3 + 4 = 7	4 + 4 = 8	5 + 4 = 9	6 + 4 = 10	7 + 4 = 11	8 + 4 = 12	9 + 4 = 13	10 + 4 = 14
1 + 5 = 6	2 + 5 = 7	3 + 5 = 8	4 + 5 = 9	5 + 5 = 10	6 + 5 = 11	7 + 5 = 12	8 + 5 = 13	9 + 5 = 14	10 + 5 = 15
1 + 6 = 7	2 + 6 = 8	3 + 6 = 9	4 + 6 = 10	5 + 6 = 11	6 + 6 = 12	7 + 6 = 13	8 + 6 = 14	9 + 6 = 15	10 + 6 = 16
1 + 7 = 8	2 + 7 = 9	3 + 7 = 10	4 + 7 = 11	5 + 7 = 12	6 + 7 = 13	7 + 7 = 14	8 + 7 = 15	9 + 7 = 16	10 + 7 = 17
1 + 8 = 9	2 + 8 = 10	3 + 8 = 11	4 + 8 = 12	5 + 8 = 13	6 + 8 = 14	7 + 8 = 15	8 + 8 = 16	9 + 8 = 17	10 + 8 = 18
1 + 9 = 10	2 + 9 = 11	3 + 9 = 12	4 + 9 = 13	5 + 9 = 14	6 + 9 = 15	7 + 9 = 16	8 + 9 = 17	9 + 9 = 18	10 + 9 = 19
1 + 10 = 11	2 + 10 = 12	3 + 10 = 13	4 + 10 = 14	5 + 10 = 15	6 + 10 = 16	7 + 10 = 17	8 + 10 = 18	9 + 10 = 19	10 + 10 = 20

Թվերի գումարումը

Ռացիոնալ թվեր

Ռացիոնալ թվերի գումարը կարելի է հաշվել ամենափոքր ընդհանուր հայտարարի միջոցով, բայց ընդհանրապես ռացիոնալ թվերի գումարման սահմանումն ընդգրկում է միայն ամբողջ թվերի գումարումն ու բազմապատկումը.

• Ենթադրենք ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.$

Օրինակ,

${\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}$.

Միևնույն հայտարար ունեցող կոտորակների գումարումը համեմատաբար հեշտ է. այս դեպքում կարելի է ուղղակի գումարել համարիչները, հայտարարը թողնելով նույնը. ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}$, օրինակ ${\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}$.

Կոմպլեքս թվեր

Կոմպլեքս թվերը միմյանց գումարվում են իրական և կեղծ մասերի գումարման միջոցով ։ Սա նշանակում է, որ

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.\$

Օգտագործելով կոմպլեքս թվերի ներկայացումը որպես կոմպլեքս հարթության կետեր, կարելի է կոմպլեքս թվերի գումարմանը տալ հետևյալ երկրաչափական ներկայացումը. կոմպլեքս հարթության վրա որպես կետեր ներկայացվող A и B կոմպլեքս թվերի գումար հանդիսանում է X կետը, որը ստացվել է O, A և Bերեք կետերում գագաթներ ունեցող զուգահեռագծի կառուցմամբ։ Կամ, կարելի է ասել, X-ն այնպիսի կետ է, որ OAB և XBA եռանկյունները համընկնում են։

Գրականություն

• Ֆիխտենգոլց; Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները
• Akian, Marianne; Bapat, Ravindra; Gaubert, Stephane. Минус-плюс методы в теории возмущений собственных значений и обобщённой теоремы Лидски-Вишика-Люстреника (англ.) = Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem. — 2006. —
• Rob Austein. Сборник рисков (англ.) = The Risks Digest : журнал. — Arpanet-BBoards archives, 1987. — В. 45. — Т. 4.
• Baez, J.; Dolan, J. Бесконечная математика — 2001 год и далее. От конечных множеств до Фейнмановских диаграмм = Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond. From Finite Sets to Feynman Diagrams. — Springer Berlin Heidelberg, 2000. — 1236 с. — ISBN 3-540-66913-2
• Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa. Развитие арифметических понятий и навыков = The Development of Arithmetic Concepts and Skills. — Routledge, 2013. — 520 с. — ISBN 0-8058-3155-X
• Begle, Edward. Математика в начальной школе = The Mathematics of the Elementary School. — McGraw-Hill, 1975. — 453 с. — ISBN 0-07-004325-6
• Bergman, George. Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям = An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. — 2-е изд. — Springer, 2015. — 572 с. — ISBN 0-9655211-4-1* Joshua Bloch. Экстра, Экстра — Прочитать все про Это: Почти все бинарные поиски сломаны (англ.) = Extra, Extra - Read All About It: Nearly All Binary Searches and Mergesorts are Broken // Official Google Research Blog : журнал. — 2006.
• Bogomolny, Alexander. Что такое сложение? (англ.) = What Is Addition?.
• Bates Bothman. Общая школьная арифметика = The common school arithmetic. — Prentice-Hall, 1837. — 270 с.
• Bunt, Lucas N. H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. Исторические корни элементарной математики = The Historical roots of Elementary Mathematics. — Prentice-Hall, 2012. — 336 с. — ISBN 0-13-389015-5
• Burrill, Claude. Основы действительных чисел = Foundations of Real Numbers. — McGraw-Hill, 1967. — 163 с.
• Beckmann, S. Изучение математики в начальной школе в целых числах (англ.) = The twenty-third ICMI study: primary mathematics study on whole numbers : журнал. — International Journal of STEM Education, 2014.
• Van de Walle, John. Математика в начальной и средней школе: развивающее обучение = Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally. — 5-е изд. — Pearson Education, 2015. — 576 с. — ISBN 0-205-38689-X
• Weaver, J. Fred. Сложение и вычитание: когнитивная точка зрения. Интерпретации числа операций и символических представлений сложения и вычитания = Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. — Taylor & Francis, 2012. — С. 8. — ISBN 0-89859-171-6
• Williams, Michael. История вычислительной техники = A History of Computing Technology. — Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-389917-9
• Rebecca Wingard-Nelson. Десятичные и обыкновенные дроби: Это легко = Decimals and Fractions: It's Easy. — Enslow Publishers, 2014. — 64 с. — ISBN 0766042529
• Wynn, Karen. Развитие математических навыков = The Development of Mathematical Skills. — Taylor & Francis, 1998. — 338 с. — ISBN 0-86377-816-X
• Viro, Oleg; Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastià, eds. Европейский конгресс математики: Барселона, Июль 10–14, 2000, Volume I = European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper. — Birkhäuser, 2012. — Т. 1. — 582 с. — ISBN 3-7643-6417-3
• Henry, Valerie J.; Brown, Richard S. Изучение основных фактов первоклассниками = First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard. — Heinemann, 2008.
• Dummit, D.; Foote, R. Абстрактная алгебра = Abstract Algebra. — Wiley, 1999. — 912 с.
• Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda. Математика: Исследования и приложения = Mathematics: Explorations & Applications. — Prentice Hall. — ISBN 0-13-435817-1
• Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra. Основы Электронных Цифровых Систем = Electronic Digital System Fundamentals. — The Fairmont Press, 2008. — 340 с.
• Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684. Принципы и Применения Математики для Межприборных соединений = Principles and Applications of Mathematics for Communications-electronics. — Headquarters, Department of the Army, 1992. — С. раздел 5.1. — 268 с.
• Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. Элементарная математика для учителей = Elementary Mathematics for Teachers. — Wiley, 1991.
• Jackson, Albert. Аналоговые вычисления = Analog Computation. — McGraw-Hill, 1960.
• Johnson, Paul. От палок и камней: личные приключения в математике = From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics. — Science Research Associates, 1975. — 552 с. — ISBN 0-574-19115-1
• Ifrah, Georges. Всеобщая история вычислительной техники: от абака до компьютера = The universal history of computing: from the abacus to the quantum computer. — John Wiley, 2001. — 410 с.
• Joshi, Kapil D. Основы дискретной математики = Foundations of Discrete Mathematics. — New Age International, 1989. — 748 с. — ISBN 978-0-470-21152-6
• Dunham, William. Математическая Вселенная = The Mathematical Universe. — Wiley & Sons, 1994. — 314 с. — ISBN 0-471-53656-3
• Kaplan, Robert. Что такое ничего: Естественная историю нуля = The Nothing That Is: A Natural History of Zero. — Oxford University Press, 1999. — 240 с. — ISBN 0-19-512842-7
• Florian Cajori. История математических знаков = A History of Mathematical Notations. — The Open Court Company, 1928. — 818 с.
• Carpenter, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan. Детская игровая математика = Children's Mathematics: Cognitively Guided Instruction. — Heinemann, 2014. — 218 с. — ISBN 0325052875
• Karpinski, Louis. История арифметики = The history of arithmetic. — Russell & Russell, 1925. — 200 с.
• Килпатрик Д. Сложение: помощь детям в изучении математики = Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. — National Academy Press, 2001. — 454 с. — ISBN 0-309-06995-5
• Conway, John B. Функция одной комплексной переменной = Functions of One Complex Variable I. — Springer Science, 1986. — 322 с. — ISBN 0-387-90328-3
• Lee, John. Введение в гладкие многообразия = Introduction to Smooth Manifolds. — Springer, 2013. — 631 с. — ISBN 0-387-95448-1
• Li, Y., & Lappan, G. Математический курс обучения в школьном образовании = Mathematics Curriculum in School Education. — Springer, 2013. — 663 с. — ISBN 9400775601
• Linderholm, Carl. Математика затрудняет = Mathematics Made Difficult. — World Pub, 1972. — 207 с. — ISBN 0-7234-0415-1
• Lipschutz, S., & Lipson, M. Схема Шаумся теории и проблем линейной алгебры = Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra. — Erlangga, 2001. — 424 с. — ISBN 9797815714
• Litvinov, Grigory; Maslov, Victor; Sobolevskii, Andreii. Иденпотентная математика и интервальный анализ = Idempotent mathematics and interval analysis. — American Mathematical Soc, 2005. — 370 с. — ISBN 0821835386
• Jean-Louis Loday. Аритметр (англ.) = Arithmetree // Journal of Algebra : журнал. — 2002. — № 258. —  —
• Mazur, Joseph. Поучительные символы: Краткая История Математических Обозначений и их Скрытых Сил = Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. — Princeton University Press, 2014. — 321 с. — ISBN 1400850118
• Williams, Michael. История вычислительной техники = A History of Computing Technology. — 2. — IEEE Computer Society Press, 1997. — 426 с. — ISBN 0-13-389917-9
• Marguin, Jean. История устройства вычислительных машин = Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642-1942. — Hermann., 1994. — 206 с. — ISBN 978-2-7056-6166-3
• Mikhalkin, Grigory; Sanz-Solé, Marta, ed. Тропическая геометрия и ее приложения = Tropical Geometry and its Applications. — 2-е изд. — Мадрин, Испания: Springer Science & Business Media, 2009. — 104 с. — ISBN 978-3-03719-022-7
• Martin, John. Введение в языки и теорию вычислений = Introduction to Languages and the Theory of Computation. — 3. — McGraw-Hill, 2011. — 436 с. — ISBN 0-07-232200-4
• Mosley, F. Использование цифровых линий с 5-8 летними детьми = Using Number Lines with 5-8 Year Olds. — Nelson Thornes, 2001. — 8 с. — ISBN 1874099952
• Оксфордский словарь английского языка = Oxford English Dictionary. — Oxford University Press, 2005.
• Порядок выполнения операций (англ.) = Order of Operations Lessons // Algebrahelp : журнал. — 2012.
• Прохоров Ю.В. Математический энциклопедический словарь. — Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
• James Randerson. У слонов достаточно ума, чтобы рисовать фигуры (англ.) = Elephants have a head for figures : журнал. — Theguardian, 2008.
• Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. Математические методы в физике и инженерии: полное руководство = Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide. — Cambridge University Press, 2006. — 437 с. — ISBN 978-0-521-86153-3
• Rudin, Walter. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3. — McGraw-Hill, 1976. — 342 с. — ISBN 0-07-054235-X
• Yeo, Sang-Soo, et al., eds. Алгоритмы и архитектуры для параллельной обработки = Algorithms and Architectures for Parallel Processing. — Springer, 2010. — 574 с. — ISBN 3642131182
• «Словарь русского языка в 4-х томах» (ռուսերեն) — Фундаментальная электронная библиотека «Русская литература и фольклор». Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ ապրիլի 26-ին. Վերցված է 2016 թ․ հունվարի 24-ին. Կաղապար:Проверено
• Smith, Karl. Природа современной математики = The Nature of Modern Mathematics. — 3-е изд. — Brooks/Cole Pub. Co., 1980. — 620 с. — ISBN 0-8185-0352-1
• Smith, Frank. Стеклянная стена: почему математика может показаться трудной = The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult. — Teachers College Press, 2002. — 163 с. — ISBN 0-8077-4242-2
• Sparks, F.; Rees C. Исследование основной математики = A Survey of Basic Mathematics. — 4. — McGraw-Hill, 1979. — 543 с. — ISBN 0-07-059902-5
• Stewart, James. Исчисление: раннее трансцендирование = Calculus: Early Transcendentals. — 4. — Brooks/Cole, 2010. — 1344 с. — ISBN 0-534-36298-2
• Taton, René. Расчётная механика. Что я знаю? = Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367. — Presses universitaires de France, 1963.
• Truitt, T.; Rogers, A. Основы аналоговых компьютеров = Basics of Analog Computers. — John F. Rider, 1960. — 378 с.
• Ferreirós, José. Лабиринты мысли: История теории множеств и ее роль в современной математике = Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. — Birkhäuser, 2013. — 440 с. — ISBN 0-8176-5749-5
• R. Fierro. Математика для учителей начальной школы = Mathematics for Elementary School Teachers. — Cengage Learning, 2012. — 976 с. — ISBN 0538493631
• Flynn, M.; Oberman, S. Передовые компьютерные арифметические конструкции = Advanced Computer Arithmetic Design. — Wiley, 2001. — 325 с. — ISBN 0-471-41209-0
• Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten. Молодые математики за работой: Конструирование чувства числа, сложения и вычитания = Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. — Heinemann, 2001. — 193 с. — ISBN 0-325-00353-X
• Hempel, C. G. Философия Карла Г. Хемптела: исследования в области науки, объяснения и рациональность. = The philosophy of Carl G. Hempel: studies in science, explanation, and rationality. — Oxford University Press, 2000. — 464 с. — ISBN 0195343875
• Horowitz, P.; Hill, W. Искусство схемотехники = The Art of Electronics. — 2. — Бином, 2009. — 704 с. — ISBN 0-521-37095-7
• Schwartzman, Steven. Математические слова: Краткий Этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке = The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. — MAA, 1994. — 261 с. — ISBN 0-88385-511-9
• Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. Последовательность обучения (англ.) = A coherent curriculum : журнал. — American educator, 2002.
• Schyrlet Cameron, Carolyn Craig. Сложение и вычитание дробей в возрасте 5 — 8 лет = Adding and Subtracting Fractions, Grades 5 - 8. — Carson-Dellosa, 2013. — 64 с. — ISBN 162223006X
• Schubert, E. Thomas; Phillip J. Windley; James Alves-Foss. Доказательство теорем логики более высоких порядков и их применение: труды 8-го международного фестиваля = Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop. — Springer, 1995. — 400 с.
• Enderton, Herbert. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7