Haaptsaz vun der elementarer Zuelentheorie

Den Haaptsaz vun der (elementarer) Zuelentheorie seet, datt all natierlech Zuel $n>1$ ëmmer op eng eendeiteg Weis als Produkt vu Primzuele ka geschriwwe ginn. Dëst Produkt gëtt och nach Primzuelzerleeung vun $n$ genannt.

De Beweis vum Haaptsaz gëtt meeschtens mat vollstänneger Induktioun gefouert an ass dobäi eng Konsequenz aus dem sougenannte Lemma vum Euklid. Dat beseet, datt all natierlech Zuel, déi méi grouss wéi 1 ass, vun enger Primzuel gedeelt gëtt. Den Detail vum Beweis:

D'Zuel $n=2$ ass eng Primzuel an deemno seng eegen eendeiteg Primzuelzerleeung. Et sief also $n\geq 2$ eng natierlech Zuel sou, datt fir all natierlech Zuel $m\leq n$ eng eendeiteg Primzuelzerleeung existéiert. Dann ënnersiche mer d'Zuel $n+1$. Et gëtt genee zwou Méiglechkeeten: Entweeder $n+1$ ass nees eng Primzuel an domat seng eegen eendeiteg Primzuelzerleeung, oder et ass eng zesummegesat Zuel an et gëtt nom Euklid deemno eng Primzuel $p\leq n$, déi $n+1$ deelt. Dann ass awer de Quotient $r={\frac {n+1}{p}}\leq n$ eng vun deenen natierlechen Zuelen, fir déi mir scho wëssen, datt s'eng eendeiteg Primzuelzerleeung hunn. Domat ass awer och d'Produkt $rp=n+1$ eendeiteg mat Hëllef vu Primzuelen ausdréckbar.