Bernulli skaitlis

Pirmie Bernulli skaitļi

Bernulli skaitļi ir racionālu skaitļu virkne, kuri parādās matemātiskajā analīzē. Tie parādās Teilora rindās tangensa un hiperboliskā tangensa funkcijām, Faulhābera formulā pirmajiem n naturālajiem skaitļiem, kas kāpināti m-tajā pakāpē, kā arī atsevišķās vērtībās Rīmaņa zeta funkcijā.

Pastāv divi pierakstu veidi $B_{m}^{-}$ un $B_{m}^{+}$, kas atšķiras tikai vērtībai n = 1 , kur $B_{1}^{-}=-1/2$ un $B_{1}^{+}=+1/2$. Citiem nepāra skaitļiem Bernulli skaitļi ir nulle. Pāra skaitļiem $B_{n}$ ir negatīvs, ja n dalās ar 4 un pozitīvs citos gadījumos.

Pakāpju summa

Bernulli skaitļi sākotnēji parādījās Jākoba Bernulli pēcnāves publikācijā 1713. gadā, kā arī neatkarīgi parādījās Seki Kowa pēcnāves publikācijā 1712. gadā. Bernulli pētīja summas kāpinātiem naturāliem skaitļiem (summas skaitļu kvadrātiem, kubiem, u.t.t.). Definējam $S_{p}(n)=\sum _{k=1}^{n-1}k^{p}$.

Pirmās vērtības:

${\begin{aligned}&S_{0}(n)=n\\&S_{1}(n)={\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {1}{2}}n\\&S_{2}(n)={\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\\&S_{3}(n)={\frac {1}{4}}n^{4}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}\\&S_{4}(n)={\frac {1}{5}}n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{30}}n\\&S_{5}(n)={\frac {1}{6}}n^{6}-{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {5}{12}}n^{4}-{\frac {1}{12}}n^{2}\\&S_{6}(n)={\frac {1}{7}}n^{7}-{\frac {1}{2}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{5}-{\frac {1}{6}}n^{3}+{\frac {1}{42}}n\\&S_{7}(n)={\frac {1}{8}}n^{8}-{\frac {1}{2}}n^{7}+{\frac {7}{12}}n^{6}-{\frac {7}{24}}n^{4}+{\frac {1}{12}}n^{2}\end{aligned}}$

Šīs summas Bernulli pārformulēja, ievērojot to saistību ar kombinācijām. No summas izvelkot koeficientu ${\frac {1}{p+1}}$ un no koeficientiem izvelkot noteiktas kombinācijas iegūst konstantus skaitļus, kurus dēvē par Bernulli skaitļiem. Pirmie Bernulli skaitļi virknē: ${\begin{aligned}B_{0}=1,\ \ B_{1}=-{\frac {1}{2}},\ \ B_{2}={\frac {1}{6}},\ \ B_{3}=0,\ \ B_{4}=-{\frac {1}{30}},\ \ B_{5}=0,\\B_{6}={\frac {1}{42}},\ \ B_{7}=0,\ \ B_{8}=-{\frac {1}{30}},\ \ B_{9}=0,\ \ B_{10}={\frac {5}{66}},\ \ B_{11}=0\end{aligned}}$

Vispārīgi šo summu var pierakstīt kā $S_{p}(n)={\frac {1}{p+1}}\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}\cdot B_{k}\cdot n^{p+1-k}$

Definīcijas

Bernulli skaitļus var ieviest dažādos veidos:

• Rekursīvi
• Funkcija
• Ģenerējošā funkcija
• Integrālis

Rekursija

Bernulli skaitļiem izpildās formulas:

${\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}B_{k}^{-}=\delta _{p,0}\\&\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}B_{k}^{+}=m+1\end{aligned}}$

kur $m=0,1,2,...$ un $\delta$ ir Kronekera delta. Izsakot $B_{m}^{\mp }$ iegūst rekusīvās formulas:

${\begin{aligned}&B_{p}^{-}=\delta _{p,0}-\sum _{k=0}^{p-1}{\binom {p}{k}}\cdot {\frac {B_{k}^{-}}{m-k+1}}\\&B_{p}^{+}=1-\sum _{k=0}^{p-1}{\binom {p}{k}}\cdot {\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}\end{aligned}}$

Funkcija

${\begin{aligned}&B_{p}^{-}=\sum _{k=0}^{p}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{p}\\&B_{p}^{+}=\sum _{k=0}^{p}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}\end{aligned}}$