Test Dickeya-Fullera

Test Dickeya-Fullera (skrótowo test DF) – test sprawdzający obecność pierwiastka jednostkowego w modelu autoregresyjnym. Opracowany w 1979 roku przez D.A. Dickeya i W.A. Fullera.

Użycie

Prosty model AR(1) ma postać

$y_{t}=\rho y_{t-1}+u_{t},$

gdzie $y_{t}$ to zmienna objaśniana, $t$ indeks czasowy, $\rho$ współczynnik, a $u_{t}$ błąd oszacowania (biały szum). Pierwiastek jednostkowy występuje, gdy $\rho =1.$ W takim wypadku model jest niestacjonarny.

Model regresji może zostać zapisany pod postacią

$\nabla y_{t}=(\rho -1)y_{t-1}+u_{t}=\delta y_{t-1}+u_{t},$

gdzie $\nabla$ jest operatorem pierwszych różnic. Możliwa jest estymacja takiego modelu, testowanie na obecność pierwiastka jednostkowego jest równoważne testowaniu czy $\delta =0$ (gdzie $\delta =\rho -1$). Do wyznaczenia wartości krytycznych nie można użyć jednak standardowego rozkładu t-Studenta, gdyż wartość $t$ wyestymowanego współczynnika przy $Y_{t-1}$ nie wpisuje się w rozkład $t$ nawet w dużych próbkach, nie ma asymptotycznego rozkładu normalnego. Statystyka $\tau$ ta ma jednak własny rozkład nazywany rozkładem Dickeya-Fullera (także rozkładem tau).

Występują trzy główne warianty testu:

1. na obecność pierwiastka jednostkowego:

$\nabla y_{t}=\delta y_{t-1}+u_{t},$

2. na obecność pierwiastka jednostkowego z dryftem:

$\nabla y_{t}=a_{0}+\delta y_{t-1}+u_{t},$

3. na obecność pierwiastka jednostkowego z dryftem i trendem deterministycznym:

$\nabla y_{t}=a_{0}+a_{1}t+\delta y_{t-1}+u_{t}.$

Każda wersja testu ma swoją wartość krytyczną, która zależy od wielkości próbki. W każdym wypadku hipoteza zerowa mówi o obecności pierwiastka jednostkowego, $\delta =0$ – szereg jest niestacjonarny.

Występuje także rozszerzony test Dickeya-Fullera (ADF) który niweluje wpływ autokorelacji w szeregu czasowym.