Vizinhança (matemática)

 Nota: Este artigo é sobre o conceito de topologia. Para o conceito de teoria dos grafos, veja Vizinhança (teoria dos grafos).

Un conjunto V no plano é a vizinhança do ponto p se um pequeno disco em redor de p está contido em V.

Um polígono não é vizinhança de nenhum dos seus vértices.

Um conjunto S no plano e uma vizinhança uniforme V de S.

Em topologia, um subconjunto V de um espaço topológico X diz-se uma vizinhança do ponto $x\in X$ se existir um aberto A tal que $x\in A\subseteq V$. Por outras palavras, V é uma vizinhança de x se x estiver no interior de V.

Espaços métricos

Em um espaço métrico $S$, um subconjunto $N\subset S$ é chamado de uma vizinhança de um elemento $y$ em $S$ se ele conter uma bola $B(y,\delta )$. Tal definição significa, de modo informal, que uma vizinhança de y é um conjunto que contém todos os pontos suficientemente próximos de y.

Propriedades

• Se V é uma vizinhança de x e W contém V, então W é uma vizinhança de x;
• A intersecção de duas vizinhanças de x é uma vizinhança de x.
• O fato de X ser uma vizinhança de x, com as propriedades acima, torna a coleção de todas vizinhanças de x um filtro.
• O Teorema de Steinhaus estabelece que se S é um conjunto de medida de Lebesgue positiva na reta real, então S-S contém uma vizinhança da origem.

Bibliografia

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (3ª ed) (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill Book Company