Bicorn (matematică)

Pentru o pălărie, vedeți Bicorn.

Bicorn

În geometrie curba bicorn este o cuartică plană rațională definită de ecuația:

$y^{2}(a^{2}-x^{2})=(x^{2}+2ay-a^{2})^{2}.$

Are două puncte de întoarcere și este simetrică față de axa Oy.

Istoric

În 1864, James Joseph Sylvester a studiat curba

$y^{4}-xy^{3}-8xy^{2}+36x^{2}y+16x^{2}-27x^{3}=0$

în legătură cu clasificarea ecuațiilor algebrice de gradul al cincilea. El a numit curba „bicorn” pentru că are două puncte de întoarcere. Această curbă a fost studiată în continuare de Arthur Cayley în 1867.

Proprietăți

Bicorn transformat, cu a = 1

Bicornul este o curbă algebrică^⁠(d) plană de gradul patru și genul zero. Are două singularități de tip punct de întoarcere în planul real și un punct dublu în planul proiectiv complex, la x = 0, z = 0. Dacă se mută x = 0 și z = 0 în origine și se efectuează o rotație imaginară în x substituind ix/z la x și 1/z la y în curba bicornului, se obține

$\left(x^{2}-2az+a^{2}z^{2}\right)^{2}=x^{2}+a^{2}z^{2}.$

Această curbă, un melc al lui Pascal, are un punct dublu ordinar în origine și două noduri în planul complex, la $x=\pm i$ și $z=1.$

Ecuațiile parametrice ale unei curbe bicorn sunt

$x=a\sin(\theta )\quad$ și

$y=a{\frac {\cos ^{2}(\theta )\left(2+\cos(\theta )\right)}{3+\sin ^{2}(\theta )}}\quad$ cu $\quad -\pi \leq \theta \leq \pi .$

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Bicorn la MathWorld.