Realan broj

Realni brojevi su svi racionalni i iracionalni brojevi. Skup realnih brojeva označavamo sa R ili sa $\mathbb {R} .$ Skup realnih brojeva je beskonačan i neprebrojiv, a broj elemenata, tzv. kardinalni broj skupa realnih brojeva nazivamo kontinuum. Realni brojevi obrazuju polje. Termin realan stoji nasuprot čistim imaginarnim (kompleksnim imaginarnim) brojevima.

Elementaran pristup

Zagonetka: Čuveni uzgajivač pasa je imao dva sina, takođe uzgajivače rasnih pasa. Stariji je već organizovao nekoliko izložbi, na kojima je sa svojim vlastitim psom osvojio jednu pobedu, a mlađi je tek postao kinolog. Kada se povukao, otac je odlučio da podeli svoje najbolje rasne pse sinovma na sledeći način: starijem je dao polovinu svih pasa plus pola psa. Mlađem je ostavio polovinu preostalih pasa plus još pola psa. Sebi je ostavio samo jednog, najdražeg psa. Kada su saznali za to, sinovi su pomislili da je otac poludio. Šta da rade sa pola psa? Čega su se ipak mogli dosetiti?

Decimalni brojevi su nastajali stotinama godina, naporima generacija matematičara, čiji je vrhunac ostvario Stevin u 16. veku, upotrebom decimalnih razlomaka, tj. razlomaka čiji je imenilac stepen broja deset: 1, 10, 100, itd. Delenjem neke jedinice:

na deset jednakih delova dobijemo deseti deo, tj.

{\frac {1}{10}};

na sto jednakih delova dobijemo stoti deo, tj.

{\frac {1}{100}};

na hiljadu jednakih delova dobijamo hiljaditi deo, tj.

{\frac {1}{1000}}.

Dalje dobijamo desetohiljaditi, stohiljaditi, milioniti, itd. deo.

Primer 1: Nebojša je visok 1,69 metara. To znači da je viši od jednog metra. Da bismo ga precizno izmerili, podelili smo drugi metar na deset jednakih delova (deset (decimetara)) i videli da visina Nebojše prelazi šesti podeok. Ponovo smo podelili na deset delova (na deset centimetara). Nebojša je visok jedan metar, šest desetih delova i devet stotih delova jednog metra.

Da bismo sabrali (ili oduzeli) decimalne brojeve potrebno je da ih postavimo tako da se njihovi zarezi podudare. Počinjemo od najmanjih delova, krajnja desna kolona. Ako je zbir u datoj koloni veći od deset (4+8=12), ostavljamo višak (2), i dodajemo 1 koloni levo.

Sabiranje		Oduzimanje
2,34		2,34
1,28 / +		1,28 / -
3,62		1,06

U slučaju oduzimanja, kada je donji broj (onaj koji oduzimamo) veći od gornjeg u toj koloni, onda pozajmljujemo jedinicu iz prve leve kolone i dodajemo deset broju (gornjem) od kojeg oduzimamo.

Na slici desno, vidimo specijalnu posudu u koju možemo sipati tečnost nesmetano, sve dok nivo tekućine ne pređe podeok devet. Nakon toga posuda će se sama isprazniti do nule. Analogno sabiranju decimalnih brojeva potpisanih po kolonama.

Da bismo pomnožili decimalni broj celim brojem jedan za kojim sledi nekoliko nula, treba da pomerimo zarez udesno za po jedno mesto za svaku nulu. Ako više nema decimalnih mesta, na desnoj strani treba dopisati potreban broj nula. Na primer: 23,45h1000=23450.

Kada množimo dva decimalna broja, množimo ih kao da su celi, a zatim u dobijenom rezultatu stavljamo onoliko decimalnih cifara koliko ih imaju oba faktora zajedno. Na primer, množimo 2,3 sa 4,5. Prvo 23h45=1035; zatim, imamo ukupno dva decimalna mesta; rezultat 2,3h4,5=10,35.

Da bismo podelili decimalni broj celim brojem jedan za kojim sledi nekoliko nula, treba pomeriti zarez ulevo, za po jedno mesto za svaku nulu. Ako više nema cifara tog broja, na levoj strani ćemo dopisati preostale nule. Na primer 23,45:1000=0,02345.

Rešenje zagonetke: Otac je ostavio sedam pasa. Stariji sin je dobio četiri, tj. pola od sedam plus pola psa. Mlađi je dobio dva psa, tj. pola od preostalih (od tri) plus pola psa. Ocu je ostao jedan pas.

Srednjoškolski pristup

Za preciznije definisanje aproksimacije realnih brojeva decimalnim brojevima i decimalnog zapisa realnog broja treba nam:

Princip najmanjeg celog broja: Svaki skup celih brojeva koji je ograničen odozdo ima najmanji broj;
Arhimedova aksioma: Za svaka dva cela broja a, b od kojih je prvi pozitivan, postoji prirodan broj n, takav da je $n\cdot a>b.$

Princip najmanjeg celog broja važi i kada donja granica nije ceo broj; ona može biti bilo koji realan broj. Arhimedov princip važi i u slučaju kada su a i b realni brojevi ( a>0).

Aproksimacija realnih brojeva

Teorema 1: Ako je x pozitivan realan broj, tada postoji jedinstven broj $n_{0}\in \{0,1,2,...\},$ takav da je $n_{0}\leq x<n_{0}+1.$
Dokaz: Prema Arhimedovoj aksiomi, za b=x i a=1, postoji prirodan broj n takav da je x<n·1=n. Među svim takvim brojevima n, prema aksiomi 2, postoji najmanji. Označimo ga sa n'. Dakle važi 0<x<n' (*). Zbog toga je n'-1≤x<n'. Naime, ako bi bilo n'-1>x, onda n' ne bi bio najmanji broj koji ispunjava prethodni uslov (*). Označimo li n'-1=n₀, dobijamo tvrđenje teorema. Kraj.

Decimalni zapis realnog broja

Definicija 1

Broj koji se može zapisati u obliku

n_{0}+{\frac {d_{1}}{10}}+{\frac {d_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {d_{n}}{10^{n}}}\quad (n_{0}\in \{0,1,...,9\},n\in \mathbb {N} ,

ili njemu suprotan broj (negativan), zove se decimalni broj.

Definicija 2: Beskonačan niz celih brojeva $n_{0},d_{1},d_{2},...$ koji određuje broj $x$ zapisuje se u obliku $x=n_{0},d_{1}d_{2}...,$ i zove se decimalni zapis broja $x.$

Zadatak: Predstaviti u obliku razlomka periodični decimalni broj; (a) 0,555...;; (b) 0,272727...;; (v) 3,272727....

Rešenje (a) Stavimo h=0,555...; pomnožimo jednakost sa 10; dobili smo 10h=5,555...; to pišemo 10h=5+h; rešavamo po h, 9h=5; rezultat: $x=0,555...={\frac {5}{9}}.$

(b) Stavimo h=0,272727...; pomnožimo jednakost sa 100; dobijamo 100h=27,272727..., tj. 100h=27+h; rešavamo jednačinu po h, dobijamo 99h=27; rezultat je

x={\frac {27}{99}}.

(v) Stavimo u=3+h, gde h=0,272727...; već smo dobili (b) sabirak h, pa u=3+27/99, tj.

y={\frac {3\cdot 99+27}{99}}={\frac {324}{99}}.

Bio je to postupak kojim se svaki periodični decimalni broj može prevesti u razlomak sa celobrojnim brojnikom i nazivnikom. Međutim, znamo da je skup svih razlomaka beskonačan, prebrojiv, alef nula. Znamo da je skup realnih brojeva beskonačan, neprebrojiv, kontinuum. Prema tome je skup svih neperiodičnih decimalnih brojeva kontinuum.

Merenje duži, brojevna prava

Definicija 3: Neka je svakoj duži AB pridružen pozitivan realan broj d(A,B), pri čemu su ispunjeni sledeći uslovi:

Za neku duž OE važi d(O,E)=1.
Ako je AB=CD, tada je d(A,B)=d(C,D).
Ako je tačka C između tačaka A i B, onda je d(A,B)=d(A,C)+d(C,B).

Tada se broj d(A,B) zove dužina duži AB.

Ako se u definiciji doda uslov da je d(A,A)=0, za svaku tačku A, onda se broj d(A,B) zove rastojanje između tačaka A i B.

Uređeno polje realnih brojeva

Definicija 4: Za skup $S\subset \mathbb {R} ,$ kažemo da je ograničen odozgo ako postoji bar jedan realan broj $M,$ takav da je, za svaki $x\in S,\;x\leq M.$ Broj M se u tom slučaju zove majoranta skupa S, ili gornja međa skupa S.

Na primer skup $S=\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},...,{\frac {n}{n+1}},...\right\}$ ima majorantu broj 1, ali je i svaki drugi realan broj koji je veći od 1 takođe majoranta ovog skupa. Skup S=\{2,4,6,...,2n,...\} nema majorantu, jer prema Arhimedovoj aksiomi za bilo koji $r\in \mathbb {R}$ postoji prirodan broj n takav da je $2\cdot n>r.$ . Skup nepozitivnih realnih brojeva ima najmanju majorantu nulu.

Definicija 5: Ako postoji realan broj s, takav da je on najmanja majoranta skupa S, tj. ako iz $r\in \mathbb {R} ,\;r<s,$ sledi da postoji bar jedan elemenat $x\in S$ takav da je $r<x$ , onda se s naziva supremumom skupa S, ili tačnom donjom međom skupa S. Supremum skupa S označavamo sup S.

Jedan skup ne može imati dva supremuma, npr. $s_{1},s_{2},$ jer bi tada po definiciji (5) bilo $s_{1}\leq s_{2}\wedge s_{2}\leq s_{1},$ što zbog antisimetričnosti relacije manje-jednako povlači $s_{1}=s_{2}.$

Definicija 6: Neka su u skupu $\mathbb {R} =\{x,y,z,...\}$ definisani sabiranje + i množenje ·, binarna relacija ≤ i neka za sve x,y,z,... iz R važe uslovi:; (R1) $(x+y)+z=z+(y+z),\,$; (R2) $(\exists 0\in \mathbb {R} )(\forall x\in \mathbb {R} )\,x+0=x,$; (R3) $(\forall x\in \mathbb {R} )(\exists (-x)\in \mathbb {R} )\,x+(-x)=0,$; (R4) $x+y=y+x,\,$; (R5) $x(yz)=(xy)z,\,$; (R6) $x(y+z)=xy+xz,\,$; (R7) $(\exists 1\in \mathbb {R} \setminus \{0\})(\forall x\in \mathbb {R} )\;x\cdot 1=x,$; (R8) $(\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\})(\exists x^{-1}\in \mathbb {R} )\;x\cdot x^{-1}=1,$; (R9) $xy=yx,\,$; (R10) $(x\leq y)\vee (y\leq x),\,$; (R11) $(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y,$; (R12) $(x\leq y\wedge y\leq z)\Rightarrow (x\leq z),$; (R13) $(x\leq y)\Rightarrow (x+z\leq y+z),$; (R14) $(x\leq y\wedge z>0)\Rightarrow (xz\leq yz),$

i najzad, najvažnije

(CR) svaki odozgo ograničen neprazan skup u

\mathbb {R}

ima supremum u

\mathbb {R} .

CR zapravo ostvara realne brojeve, jer svi ostali aksiomi mogli bi se uzeti i za opis racionalnih brojeva, dok onaj zadnji ne bi.

Tada uređenu četvorku (R, +, ·, ≤) zovemo uređeno kompletno polje ili polje realnih brojeva. Često ga označavamo samo sa R. Uslovi (R1)-(R15) zovu se aksiomi realnih brojeva. Iz teorije grupa i iz prethodne definicije, vidi se da u polju R postoje jednistvena nula (R2) i jedinstvena jedinica (R7), da svaki elemenat h skupa R, osim nule, ima (R3) jedinstven suprotni elemenat -h, i da svaki ima (R8) jedinstven inverzni elemenat $x^{-1}\equiv {\frac {1}{x}}.$

Operacije sabiranja i množenja indukuju algebarsku strukturu u skupu R realnih brojeva, a relacija uređenja indukuje u R strukturu talnog uređenja.

Aksiome 1-9 odnose se na algebarsku strukturu skupa realnih brojeva, a aksiome 10-12 na njegovu strukturu poretka. Aksiome 13-14 povezuju te dve strukture na skupu realnih brojeva, tj. pokazuju da je relacija poretka "≤ " u saglasnosti sa sabiranjem i množenjem u R. Zovu se redom monotonija sabiranja i množenja.

Aksioma R15 izražava važnu osobinu skupa realnih brojeva koju zovemo kompletnost skupa R. Postoji više ekvivalentnih oblika tog aksioma.

Podskupovi

Nekoliko važnih podskupova realnih brojeva imaju svoja posebna imena, to su:

Reference

Dr Pavle Miličić, Mr Vladimir Stojanović, Dr Zoran Kadelburg, Dr Branislav Boričić: MATEMATIKA, Za I razred srednje škole, Programi sa četiri časa nastave matematike nedeljno, Drugo izdanje, Zavod za izdavanje udžbenika, Novi Sad, 1992.
Dr Dimitrije Hajduković, Matematika 1, četvrto izdanje, Nauka, Beograd, 1999.

Povezano