Multiplikativa och additiva funktioner
redigera
En aritmetisk funktion a är
En aritmetisk funktion a är
additiv a (mn ) = a (m ) + a (n ) för alla relativt prima naturliga tal m och n ;multiplikativ a (mn ) = a (m )a (n ) för alla relativt prima naturliga tal m och n .
φ(n ) n som är relativt prima till n .
φ
(
n
)
=
n
∏
p
|
n
(
1
−
1
p
)
=
n
(
p
1
−
1
p
1
)
(
p
2
−
1
p
2
)
…
(
p
ω
(
n
)
−
1
p
ω
(
n
)
)
.
{\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\ldots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}
μ(n ) Möbius inversionsformel . Den definieras som
μ
(
n
)
=
{
(
−
1
)
ω
(
n
)
=
(
−
1
)
Ω
(
n
)
om
ω
(
n
)
=
Ω
(
n
)
0
om
ω
(
n
)
≠
Ω
(
n
)
.
{\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\mbox{om }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\mbox{om }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}
τ(n )
∑
n
≥
1
τ
(
n
)
q
n
=
q
∏
n
≥
1
(
1
−
q
n
)
24
.
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}
redigera
λ(n ) Liouvilles lambda-funktion , definieras som
λ
(
n
)
=
(
−
1
)
Ω
(
n
)
.
{\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.\;}
n ) – antalet skilda primtalsdelare
redigera
Funktionen ω(n ) , definierad som antalet skilda primtal som delar n , är additiv.
redigera
c 4 (n ) - antalet sätt som n kan uttryckas som summan av fyra kvadrater på icke-negativa heltal, där man gör skillnad på summandernas ordning. Till exempel:1 = 12 +02 +02 +02 = 02 +12 +02 +02 = 02 +02 +12 +02 = 02 +02 +02 +12 , dvs c 4 (1)=4. P (n ), Partitionsfunktionen - antalet representationer av n som summan av positiva heltal där man inte skiljer på summandernas ordning.Till exempel: P (2 · 5) = P (10) = 42 och P (2)P (5) = 2 · 7 = 14 ≠ 42.
π(n ), Primtalsfunktionen - antalet primtal mindre än eller lika med ett givet tal n . Det gäller att π(1) = 0 och π(10) = 4 (primtalen under 10 är 2, 3, 5 och 7). Λ(n )
Λ
(
n
)
=
{
log
p
om
n
=
2
,
3
,
4
,
5
,
7
,
8
,
9
,
11
,
13
,
16
,
…
=
p
k
är en primtalspotens
0
om
n
=
1
,
6
,
10
,
12
,
14
,
15
,
18
,
20
,
21
,
…
annars
.
{\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\mbox{om }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\mbox{ är en primtalspotens}}\\0&{\mbox{om }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\mbox{ annars}}.\end{cases}}}
r k n ) är antalet representationer av n som summan av k kvadrater, där representationer som skiljer sig enbart i ordningen av termerna eller deras tecken räknas som skilda
r
k
(
n
)
=
|
{
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
k
)
:
n
=
a
1
2
+
a
2
2
+
⋯
+
a
k
2
}
|
.
{\displaystyle r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|.}
Givet en aritmetisk funktion a(n) definieras dess summafunktion A(x) som
A
(
x
)
:=
∑
n
≤
x
a
(
n
)
.
{\displaystyle A(x):=\sum _{n\leq x}a(n).}
A kan ses som en funktion av en reell variabel . Givet ett positivt heltal m är A konstant i det öppna intervallet m < x < m + 1 och har en diskontinuitet vid varje heltal n för vilket a(n) ≠ 0.
Summafunktioner representeras ofta med hjälp av serier och integraler . För att få summafunktionerna kontinuerliga definieras de vanligen vid diskontinuiteter som medelvärdet av värdena till höger och vänster om diskontinuiteten:
A
0
(
m
)
:=
1
2
(
∑
n
<
m
a
(
n
)
+
∑
n
≤
m
a
(
n
)
)
=
A
(
m
)
−
1
2
a
(
m
)
.
{\displaystyle A_{0}(m):={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n<m}a(n)+\sum _{n\leq m}a(n)\right)=A(m)-{\frac {1}{2}}a(m).}
Individuella värden av aritmetiska funktioner kan variera mycket. Summafunktionerna varierar i allmänhet mindre. I flera fall går det att hitta asymptotiska formler för summafunktionen för stora x .
Relationer mellan aritmetiska funktioner
redigera
∑
δ
∣
n
μ
(
δ
)
=
∑
δ
∣
n
λ
(
n
δ
)
|
μ
(
δ
)
|
=
{
1
if
n
=
1
0
if
n
≠
1.
{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\mu (\delta )=\sum _{\delta \mid n}\lambda \left({\frac {n}{\delta }}\right)|\mu (\delta )|={\begin{cases}&1{\mbox{ if }}n=1\\&0{\mbox{ if }}n\neq 1.\end{cases}}}
∑
δ
∣
n
φ
(
δ
)
=
n
.
{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )=n.}
φ
(
n
)
=
∑
δ
∣
n
μ
(
n
δ
)
δ
=
n
∑
δ
∣
n
μ
(
δ
)
δ
.
{\displaystyle \varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.}
∑
d
|
n
J
k
(
d
)
=
n
k
.
{\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,}
J
k
(
n
)
=
∑
δ
∣
n
μ
(
n
δ
)
δ
k
=
n
k
∑
δ
∣
n
μ
(
δ
)
δ
k
.
{\displaystyle J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.}
∑
δ
∣
n
δ
s
J
r
(
δ
)
J
s
(
n
δ
)
=
J
r
+
s
(
n
)
{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}
∑
δ
∣
n
φ
(
δ
)
d
(
n
δ
)
=
σ
(
n
)
.
{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )d\left({\frac {n}{\delta }}\right)=\sigma (n).}
∑
δ
∣
n
|
μ
(
δ
)
|
=
2
ω
(
n
)
.
{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}|\mu (\delta )|=2^{\omega (n)}.}
|
μ
(
n
)
|
=
∑
δ
∣
n
μ
(
n
δ
)
2
ω
(
δ
)
.
{\displaystyle |\mu (n)|=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}.}
∑
δ
∣
n
2
ω
(
δ
)
=
d
(
n
2
)
.
{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}2^{\omega (\delta )}=d(n^{2}).}
2
ω
(
n
)
=
∑
δ
∣
n
μ
(
n
δ
)
d
(
δ
2
)
.
{\displaystyle 2^{\omega (n)}=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d(\delta ^{2}).}
∑
δ
∣
n
d
(
δ
2
)
=
d
2
(
n
)
.
{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d(\delta ^{2})=d^{2}(n).}
d
(
n
2
)
=
∑
δ
∣
n
μ
(
n
δ
)
d
2
(
δ
)
.
{\displaystyle d(n^{2})=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d^{2}(\delta ).}
∑
δ
∣
n
d
(
n
δ
)
2
ω
(
δ
)
=
d
2
(
n
)
.
{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d\left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}=d^{2}(n).}
∑
δ
∣
n
λ
(
δ
)
=
{
1
om
n
är en kvadrat
0
om
n
är inte en kvadrat.
{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\lambda (\delta )={\begin{cases}&1{\mbox{ om }}n{\mbox{ är en kvadrat }}\\&0{\mbox{ om }}n{\mbox{ är inte en kvadrat.}}\end{cases}}}
Liouvilles funktion .
∑
δ
∣
n
Λ
(
δ
)
=
log
n
.
{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\Lambda (\delta )=\log n.}
Λ
(
n
)
=
∑
δ
∣
n
μ
(
n
δ
)
log
(
δ
)
.
{\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\log(\delta ).}
Om
k
≥
4
är
r
k
(
n
)
>
0.
{\displaystyle {\mbox{Om }}k\geq 4{\mbox{ är }}\;\;\;r_{k}(n)>0.}
Lagranges fyrakvadraterssats ).
r
2
(
n
)
=
4
∑
d
|
n
χ
(
d
)
,
{\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d|n}\chi (d),\;}
r
4
(
n
)
=
8
∑
4
∤
d
d
|
n
d
=
8
(
2
+
(
−
1
)
n
)
∑
2
∤
d
d
|
n
d
=
{
8
σ
(
n
)
om
n
är udda
24
σ
(
n
2
ν
)
if
n
är jämn
{\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\,|\,n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\,|\,n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\mbox{om }}n{\mbox{ är udda }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\mbox{if }}n{\mbox{ är jämn }}\end{cases}}}
ν = ν2 (n ) .
r
6
(
n
)
=
16
∑
d
|
n
χ
(
n
d
)
d
2
−
4
∑
d
|
n
χ
(
d
)
d
2
.
{\displaystyle r_{6}(n)=16\sum _{d|n}\chi \left({\frac {n}{d}}\right)d^{2}-4\sum _{d|n}\chi (d)d^{2}.}
Definiera funktionen σk * (n ) som
σ
k
∗
(
n
)
=
(
−
1
)
n
∑
d
|
n
(
−
1
)
d
d
k
=
{
∑
d
|
n
d
k
=
σ
k
(
n
)
om
n
är udda
∑
2
∣
d
d
|
n
d
k
−
∑
2
∤
d
d
|
n
d
k
if
n
är jämn
.
{\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d|n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\,|\,n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\mbox{om }}n{\mbox{ är udda }}\\\sum _{\stackrel {d\,|\,n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\,|\,n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\mbox{if }}n{\mbox{ är jämn}}.\end{cases}}}
Då är
r
8
(
n
)
=
16
σ
3
∗
(
n
)
.
{\displaystyle r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).\;}
Definiera τ(x ) = 0 om x inte är ett heltal.
r
24
(
n
)
=
16
691
σ
11
∗
(
n
)
+
128
691
{
(
−
1
)
n
−
1
259
τ
(
n
)
−
512
τ
(
n
2
)
}
{\displaystyle r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\sigma _{11}^{*}(n)+{\frac {128}{691}}\left\{(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}}
redigera
σ
3
(
n
)
=
1
5
{
6
n
σ
1
(
n
)
−
σ
1
(
n
)
+
12
∑
0
<
k
<
n
σ
1
(
k
)
σ
1
(
n
−
k
)
}
.
{\displaystyle \sigma _{3}(n)={\frac {1}{5}}\left\{6n\sigma _{1}(n)-\sigma _{1}(n)+12\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(n-k)\right\}.\;}
σ
5
(
n
)
=
1
21
{
10
(
3
n
−
1
)
σ
3
(
n
)
+
σ
1
(
n
)
+
240
∑
0
<
k
<
n
σ
1
(
k
)
σ
3
(
n
−
k
)
}
.
{\displaystyle \sigma _{5}(n)={\frac {1}{21}}\left\{10(3n-1)\sigma _{3}(n)+\sigma _{1}(n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(n-k)\right\}.\;}
σ
7
(
n
)
=
1
20
{
21
(
2
n
−
1
)
σ
5
(
n
)
−
σ
1
(
n
)
+
504
∑
0
<
k
<
n
σ
1
(
k
)
σ
5
(
n
−
k
)
}
=
σ
3
(
n
)
+
120
∑
0
<
k
<
n
σ
3
(
k
)
σ
3
(
n
−
k
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{aligned}}}
σ
9
(
n
)
=
1
11
{
10
(
3
n
−
2
)
σ
7
(
n
)
+
σ
1
(
n
)
+
480
∑
0
<
k
<
n
σ
1
(
k
)
σ
7
(
n
−
k
)
}
=
1
11
{
21
σ
5
(
n
)
−
10
σ
3
(
n
)
+
5040
∑
0
<
k
<
n
σ
3
(
k
)
σ
5
(
n
−
k
)
}
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\;\end{aligned}}}
τ
(
n
)
=
65
756
σ
11
(
n
)
+
691
756
σ
5
(
n
)
−
691
3
∑
0
<
k
<
n
σ
5
(
k
)
σ
5
(
n
−
k
)
,
{\displaystyle \tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),\;}
Om vi definierar p(0) = 1 är
p
(
n
)
=
1
n
∑
1
≤
k
≤
n
σ
(
k
)
p
(
n
−
k
)
.
{\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq k\leq n}\sigma (k)p(n-k).}
1965 bevisade P. Kesava Menon
∑
gcd
(
k
,
n
)
=
1
1
≤
k
≤
n
gcd
(
k
−
1
,
n
)
=
φ
(
n
)
d
(
n
)
.
{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n).}
Några generaliseringar är:
∑
gcd
(
k
1
,
n
)
=
1
1
≤
k
1
,
k
2
,
…
,
k
s
≤
n
gcd
(
k
1
−
1
,
k
2
,
…
,
k
s
,
n
)
=
φ
(
n
)
σ
s
−
1
(
n
)
.
{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).}
∑
gcd
(
k
1
,
k
2
,
…
,
k
s
,
n
)
=
1
1
≤
k
1
,
k
2
,
…
,
k
s
≤
n
gcd
(
k
1
−
a
1
,
k
2
−
a
2
,
…
,
k
s
−
a
s
,
n
)
s
=
J
s
(
n
)
d
(
n
)
,
{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),}
där a 1 , a 2 , ..., a s a 1 , a 2 , ..., a s n ) = 1.
∑
gcd
(
k
,
m
)
=
1
1
≤
k
≤
m
gcd
(
k
2
−
1
,
m
1
)
gcd
(
k
2
−
1
,
m
2
)
=
φ
(
n
)
∑
d
2
∣
m
2
d
1
∣
m
1
φ
(
gcd
(
d
1
,
d
2
)
)
2
ω
(
lcm
(
d
1
,
d
2
)
)
,
{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},}
där m 1 och m 2 är udda, m = lcm(m 1 , m 2 ).
Om f är en godtycklig aritmetisk funktion är
∑
gcd
(
k
,
n
)
=
1
1
≤
k
≤
n
f
(
gcd
(
k
−
1
,
n
)
)
=
φ
(
n
)
∑
d
∣
n
(
μ
∗
f
)
(
d
)
φ
(
d
)
,
{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}f(\gcd(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},}
där * betyder Dirichletfaltning .
6
π
2
<
ϕ
(
n
)
σ
(
n
)
n
2
<
1
{\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\phi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1\;}
c
q
(
n
)
=
μ
(
q
gcd
(
q
,
n
)
)
ϕ
(
q
gcd
(
q
,
n
)
)
ϕ
(
q
)
=
∑
δ
|
gcd
(
q
,
n
)
μ
(
q
δ
)
δ
;
{\displaystyle {\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}{\phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta |\gcd(q,n)}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ;\end{aligned}}}
Notera att
ϕ
(
q
)
=
∑
δ
|
q
μ
(
q
δ
)
δ
.
{\displaystyle \phi (q)=\sum _{\delta |q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .}
c
q
(
1
)
=
μ
(
q
)
{\displaystyle c_{q}(1)=\mu (q)\;}
c
q
(
q
)
=
ϕ
(
q
)
{\displaystyle c_{q}(q)=\phi (q)\;}
∑
δ
|
n
d
3
(
δ
)
=
(
∑
δ
|
n
d
(
δ
)
)
2
{\displaystyle \sum _{\delta |n}d^{\;3}(\delta )=\left(\sum _{\delta |n}d(\delta )\right)^{2}\;}
13 + 23 + 33 + ... + n 3 = (1 + 2 + 3 + ... + n )2
d
(
u
v
)
=
∑
δ
|
gcd
(
u
,
v
)
μ
(
δ
)
d
(
u
δ
)
d
(
v
δ
)
{\displaystyle d(uv)=\sum _{\delta \;|\gcd(u,v)}\mu (\delta )d\left({\frac {u}{\delta }}\right)d\left({\frac {v}{\delta }}\right)\;}
σ
k
(
u
)
σ
k
(
v
)
=
∑
δ
|
gcd
(
u
,
v
)
δ
k
σ
k
(
u
v
δ
2
)
{\displaystyle \sigma _{k}(u)\sigma _{k}(v)=\sum _{\delta \;|\gcd(u,v)}\delta ^{k}\sigma _{k}\left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right)\;}
τ
(
u
)
τ
(
v
)
=
∑
δ
|
gcd
(
u
,
v
)
δ
11
τ
(
u
v
δ
2
)
{\displaystyle \tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \;|\gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right)\;}
redigera
∑
n
≥
1
μ
(
n
)
n
s
=
1
ζ
(
s
)
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}
∑
n
≥
1
φ
(
n
)
n
s
=
ζ
(
s
−
1
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}
∑
n
≥
1
2
ω
(
n
)
n
s
=
ζ
(
s
)
2
ζ
(
2
s
)
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}
ζ
(
s
−
1
)
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}
ζ
(
s
−
k
)
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
J
k
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}}
ζ
(
s
)
ζ
(
s
−
a
)
=
∑
n
=
1
∞
σ
a
(
n
)
n
s
{\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}}
ζ
(
s
)
ζ
(
s
−
a
)
ζ
(
s
−
2
a
)
ζ
(
2
s
−
2
a
)
=
∑
n
=
1
∞
σ
a
(
n
2
)
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n^{2})}{n^{s}}}}
ζ
(
s
)
ζ
(
s
−
a
)
ζ
(
s
−
b
)
ζ
(
s
−
a
−
b
)
ζ
(
2
s
−
a
−
b
)
=
∑
n
=
1
∞
σ
a
(
n
)
σ
b
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}}
ζ
2
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
d
(
n
)
n
s
{\displaystyle \zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}}
ζ
3
(
s
)
ζ
(
2
s
)
=
∑
n
=
1
∞
d
(
n
2
)
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}}
ζ
4
(
s
)
ζ
(
2
s
)
=
∑
n
=
1
∞
d
(
n
)
2
n
s
.
{\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.}
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
=
−
∑
n
=
1
∞
Λ
(
n
)
n
s
.
{\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}
ζ
(
2
s
)
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
λ
(
n
)
n
s
.
{\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}
σ
1
−
s
(
m
)
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
c
n
(
m
)
n
s
.
{\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.}
ζ
(
s
)
ζ
(
2
s
)
=
∑
n
=
1
∞
|
μ
(
n
)
|
n
s
≡
∑
n
=
1
∞
μ
2
(
n
)
n
s
.
{\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}.}
