எண்ணளவை

கணிதத்தில், ஒரு கணத்தின் எண்ணளவை (cardinality) என்பது அக்கணத்திலுள்ள உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கையின் அளவாகும். எடுத்துக்காட்டாக கணம் A = {1,2,3} வில் மூன்று உறுப்புகள் உள்ளன. எனவே A வின் எண்ணளவை மூன்றாகும். இருவழிக்கோப்புகள், உள்ளிடுகோப்புகளைக் கொண்டு கணங்களை நேரிடையாக ஒப்பீடு செய்தல், முதலெண்களைப் பயன்படுத்தல் என இரு வழிகளில் எண்ணளவையானது அணுகப்படுகிறது.

மற்ற அளவைகளோடு குழப்பம் ஏற்படாதவரை ஒரு கணத்தின் எண்ணளவையானது அக்கணத்தின் அளவு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

எண்ணளவையைக் குறிக்க |A|, card(A), #A, n(A) A போன்ற குறியீடுகள் பயன்படுத்தப் படுகின்றன.

கணங்களை ஒப்பிடுதல்

N இலிருந்து E க்கான இருவழிச் சார்பு. E ஆனது N இன் தகு உட்கணமாக இருப்பினும் இரண்டின் எண்ணளவைகளும் சமமாக உள்ளன.

ஒரு முடிவுறு கணங்களைப் பொறுத்தவரை எண்ணளவை என்பது அக்கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பதாகும். எண்ணளவைக் கருத்துருவை முடிவிலி கணங்களுக்கு நீட்டிக்கும்போது குறிப்பிலா கணங்களை ஒப்பிடும்முறையை வரையறுத்தல் அவசியமாகிறது.

வரையறை 1 : | A | = | B |

A , B கணங்களுக்கிடையில், A இலிருந்து B க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு இருவழிக்கோப்பு (உள்ளிடு மற்றும் முழுக்கோப்பாக அமையும் ஒரு சார்பு) இருக்குமானால், அவ்விரு கணங்களின் எண்ணளவைகள் சமமானவையாக இருக்கும். அதாவது, | A | = | B |.

எண்ணளவை சமமாகவுள்ள கணங்கள் ≈, ~ ஆகிய குறியீடுகளால் இணைக்கப்படுகின்றன:

A≈B அல்லது A~B

எடுத்துக்காட்டு:

E = {0, 2, 4, 6, ...} - எதிர்மமில்லா இரட்டை எண்களின் கணம்.

N' = {0, 1, 2, 3, ...} - இயல் எண்களின் கணம்.

f(n) = 2n என்ற சார்பு, N இலிருந்து E க்கு வரையறுக்கப்பட்ட இருவழிக்கோப்பாக உள்ளதால் | E | = | N | ஆக இருக்கும்.

வரையறை 2: | A | ≤ | B |

A இலிருந்து B க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உள்ளிடு சார்பு இருக்குமானால், A இன் எண்ணளவை B இன் எண்ணளவையை விடச் குறைந்ததாகவோ சமமானதாகவோ இருக்கும்.

| A | ≤ | B |

வரையறை 3: | A | < | B |

A இலிருந்து B க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உள்ளிடு சார்பு இருந்து, இருவழிச் சார்பு இல்லாமல் இருந்தால் A இன் எண்ணளவை B இன் எண்ணளவையை விடக் கண்டிப்பாகக் குறைந்ததாக இருக்கும்.

| A | < | B |

எடுத்துக்காட்டு:

N = இயல் எண்களின் கணம்.

R = மெய்யெண்களின் கணம்.

உள்ளடக்கல் கோப்பு, i : N → R ஒரு உள்ளிடு சார்பாகும். ஆனால் N → R வரையறுக்கப்பட்ட எந்தவொரு இருவழிச் சார்பும் கிடையாது என்பதால்

| N | < | R |

| A | ≤ | B | மற்றும் | B | ≤ | A | எனில் | A | = | B | (Cantor–Bernstein–Schroeder theorem).

தெரிவு அடிக்கோளானது (axiom of choice), A,B கணங்களுக்கு,| A | ≤ | B | அல்லது | B | ≤ | A | ஆக இருக்கும் என்ற கூற்றுக்குச் சமானமானதாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகளும் பண்புகளும்

• X = {a, b, c}, Y = {ஆப்பிள், ஆரஞ்சு, கொய்யா} கணங்களுக்கிடையில் { (a, ஆப்பிள்), (b,ஆரஞ்சு), (c, கொய்யா)} என்ற இருவழிச் சார்பு அமைந்துள்ளதால் | X | = | Y | = 3.
• | X | < | Y |, எனில் | X | = | Z | மற்றும் Z ⊆ Y என்றவாறு Z என்ற கணம் இருக்கும்.
• | X | ≤ | Y | மற்றும் | Y | ≤ | X | எனில் | X | = | Y |. இக்கூற்று முடிவிலி கணங்களுக்கும் பொருந்தும்.

ஒன்றிப்பும் வெட்டும்

A , B என்பவை சேர்ப்பில்லா கணங்கள் எனில்:

$\left\vert A\cup B\right\vert =\left\vert A\right\vert +\left\vert B\right\vert .$

இதிலிருந்து ஒன்றிப்பு கணங்கள் மற்றும் வெட்டு கணங்களின் எண்ணளவைகள் கீழ்வருமாறு தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன:

$\left\vert C\cup D\right\vert +\left\vert C\cap D\right\vert =\left\vert C\right\vert +\left\vert D\right\vert \,.$