Паўпрамы здабытак

Група, алгебра

Тэорыя груп Асноўныя паняцці Падгрупа Нармальная падгрупа Фактаргрупа (паў-)Прамы здабытак Тапалагічныя групы Група Лі Артаганальная група O(n) Спецыяльная ўнітарная група SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Група Лорэнца Група Пуанкарэ

Паўпрамы здабытак — канструкцыя ў тэорыі груп, якая дазваляе будаваць новую групу па дзвюх групах $H$ і $N$, і дзеянні $\phi$ групы $H$ на групе $N$ аўтамарфізмамі.

Паўпрамы здабытак груп $N$ і $H$ над $\phi$ звычайна абазначаецца $N\rtimes _{\phi }H$.

Канструкцыя

Няхай зададзена дзеянне групы $H$ на прасторы групы $N$ з захаваннем яе групавой структуры. Гэта азначае, што зададзены гомамарфізм $\phi :H\rightarrow {\mbox{Aut}}(N)$ групы $H$ у групу аўтамарфізмаў групы $N$. Аўтаморфізм групы $N$., які адпавядае элементу $h$ з $H$ пры гомамарфізме $\phi$. пазначым $\phi _{h}$. У якасці групы $G$ — паўпрамога здабытку груп $H$ і $N$ над гомамарфізмам $\phi$ — бярэцца мноства $N\times H$ з бінарнай аперацыяй $*$, што дзейнічае па правілу:

$(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\phi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})$ для любых $n_{1},n_{2}\in N$, $h_{1},h_{2}\in H$.

Уласцівасці

1. Групы $H$ і $N$ натуральна ўкладзеныя ў $G$, прычым $N$ — нармальная падгрупа ў $G$.
2. Кожны элемент $g\in G$ адназначна раскладаем у здабытак $g=nh$, дзе $h$ і $n$ — элементы груп $H$ і $N$ адпаведна. (Гэта ўласцівасць апраўдвае назву групы $G$ як паўпрамога здабытку груп $H$ м $N$.)
3. Зададзенае дзеянне $\phi$ групы $H$ на групе $N$ супадае з дзеяннем $H$ на $N$ спалучэннямі (у групе $G$).

Усякая група са ўласцівасцямі 1-3 ізаморфная групе $G$ (уласцівасць універсальнасці паўпрамога здабытку груп).

Літаратура

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3 000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.