Alĝebro de Lie

En matematiko, alĝebro de Lie estas algebra strukturo (alĝebro) kun malsimetria dulineara operacio (la Lie-krampo), por kiu validas la idento de Jacobi. Super la kampo de reelaj aŭ kompleksaj nombroj, alĝebro de Lie priskribas la infiniteziman strukturon de reela aŭ kompleksa grupo de Lie.

Difino

Se $K$ estas komuta ringo (kun idento), alĝebro de Lie super $K$ konsistas el $K$-modulo ${\mathfrak {g}}$ kune kun dulineara mapo

$[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$

(la Lie-krampo) kiu plenumas la jenajn du aksiomojn:

• (alterneco) por ĉiu $x\in {\mathfrak {g}}$, do $[x,x]=0$
  • Konsekvence, por ĉiu $x,y\in {\mathfrak {g}}$, do $[x,y]=-[y,x]$ (malsimetrieco). Se ${\tfrac {1}{2}}\in K$, do malsimetrieco kaj alterneco estas ekvivalentaj, sed ĝenerale alterneco estas pli forta ol malsimetrieco.
• (Jacobi-idento) por ĉiu $x,y,z\in {\mathfrak {g}}$, do $[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0$.

Rilato kun grupoj

Se $G$ estas (fini-dimensia) grupo de Lie, tiam la tanĝa spaco $\mathrm {T} _{1}G$ estas reela fini-dimensia alĝebro de Lie. Inverse, se ${\mathfrak {g}}$ estas fini-dimensia reela alĝebro de Lie, tiam ekzistas grupo de Lie asociita kun ${\mathfrak {g}}$. (Tiu grupo estas, ĝenerale, ne unika.)

Simile, kompleksa alĝebro de Lie estas asociita kun kompleksa grupo de Lie.

Historio

La koncepton de la alĝebro de Lie difinis Sophus Lie, dum lia studado pri grupoj de Lie.

Referencoj

• Bourbaki, Nicolas. (2006) Éléments de mathématique : Groupes et algèbres de Lie (france). Springer-Verlag.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Lie algebra en MathWorld.