Plenigo de kvadrato

Plenigo de kvadrato estas tekniko de rudimenta algebro en kio esprimo

x^{2}+bx+c

estas anstataŭigita per esprimo de la formo

(x+d)^{2}+e

Do:

{\begin{matrix}ax^{2}+bx+c&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+\left({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+2{\frac {bx}{2a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c\\&=&a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c\end{matrix}}

Plenigo de kvadrato plisimpligas esprimon engaĝantan plenan kvadratan polinomon al engaĝantan nur kvadraton kaj konstanton.

Ekzemplo

Simpla ekzemplo estas:

x^{2}+4x=x^{2}+4x+4-4=(x+2)^{2}-4

Nun, konsideru la problemon de trovo de malderivaĵo de ĉi tio:

\int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}.

La denominatoro estas

9x^{2}-90x+241=9(x^{2}-10x)+241.

Adicio de (10/2)² = 25 al x² - 10x donas perfektan kvadraton x² - 10x + 25 = (x - 5)². Do:

9(x^{2}-10x)+241=9(x^{2}-10x+25)+241-9(25)=9(x-5)^{2}+16.

Kaj la malderivaĵo estas

\int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}={\frac {1}{9}}\int {\frac {dx}{(x-5)^{2}+(4/3)^{2}}}={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {3}{4}}\arctan {\frac {3(x-5)}{4}}+C.