Trigonometrio

Trigonometria cirklo montranta la sinuson kaj kosinuson

Trigonometrio (de greka trigonon – 'triangulo', metrô – 'mezuri') estas branĉo de matematiko, kiu studas triangulojn, angulojn, arkojn, kaj ilian interrilaton. Ĉi tiu interrilato estas esprimita uzante trigonometriajn funkciojn, la plej konataj el kiuj estas sinuso, kosinuso kaj tanĝanto. Ĝi studas ankaŭ trigonometriajn funkciojn kaj ilian aplikon en geometrio. Ekzistas ses trigonometriaj funkcioj ligitaj kun la angulo:

• sinuso - la kvociento de la kontraŭa latero per la hipotenuzo (signo: sin). la difino povas estis etendita al ajna angulo per la formuloj:

$\sin R=1$;

$\sin(-A)=-\sin A$;

$\sin(2R-A)=\sin A$;

$\sin(A+4R)=\sin A$,

kie $R={\frac {\pi }{2}}$ estas orta angulo ($2R=\pi$ kaj $4R=2\pi$), kaj $A$ estas ajna angulo;

• kosinuso (signo: cos) - sinuso de la komplementa angulo;
• tangento (signo: tg aŭ tan) - la kvociento de la sinuso per la kosinuso;
• kotangento (signo: ctg aŭ cot) - la kvociento de la kosinuso per la sinuso;
• sekanto - la inverso de la kosinuso;
• kosekanto - la inverso de la sinuso.

Laŭ trigonometriaj funkcio oni trovas nekonatajn angulojn kaj laterojn de triangulo surbaze de donitaj trigonometriaj rilatoj.

Oni kutime uzas la vorton trigonometrio por aludi al ebena trigonometrio, tio estas la studo de trianguloj sur ebena surfaco. Sed oni povas ankaŭ studi la rilatojn de trianguloj sur kurbaj surfacoj. Pro tio ke ni loĝas sur preskaŭ sfera surfaco, oni ankaŭ studas sferan trigonometrion, tio estas la studo de trianguloj sur sferaj surfacoj.

Trigonometrio formiĝis en la 3-a jarcento a.K. kiel branĉo de geometrio por uzoj en astronomio. Hodiaŭ trigonometrio havas multajn aplikojn preter astronomio, ekzemple por navigado, optiko kaj muzikteorio.

Trigonometriaj kalkulo kaj funkcioj

Angulaj unuoj

En la mezurado de anguloj kaj, tial, en trigonometrio, oni uzas tri unuojn, sed la plej uzita en la ĉiutaga vivo estas la angula grado; en matematiko estas la radiano la plej uzita, difinita kiel la natura unuo por mezuri angulojn; la centona grado disvolviĝis kiel unuo plej proksima al la dekuma sistemo, uzata en topografio, arkitekturo aŭ en konstruado.

• Radiano (simbolo: rad): natura angula unuo en trigonometrio. En kompleta cirklo estas 2π radianoj (iom pli ol 6,28). Ĝi estas uzata ĉefe en trigonometrio kaj infinitezima kalkulo. Angulo inter du radiusoj de cirklo, arkolongo inter kiuj egalas al la radiuso, estas la ebena angulo.
• Sesuma grado: angula unuo kiu dividas cirklon en 360 gradoj. Ĝi egalas al π / 180 radianoj, al naŭdekono de orto, aŭ al 10/9 gradusoj. La simbolo de grado estas °. Grado estas pli oportuna mezurunuo de angulo ol radiano, ĉar ĝi ebligas skribi multajn kutimajn angulojn (ekzemple orton) per entjera kvanto de gradoj. Por pli ĝusta mezuro de anguloj oni uzas aŭ dekumajn frakciojn de grado aŭ minutojn kaj sekundojn. Angula minuto estas 1/60 de grado. Angula sekundo estas 1/60 de angula minuto, do 1/3600 de grado. La simbolo de angula minuto estas ' kaj la simbolo de angula sekundo estas ".
• Centuma grado: angula unuo kiu dividas cirklon en 400 centonaj gradoj. La graduso (mallongigo: gr) ankaŭ nomita gono (simbolo: gon, el la greka gônia = "angulo") estas egala al π / 200 radiano, al centono de orto, aŭ al 0,9 grado. Alimaniere priskribi estas ke la divido de la cirklo en 400 gradusoj, tiel ke en ĉiu rekta angulo estas 100 anguloj de gradusoj. La graduso estas la konsekvenco el la invento de la metro, ĉar la metro estas la 40.000.000-ono de la ter-ĉirkaŭo, kiam oni onigas tiun ĉirkaŭon per 400 gr, 1 km egalas al 1/100 da graduso. Pro tio, oni malbone komprenas ke oni ankoraŭ uzas la gradon en la aviadila kaj marveturada medioj kie la mezurunuoj estas la mar-mejlo (naŭta mejlo = 1854 metroj) kaj la deksesonaj unuoj.
• Angula milo: angula unuo kiu dividas cirklon en 6 400 unuoj. Ĝi estas uzita en la milita medio, precipe en instrumentoj por orientigo kaj signalado. Ĝia simbolo estas "m" krucigita je 30 gradoj: .

Angulilo en radianoj	Angulilo en sesumaj gradoj
Angulilo en centumaj gradoj	Angulilo en angula milo

Trigonometriaj funkcioj

En matematiko, la trigonometriaj funkcioj estas ses funkcioj de angulo.

Ili estas ekvivalente difinebla laŭ diversaj manieroj.

• Geometriaj difinoj:
  • Rilatumoj inter lateroj de orta triangulo enhavantaj la angulon, ĉi tio donas difinon por reelaj valoroj de la variablo inter 0 kaj π/2 (orto).
  • Longoj de diversaj segmentoj de unuocirklo, ĉi tio donas difinon por ĉiuj reelaj valoroj de la variablo (krom iuj certaj valoroj por iuj el la funkcioj).
• Algebraj difinoj:
  • Malfiniaj serioj
  • Solvaĵoj de certaj diferencialaj ekvacioj, ĉi tio donas vastigaĵon al kompleksaj valoroj de la variablo (krom iuj certaj valoroj por iuj el la funkcioj).

Por ke la geometriaj kaj la algebraj difinoj donu koincidantajn rezultojn, la angulo θ devas esti mezurita en radianoj.

La difino per orta triangulo senpere donas ĉiujn ses funkciojn. En iuj el la aliaj okazaj komence estas difinataj ne ĉiuj funkcioj (sin kaj cos tamen estas difinataj), la aliaj funkcioj estas tiam difinataj per formuloj de kolumno "Ĉefa idento" de la tabelo pli supre.

Skribmanieroj kaj grafikaĵoj

Nomo	Kutima skribmaniero	Ĉefa idento	Limigoj de valoro por reela argumento	Periodo
sinuso	y = sin θ		−1 ≤ y ≤ 1	2π
kosinuso	y = cos θ		−1 ≤ y ≤ 1	2π
tangento	y = tan θ aŭ y = tg θ	tan θ = sin θ / cos θ	ĉiuj reelaj y	π
kotangento	y = cot θ aŭ y = cotan θ aŭ y = ctg θ	cot θ = cos θ / sin θ	ĉiuj reelaj y	π
sekanto	y = sec θ	sec θ = 1 / cos θ	−∞ < y ≤ −1 aŭ 1 ≤ y < ∞	2π
kosekanto	y = csc θ aŭ y = cosec θ	csc θ = 1 / sin θ	−∞ < y ≤ −1 aŭ 1 ≤ y < ∞	2π

Historio pri trigonometrio

Jam de antikveco, trigonometrio estas uzata por celoj de astronomio.

Babilonia tabuleto Plimpton 322.

La antikvaj egiptanoj kaj babilonianoj konis la teoremojn pri la proporcioj de la flankoj de similaj trianguloj. Sed la prahelenaj socioj ne konis la nocion de mezuro de angulo kaj tial, la flankoj de la trianguloj estis studitaj nur pri ties mezuro, fako kiu povus esti nomita trilaterometrio.

La babiloniaj astronomoj faris registrojn pri la apero kaj malapero de la steloj, la movado de la planedoj kaj la suneklipsoj kaj luneklipsoj; ĉio tio postulas familiarecon kun la angula distanco mezurita sur la ĉiela sfero. Sur la bazo de la interpretado de kojnforme skribita tabuleto Plimpton 322 (ĉirkaŭ 1900 a.n.e.), kelkaj fakuloj asertis eĉ, ke la iamaj babilonianoj havis tabelon de sekantoj. Nuntempe, tamen, estas granda debato ĉu temas pri tabelo de pitagoraj triopoj, tabelo de solvoj de ekvacioj duagradaj aŭ eĉ trigonometria tabelo.

La antikvaj egiptanoj siavice, en la dua jarmilo antaŭ nia erao, uzis primitivan formon de trigonometrio, por la konstruado de la piramidoj. La Papiruso de Ahmes, verkita de la egipta skribisto Ahmes (ĉirkaŭ 1680-1620 a.n.e.), enhavas la jenan problemon rilatan al la trigonometrio:

	„ Se piramido esta 250 ulnojn alta kaj la latero de ties bazo estas 360 ulnojn longa, kiu estas ties seked? ”

La solvo al la problemo estas la rilato inter la duono de la flanko de la bazo de la piramido kaj ĝia alteco. Alivorte, la mezuro trovebla por la seked estas la kotangento de la angulo kiun formas la bazo de la piramido kaj ĝia respektiva flanko.

Racionala trigonometrio

Racionala trigonometrio estas moderna traktado de trigonometrio uzanta la konceptojn etendeco-n kaj kvadranco-n anstataŭ angulon kaj distancon. Anstataŭ la klasikaj funkcioj (sinuso, kosinuso, tangento) ĝi uzas nur algebrajn operaciojn. Tiu nova maniero estas la laboro de Doktoro Norman Wildberger de la Universitato de Nova Sud-Kimrio (ĉe Sidnejo en Aŭstralio). Pli da informo estas havebla je lia paĝaro [1]. Ĝia nomo devenas de la malplia uzado de neracionalaj nombroj, kiel kvadratoradikoj kaj la matematika konstanto π kiu estas neracionala.

Kvadranco - la apartiĝo inter punktoj

Kvadranco ("$Q$") diferencas ol simpla distanco ĉar ĝi kvadratigas la distancon. Ĉi tio signifas ke oni povas plifacile kalkuli la apartiĝo inter du punktoj en 2-dimensia spaco ĉar si ne devas trovi la kvadratoradikon, kiu ofte estas neracionala.

En kartezia spaco $(x,y)$, inter la punktoj $p_{1}$ kaj $p_{2}$, la kvadranco $Q_{\mathrm {1-2} }$ estas difinita kiel,

$Q_{\mathrm {1-2} }=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$

Etendeco - la apartiĝo inter linioj

Laŭ racionala trigonometrio, etendeco ("$s$") estas fundamenta koncepto difinita kiel la proporcio de du kvadrancoj. Establu punkto $p_{1}$ kie du linioj kruciĝas, kaj elektu du punktojn $p_{2}$ sur unu kaj $p_{3}$ sur la alia tiel, kiel la linio $\ell _{\mathrm {2-3} }$ estas orta laŭ $\ell _{\mathrm {1-3} }$.

Inter la linioj $\ell _{\mathrm {1-2} }$ kaj $\ell _{\mathrm {1-3} }$, la etendeco $s_{1}$ estas difinita kiel,

$s_{1}={Q_{\mathrm {1-3} } \over Q_{\mathrm {1-2} }}$

Vidu ankaŭ

• Unuocirklo
• Polusa koordinatsistemo
• Eŭlera formulo
• Serio de Taylor
• Triangulado
• Racionala trigonometrio
• Sfera trigonometrio
• Trigonometria funkcio

Eksteraj ligiloj

• GonioLab Arkivigite je 2007-10-06 per la retarkivo Wayback Machine: Bildigo al si de la unuo cirklo, trigonometrio kaj hiperbolaj funkcioj (Java Web Start)