David Hilbert

David Hilbert
(1912) Irudi gehiago
Bizitza
Jaiotza	Kaliningrad eta Znamensk, Kaliningrad Oblast (en) , 1862ko urtarrilaren 23a
Herrialdea	Prusiako Erresuma Weimarko Errepublika Alemaniar Inperioa Hirugarren Reicha
Bizilekua	Alemania
Heriotza	Göttingen, 1943ko otsailaren 14a (81 urte)
Hobiratze lekua	Stadtfriedhof Göttingen (en)
Familia
Ezkontidea(k)	Käthe Hilbert (en)
Seme-alabak	ikusi Franz Hilbert (en)
Hezkuntza
Heziketa	Königsbergeko Unibertsitatea Collegium Fridericianum (en)
Hezkuntza-maila	doktoretza
Tesia	Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen (en)
Tesi zuzendaria	Ferdinand von Lindemann (mul)
Doktorego ikaslea(k)	Max Dehn (en) Sergei Natanovich Bernstein (en) Klara Löbenstein (en) Rudolf Schimmack (en) Teiji Takagi Hermann Weyl Richard Courant (mul) Erhard Schmidt (en) Paul Hertz (mul) Werner Boy (mul) Wilhelm Ackermann Otto Blumenthal (en) Erich Hecke Oliver Dimon Kellogg (en) Kurt Schütte (mul) Charles Noble (en) Anne Lucy Bosworth Focke (en) Charles Haseman (en) Earle Raymond Hedrick (en) Georg Hamel (mul) Max Mason (en) Felix Bernstein Edward Kasner Rudolf Fueter (en) Margarethe Kahn Ernst Hellinger (en) Alfréd Haar (en) Andreas Speiser (en) Hugo Steinhaus David Clinton Gillespie (en) Otto E. Neugebauer (en) Ludwig Föppl (mul) Alexandru Myller Wallie Abraham Hurwitz (en) Bernhard Baule (en) Ugo Napoleone Giuseppe Broggi (en) Wilhelmus David Allen Westfall (en) Walther Rosemann (en) Gottfried Rückle (en) Heinrich Dörrie (en) Kurt Grelling (en) Johann Oswald Müller (en) Heinrich Behmann (mul) Georg Prange (mul) Paul Funk (en) Albert Andrae (en) Walter Lietzmann (en) Arnold Schmidt (mul) Gabriel Sudan (en) Arthur Robert Crathorne (en) Edgar Jerome Townsend (en) Hans von Schaper (en) Michael Feldblum (en) Fritz Beer (en) Legh Wilber Reid (en) Karl Sigismund Hilbert (en) Sophus Marxsen (en) Lubov Zapolskaya (en) Otto Zoll (en) Paul Kirchberger (en) Albert Kraft (en) Hugo Kistler (en) William D. Cairns (en) Johannes Otto Mühlendyck (en) Hans Bolza (en) Jakob Grommer (en) Kurt Schellenberg (en) Willi Windau (en) Gerhard Janßen (en) Rudolf Schimmack (en) Eva Koehler (en) Georg Lütkemeyer (en) Hellmuth Kneser (mul) Robert König (en) Haskell Curry Hyman Levy (en)
Hizkuntzak	alemana
Ikaslea(k)	ikusi Wilhelm Ackermann Richard Courant (mul) Erich Hecke Otto Blumenthal (en)
Jarduerak
Jarduerak	matematikaria, unibertsitateko irakaslea, filosofoa eta fisikaria
Lantokia(k)	Göttingen
Enplegatzailea(k)	Göttingengo Unibertsitatea
Lan nabarmenak	ikusi Geometry and the Imagination (en) Hilbert's basis theorem (en)
Jasotako sariak	ikusi Arteetan eta Zientziatan Merituaren Ordena Poncelet Prize  (1903) Cothenius Domina  (1906) Bolyai Prize  (1910) Lobachevsky Prize  (1903) Bavarian Maximilian Order for Science and Art  (1907) Foreign Member of the Royal Society  (1928ko ekainaren 21a) Goethe Medal for Art and Science  (1942)
Influentziak	Immanuel Kant
Kidetza	Royal Society Saxon Academy of Sciences and Humanities (en) Alemaniako Natur Zientzien Leopoldina Akademia Zientzien Bavariar Akademia Göttingengo Zientzien Akademia Sobietar Batasuneko Zientzien Akademia Suediako Zientzien Errege Akademia Hungariako Zientzien Akademia Linzeen Akademia Zientzien Errusiar Akademia Prusiako Zientzien Akademia XL izeneko Zientzien Akademia Nazionala Ameriketako Estatu Batuetako Zientzien Akademia Nazionala Arteen eta Zientzien Herbehereetako Errege Akademia Accademia delle Scienze di Torino

David Hilbert (Königsberg, Ekialdeko Prusia, 1862ko urtarrilaren 23a - Göttingen, Alemania, 1943ko otsailaren 14a), matematikari alemaniarra zen, XIX. mende amaierako eta XX. hasierako garrantzitsuenetakotzat jotzen dena. Hilbertek funtsezko ideia ugari aurkitu eta garatu zituen, besteak beste, inbarianteen teoria, aldakuntzen kalkulua, aljebra trukakorra, zenbaki aljebraikoen teoria, geometriaren oinarriak, eragileen teoria espektrala eta bere aplikazioa ekuazio integraletan, fisika matematikoan eta matematikaren oinarrietan (bereziki frogaren teoria).

Hilbertek Georg Cantor-en multzoaren eta zenbaki transfinituen teoria onartu, eta defendatu zuen. 1900. urtean XX. mendeko matematika-ikerketari bide ematen zioten problemen bilduma aurkeztu zuen.

Hilbertek eta bere lana ikasi zutenek mekanika kuantikorako eta erlatibitate orokorrerako beharrezkoa zen egitura matematikoaren zati garrantzitsuak atera zituzten. Frogapen matematikaren eta logika matematikoaren sortzaileetako bat izan zen, baita matematika eta metamatematika ezberdintasunarena ere.

Bizitza

Hasierako urteak eta heziketa

Hilbert, bi seme-alabetatik lehena eta Otto (konderriko epailearen seme bakarra) eta Maria Therese Hilberten (Erdtmann jaioa) (merkatari baten alaba) semea; Hilbert jaio zen Prusiako probintzian (Prusiako Erresuma), edo Königsbergen (Hilberten beraren deklarazioaren arabera) edo Wehlakon (1946az geroztik Znamensk izenarekin ezagutua), Königsbergetik gertu, non bere aitak lan egiten zuen bere jaiotzaren garaian. Aitaren aldeko aitona David Hilbert zen, epailea eta Geheim-rat (kontseilari pribatua). Bere ama, Mariak, filosofia, astronomia eta zenbaki lehenengatik zuen interesa, eta bere aita, Ottok, prusiar bertuteak irakasten zizkion. Bere aita hiriko epaile bihurtu ondoren, familia Königsbergera joan zen bizitzera. Davidek sei urte zituela jaio zen bere arreba, Elise. Zortzi urte zituela hasi zen eskolan, ohi baino bi urte beranduago.

1872ko amaieran, Hilbert Friedrichskolleg Gimnasiumen sartu zen (Collegium fridericianum, 140 urte lehenago Immanuel Kant eskolatu zen eskola bera), baina, zorigaiztoko garai baten ondoren, zientziara bideratutako Wilhelm Gimnasiumera aldatu zen (1879ko amaiera), eta graduatu egin zen (1880ko hasiera). Graduatu zenean, 1880ko udazkenean, Hilbert Königsbergeko Unibertsitatean matrikulatu zen, «Albertina»-n. 1882ko hasieran, Hermann Minkowski (Hilbert baino bi urte gazteagoa eta Königsbergen jaioa baina Berlinera hiru seihileko egitera joana) Königsbergera itzuli, eta unibertsitatean sartu zen. Hilbertek betiko adiskidetasuna izan zuen Minkowski lotsatiarekin.

Karrera

Hilbert 1886an

Hilbert 1907an

1884an, Adolf Hurwitz Göttingenetik Extraordinarius (hau da, irakasle elkartua) gisa iritsi zen. Hiruren arteko trukaketa zientifiko bizi eta emankorra hasi zen, eta, batez ere Minkowskik eta Hilbertek elkarrenganako eragina izango zuten beren karrera zientifikoetan. Hilbertek 1885ean lortu zuen doktoretza, Ferdinand von Lindemannen agindupean idatzitako tesi batekin eta Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Forma binario berezien propietate inbaditzaileei buruz, bereziki funtzio harmoniko esferikoei buruz") izenburupean.

Hilbert Königsbergeko Unibertsitatean geratu zen, Privatdozent (goi mailako irakasle) gisa, 1886tik 1895era. 1895ean, Felix Kleinen bere alde esku hartzearen ondorioz, Matematika irakasle postua lortu zuen Göttingeneko Unibertsitatean. Klein eta Hilberten urteetan, Göttingen matematikako erakunde nagusia bihurtu zen, eta han geratu zen bizitza osoan.

Göttingeneko Matematika Institutua. Eraikin berria, Rockefeller Fundazioaren funtsez egina, Hilbertek eta Courantek inauguratu zuten 1930ean.

Göttingeneko Unibertsitatea

Hilberten ikasleen artean, Hermann Weyl, Emanuel Lasker xake txapelduna, Ernst Zermelo eta Carl Gustav Hempel zeuden. John von Neumann bere laguntzailea zen. Göttingeneko Unibertsitatean, Hilbert XX. mendeko matematikari garrantzitsuenen zirkulu sozial batez inguratua zegoen, hala nola Emmy Noether eta Alonzo Church.

Göttingeneko ikasle asko, gerora, matematikari ospetsu bihurtu ziren, besteak beste (tesi datarekin): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) eta Wilhelm Ackermann (1925). 1902 eta 1939 artean, Hilbert Mathematische Annalen, garai hartako matematika-aldizkari nagusia, aldizkariko editorea izan zen. Ameriketako Estatu Batuetako Zientzien Akademia Nazionaleko Nazioarteko kide hautatu zuten 1907an.

Bizitza pertsonala

Käthe Hilbert Constantin Carathéodoryrekin, 1932 baino lehen.

Hilbert eta bere emazte Käthe Jerosch (1892)

Franz Hilbert

1892an, Hilbert Käthe Jerosch-ekin ezkondu zen (1864–1945), Königsbergeko merkatari baten alaba zena, «Hilbertenarekin bat zetorren buru-independentzia zuen neska gazte bat». Königsbergen zeudela, seme bakarra izan zuten, Franz Hilbert (1893 – 1969). Franzek gaixotasun mentala izan zuen bizitza osoan, eta klinika psikiatriko batean sartu ondoren, Hilbertek esan zuen: «Hemendik aurrera, semerik ez daukadala pentsatu behar dut» Franzenganako jarrerak atsekabe handia ekarri zion Kätheri.

Hilbertek kontsideratzen zuen bere lagunik onena eta egiazkoena Hermann Minkowski matematikaria zela.

Hilbert Eliza Ebanjeliko Prusiarrean bataiatu, eta kalbinista moduan hazi zuten. Eliza utzi eta agnostiko bihurtu zen. Era berean, egia matematikoa Jainkoaren existentziatik edo a priori beste suposizio batzuetatik independentea zela defendatzen zuen. Galileo Galilei kritikatua izan zenean, teoria heliozentrikoari buruz zituen usteen alde ez agertzeagatik, Hilbertek esan zuen: «Baina Galileo ez zen ergela. Ergel batek bakarrik sinets lezake egia zientifikoak martirioa behar duela; hori beharrezkoa izan daiteke erlijioan, baina emaitza zientifikoak bere garaian frogatzen dira».

Azken urteak

Albert Einsteinek moduan, Hilbertek harreman estuak izan zituen Berlingo Taldearekin, zeinaren sortzaile nagusiek Hilberten aginduetara ikasi baitzuten Göttingenen (Kurt Grelling, Hans Reichenbach eta Walter Dubislav).

1925 inguruan, Hilbertek anemia kaltegarri bat garatu zuen, garaian ezin tratatuzkoa zen bitamina-urritasuna, zeinaren sintoma nagusia nekea baita; bere laguntzaileak, Eugene Wignerrek, «neke izugarriaren» mendean zegoela eta «nahiko zahar itxura» zuela deskribatu zuen, eta, azkenean, diagnostikatu eta tratatu ondoren ere, «1925etik aurrera, ia ez zela ez zientzialaria ezta Hilbert ere».

1932an, Hilbert Amerikako Elkarte Filosofikorako aukeratu zuten.

Hilbertek, 1933an, Göttingeneko Unibertsitateko fakultateko kide ospetsu asko ikusi zuen naziak garbitzen. Alemaniatik alde egin behar izan zuen batek, Paul Bernaysek, Hilbertekin kolaboratu zuen logika matematikoan, eta harekin batera Grundlagen der Mathematik (azkenean bi liburukitan agertu zen, 1934an eta 1939an) liburu garrantzitsua idatzi zuen. Hori Hilbert – Ackermannen 1928ko Principles of Mathematics Logic liburuaren jarraipena izan zen. Hermann Weylen ondorengoa Helmut Hasse izan zen.

Handik urtebetera, Hilbert oturuntza batera joan, eta Bernhard Rust Hezkuntza ministro berriaren ondoan eseri zen. Rustek galdetu zion ea Matematika Institutuak hainbeste sufritu zuen juduen irteeragatik. Hilbertek erantzun zion: Sufritu? Ez da gehiago existitzen, ezta?

Heriotza

Hilberten hilobia:
Wir müssen wissen
Wir werden wissen
(jakin behar dugu, jakingo dugu)

1943an, Hilbert hil zenerako, naziek ia erabat aldatua zuten unibertsitateko langileria, aurreko fakultateko asko juduak edo juduekin ezkonduak baitziren. Hilberten hiletara dozena bat lagun baino gutxiago joan ziren, horietako bi bakarrik akademiakideak, horien artean Arnold Sommerfeld, fisikari teorikoa eta Königsbergen jaioa. Haren heriotzaren berri hil eta hilabete batzuetara baino ez zen mundu zabalean ezagutu.

1930eko irailaren 8an Alemaniako Zientzialari eta Medikuen Elkartean egin zuen erretiro-hitzaldia amaitzean esan zituen lerro ospetsuek osatzen dute Göttingeneko bere hilarriaren epitafioa. Ignoramus et ignorabimus edo Ez dakigu eta ez dugu jakingo latinezko maximari erantzunez eman ziren hitzak.

Wir müssen wissen - Jakin behar dugu

Wir werden wissen - Jakingo dugu

Hilbertek Alemaniako Zientzialari eta Medikuen Elkartearen 1930eko urteko batzarrean esaldi hauek esan zituen bezperan —Epistemologiari buruzko Konferentzian Gizartearen bilerekin batera egindako eztabaidan, mahai-inguru batean— Kurt Gödelek bere osagabetasunaren teoremaren lehen adierazpena iragarri zuen behin-behinekoz. Gödelen ez-osotasunaren teoremek erakusten dute oinarrizko sistema axiomatikoak ere, hala nola Peano aritmetika, bere baitan kontraesankorrak direla edo sistema horren barruan frogatu edo gezurtatu ezin diren proposizio logikoak dituztela.

Matematikari eta fisikari egindako ekarpenak

Gordanen arazoa konpontzen

Hilbertek funtzio inbarianteei buruz egin zuen lehen lanak, 1888an, bere finitutasunaren teorema ospetsuaren frogapenera eraman zuen. Hogei urte lehenago, Paul Gordanek forma bitarretarako sorgailuen finitutasunaren teorema frogatu zuen ikuspegi konputazional konplexu bat erabiliz. Bere metodoak, kalkuluen zailtasun izugarriagatik, porrot egin zuen bi aldagai baino gehiagoko funtzioetara orokortzeko saiakeran. Zenbait zirkulutan Gordanen arazotzat ezagutzen zena konpontzeko, Hilbert konturatu zen guztiz bestelako bide bat hartu behar zela. Ondorioz, Hilberten oinarri-teorema frogatu zuen, erakutsiz multzo finitu baten existentzia edozein aldagai-kopurutan kuantikoaren aldaezinentzat, baina forma abstraktuan. Hau da, multzo hori existitzen zela frogatu arren, ez zen froga eraikitzailea izan —ez zuen objekturik erakusten—, baizik eta haren existentziaren froga, eta oinarritzen zen hirugarren baztertzearen printzipioaren amaigabeko hedadura erabiltzean.

Geometriaren axiomatizazioa

Hilbertek 1899an argitaratutako Grundlagen der Geometrie (Geometriaren oinarriak) testuak multzo formal bat proposatzen du, Hilbert-en axioma izenekoak, zeinek Euklidesen Elementuak ordezkatzen duten. Euklidesenetan identifikatutako ahuleziak saihesten dituzte, garai hartan, oraindik, testuliburu-moduan erabiltzen zirenak. Zaila da Hilbertek erabilitako axiomak zehaztea Grundlagen-en argitalpen-historia aipatu gabe, Hilbertek hainbat aldiz aldatu baitzituen. Jatorrizko monografiari berehala gehitu zitzaion frantsesezko itzulpena, eta bertan Hilbertek V.2 gehitu zuen, Osotasun Axioma. Ingelesezko itzulpena, Hilbertek baimenduta, E.J. Townsendek argitaratu zuen 1902an, egile eskubideekin. Itzulpen horrek frantsesezko itzulpenean egindako aldaketak jaso zituen, eta, beraz, 2. argitalpenaren itzulpentzat hartzen da. Hilbertek testuan aldaketak egiten jarraitu zuen, eta hainbat edizio agertu ziren alemanez. 7. argitalpena izan zen Hilbert bizi zela agertutako azkena. 7.aren ondoren argitalpen berriak etorri ziren, baina, funtsean, testu nagusia ez zen berrikusi.

23 problemak

Sakontzeko, irakurri: «Hilberten problemak»

Jarraian, Hilberten 23 problemei buruzko lerroburuak daude, 1902ko itzulpenean Bulletin of the American Mathematics Society liburuan agertzen ziren moduan.

• 1. Cantorrek etengabeko zenbaki kardinalari buruz duen problema.
• 2. Axioma aritmetikoen bateragarritasuna.
• 3. Oinarri eta altitude bereko bi tetraedroren bolumenen berdintasuna.
• 4. Lerro zuzenaren arazoa, bi punturen arteko distantziarik laburren gisa.
• 5. Lie-ren eraldaketa talde jarraituaren kontzeptua taldea definitzen duten funtzioen deribagarritasuna suposatu gabe.
• 6. Fisikaren axiomen tratamendu matematikoa.
• 7. Zenbait zenbakiren irrazionaltasuna eta transzendentzia.
• 8. Zenbaki lehenen problemak ("Riemann-en hipotesia")
• 9. Edozein zenbaki-eremutan elkarrekikotasun-lege orokorrenaren froga.
• 10. Ekuazio diofantoar baten ebatzigarritasunaren determinazioa.
• 11. Edozein zenbaki-koefiziente aljebraikoko forma koadratikoak.
• 12. Kroneckerren teorema gorputz abeldarrei buruz arrazionaltasun aljebraikoaren edozein eremutara hedatzea.
• 13. Zazpigarren graduko ekuazio orokorra bi argumentu soilik dituzten funtzioen bidez ebazteko ezintasuna.
• 14. Funtzio-sistema oso batzuen egoera finituaren froga.
• 15. Schuberten kalkulu enumeratiboa edo geometria aljebraikoaren oinarri zorrotza.
• 16. Kurba eta gainazal aljebraikoen topologiaren problema.
• 17. Karratuen baturek definitutako formen adierazpena.
• 18. Poliedro kongruenteen espazioaren eraikuntza.
• 19. Bariazioen kalkuluko problema arrunten soluzioak beti analitikoak al dira?
• 20. Dirichlet muga-baldintzen problema orokorra.
• 21. Fuksiar klaseko ekuazio diferentzial linealen existentzia frogatzea, haien puntu singularrak eta talde monodromikoa ezagututa.
• 22. Erlazio analitikoen uniformetasuna funtzio automorfoen bidez: beti posible da bi aldagairen arteko edozein erlazio aljebraiko uniformizatzea aldagai baten funtzio automorfoen bidez.
• 23. Bariazioen kalkulurako metodoen hedapena.

Batzuk denbora gutxian konpondu ziren. XX. mendean zehar beste batzuk eztabaidatu izan dira, eta, orain, gutxi batzuk garrantzirik gabekoak edo itxi ezinezkoak direla ondorioztatu da. Batzuek, gaur egun ere, matematikarientzako erronka izaten jarraitzen dute.

Bibliografia

Ingelesera itzulitako literatura originala

• Ewald, William B., ed. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics. =Oxford, UK: Oxford University Press.
  • 1918. "Axiomatic thought," 1114–1115.
  • 1922. "The new grounding of mathematics: First report," 1115–1133.
  • 1923. "The logical foundations of mathematics," 1134–1147.
  • 1930. "Logic and the knowledge of nature," 1157–1165.
  • 1931. "The grounding of elementary number theory," 1148–1156.
  • 1904. "On the foundations of logic and arithmetic," 129–138.
  • 1925. "On the infinite," 367–392.
  • 1927. "The foundations of mathematics," with comment by Weyl and Appendix by Bernays, 464–489.
• van Heijenoort, Jean. (1967). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879–1931. Harvard University Press.
• Hilbert, David. (1950). The Foundations of Geometry [Grundlagen der Geometrie. ] (2.. argitaraldia) Open Court Publishing (argitaratze data: 1902).
• Hilbert, David. (1990). Foundations of Geometry [Grundlagen der Geometrie]. (. English. argitaraldia) Open Court Publishing (argitaratze data: 1971) ISBN 978-0-87548-164-7..
• Geometry and Imagination. American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-1998-2..
• Hilbert, David. (2004). David Hilbert's Lectures on the Foundations of Mathematics and Physics, 1891–1933. =Berlin & Heidelberg: Springer-Verlag ISBN 978-3-540-64373-9..

Bigarren mailako literatura

• (Frantsesez) Bertrand, Gabriel. (20 December 1943b). «Allocution» Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (Paris) 217: 625–640.., available at Gallica. The "Address" of Gabriel Bertrand of 20 December 1943 at the French Academy: he gives biographical sketches of the lives of recently deceased members, including Pieter Zeeman, David Hilbert and Georges Giraud.
• Bottazzini Umberto, 2003. Il flauto di Hilbert. Storia della matematica. UTET, ISBN 88-7750-852-3
• Corry, L., Renn, J., and Stachel, J., 1997, "Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute," Science 278: nn-nn.
• Corry, Leo. (2004). David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898–1918): From Grundlagen der Geometrie to Grundlagen der Physik. Springer ISBN 90-481-6719-1..
• Dawson, John W. Jr 1997. Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel. Wellesley MA: A. K. Peters. ISBN 1-56881-256-6.
• Fölsing, Albrecht. (1998). Albert Einstein. Penguin.
• Grattan-Guinness, Ivor, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870–1940. Princeton Univ. Press.
• Gray, Jeremy, 2000. The Hilbert Challenge. ISBN 0-19-850651-1
• Mancosu, Paolo. (1998). From Brouwer to Hilbert, The Debate on the Foundations of Mathematics in 1920s. Oxford Univ. Press ISBN 978-0-19-509631-6..
• Mehra, Jagdish, 1974. Einstein, Hilbert, and the Theory of Gravitation. Reidel.
• Piergiorgio Odifreddi, 2003. Divertimento Geometrico. Le origini geometriche della logica da Euclide a Hilbert. Bollati Boringhieri, ISBN 88-339-5714-4. A clear exposition of the "errors" of Euclid and of the solutions presented in the Grundlagen der Geometrie, with reference to non-Euclidean geometry.
• Reid, Constance.. (1996). Hilbert. =New York: Springer ISBN 0-387-94674-8.. The definitive English-hizkuntza=biography of Hilbert.
• Rowe, D. E.. (1989). «Klein, Hilbert, and the Gottingen Mathematical Tradition» Osiris 5: 186–213.  doi:10.1086/368687..
• Sauer, Tilman. (1999). «The relativity of discovery: Hilbert's first note on the foundations of physics» Arch. Hist. Exact Sci. 53: 529–75. Bibcode: 1998physics..11050S..
• Sieg, Wilfried. (2013). Hilbert's Programs and Beyond. Oxford University Press ISBN 978-0-19-537222-9..
• Sieg, Wilfried, and Ravaglia, Mark, 2005, "Grundlagen der Mathematik" in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 981-99. (in English)
• Thorne, Kip, 1995. Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy, W. W. Norton & Company; Reprint edition. ISBN 0-393-31276-3.

• Datuak: Q41585
• Multimedia: David Hilbert / Q41585