Ensemble fini

En mathématiques, un ensemble fini est un ensemble qui possède un nombre fini d'éléments, c'est-à-dire qu'il est possible de compter ses éléments, le résultat étant un nombre entier. Un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini.

Ainsi l'ensemble des chiffres usuels (en base dix)

$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

qui possède 10 éléments, est fini. De même l'ensemble des lettres de l'alphabet qui possède 26 éléments.

L'ensemble de tous les nombres entiers naturels

$\{0,1,2,3,\ldots ,10,\ldots ,100,\ldots \}$

est, lui, infini : on peut toujours aller au-delà d'un nombre entier. De même, l'ensemble de tous les mots que l'on peut former avec les 26 lettres de l'alphabet, sans se préoccuper de leur signification, et sans restreindre leur longueur, est lui aussi infini.

Plus formellement, un ensemble $E$ est dit fini s'il existe un entier naturel $n$ et une bijection entre $E$ et l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que $n$. Cet entier $n$, qui est alors unique, est appelé le nombre d'éléments, ou cardinal, de l'ensemble fini $E$. Établir une telle bijection revient à étiqueter les éléments de $E$ avec les entiers de $0$ à $n-1$ ou, ce qui revient au même, avec les entiers de $1$ à $n$.

Une propriété importante des ensembles finis est donnée par le principe des tiroirs de Dirichlet : une fonction d'un ensemble fini dans un ensemble fini de cardinal strictement inférieur ne peut être injective. Cette propriété est utile en particulier en combinatoire, qui plus généralement étudie les structures finies.

La définition d'ensemble fini fait référence aux entiers naturels, mais certains mathématiciens et logiciens ont souhaité fonder les mathématiques sur la notion d'ensemble, qui leur semblait plus primitive. Des définitions d'ensemble fini ou d'ensemble infini ont été proposées, qui ne faisaient pas référence aux entiers. La première d'entre elles est celle de Dedekind, qui s'appuie sur le principe des tiroirs : un ensemble est fini au sens de Dedekind s'il ne peut pas être mis en bijection avec l'une de ses parties propres. Mais les ensembles finis au sens de Dedekind ne sont finis au sens usuel que dans une théorie des ensembles munie d'une forme faible de l'axiome du choix.

Les développements de la théorie des ensembles, après sa première axiomatisation par Ernst Zermelo, ont permis ensuite de définir les entiers dans celle-ci, et donc la définition donnée en termes d'entiers peut se voir finalement comme une définition purement ensembliste. Par ailleurs, d'autres caractérisations d'ensemble fini ont été données, comme celle d'Alfred Tarski, dont l'équivalence avec la définition usuelle n'utilise pas l'axiome du choix.

Cardinal d'un ensemble fini

Définitions

Pour tout entier naturel $n$, on va noter, dans ce paragraphe et les suivants, $N_{n}=\{x\in \mathbb {N} \mid x<n\}=\{0,\ldots ,n-1\}$ l'ensemble des n premiers entiers naturels ($\mathbb {N}$ désigne l'ensemble des entiers naturels). On dit que

E est un ensemble fini de cardinal n, quand E est équipotent à N_n, c'est-à-dire en bijection avec cet ensemble.

En particulier, l'ensemble vide est l'unique ensemble fini de cardinal 0. Pour n non nul, il est équivalent de dire que E est équipotent à l'ensemble {1, … , n} des n premiers entiers naturels non nuls.

On dit aussi de n que c'est le nombre des éléments de E, ou (en statistique, en démographie, etc.) son effectif.

Cette notion est stable par équipotence : un ensemble en bijection avec un ensemble fini de cardinal n est lui-même fini de cardinal n, la composée de deux bijections étant une bijection.

On dit alors que

E est un ensemble fini quand il existe un entier naturel n tel que E soit fini de cardinal n.

Un ensemble qui n'est pas fini est dit infini. On va voir que la classe des ensembles finis est stable par les opérations usuelles de la théorie des ensembles : on ne peut introduire d'ensemble infini par ces opérations, sauf à utiliser un ensemble dont on sait déjà qu'il est infini.

Mais il est plus commode de montrer d'abord les propriétés les plus évidentes des ensembles finis et de leurs cardinaux, en particulier l'unicité du cardinal c'est-à-dire, pour un ensemble E fini, l'unicité de l'entier n tel que E est équipotent à N_n. Cette unicité, qui permet de parler du cardinal d'un ensemble fini E, est l'objet du paragraphe suivant.

La définition d'ensemble fini choisie présuppose l'existence (ou la définition ensembliste) des entiers, et l'on utilise dans la suite, en plus des propriétés fondamentales comme la récurrence, quelques propriétés arithmétiques élémentaires, à commencer par celles de la relation d'ordre usuelle.

Unicité du cardinal

Le premier objectif est de montrer l'unicité du cardinal d'un ensemble fini. Pour cela, on démontre le lemme suivant, dont l'énoncé ne présuppose pas cette unicité.

Lemme. — S'il existe une injection d'un ensemble fini de cardinal $p$ dans un ensemble fini de cardinal $n$ alors $p\leqslant n$.

À bijection près, il s'agit simplement de démontrer que s'il existe une injection de $N_{p}$ dans $N_{n}$ alors $p\leqslant n$. On peut le prouver par récurrence sur n.

Ce lemme peut être vu comme une formulation du principe des tiroirs de Dirichlet, dont l'énoncé usuel est plutôt la contraposée :

Une application d'un ensemble de cardinal p dans un ensemble de cardinal n < p ne peut pas être injective.

On en déduit immédiatement l'unicité du cardinal. En effet, si un ensemble est à la fois de cardinal n et p alors, d'après le lemme, p ≤ n et n ≤ p.

Proposition. — Si E est un ensemble fini, alors il existe un unique entier naturel n tel que E soit de cardinal n.

Cet entier est appelé le cardinal de E (ou son nombre d'éléments), et on le note dans la suite de cet article card E (la notation pour le cardinal varie suivant les ouvrages, on trouve n = card(E), n = #E, n = |E|, ou même la notation originelle de Georg Cantor n = E).

Comparaison des cardinaux

Si E est un ensemble fini de cardinal n, alors toute partie de E et toute image de E (par une application) est un ensemble fini, de cardinal inférieur ou égal à n. Ou, ce qui est équivalent :

Proposition. — Soient E un ensemble fini et F un ensemble quelconque. S'il existe une injection de F dans E ou une surjection de E dans F, alors F est fini et card F ≤ card E.

Clôture sous les opérations usuelles

Une première remarque est que, comme tout sous-ensemble d'un ensemble fini est fini, on obtient directement la clôture par toute opération qui conduit à construire un sous-ensemble d'un des ensembles d'origine, comme l'intersection, ou la différence ensembliste.

Union

La réunion de deux ensembles finis $E$ et $F$ est finie, et

${\text{card}}(E\cup F)={\text{card}}\;E+{\text{card}}\;F-{\text{card}}(E\cap F)$

On en déduit par récurrence qu'une réunion finie d'ensembles finis est finie. La formule obtenue pour le cardinal de la réunion se généralise.

Produit cartésien

Si $E$ et $F$ sont finis, de cardinaux respectifs $n$ et $p$, leur produit cartésien $E\times F$ est fini de cardinal $np$.

Ensemble des applications d'un ensemble fini dans un ensemble fini

On déduit de la propriété précédente que l'ensemble des applications d'un ensemble fini de cardinal n dans un ensemble fini de cardinal p, est un ensemble fini de cardinal pⁿ.

Ensemble des parties

L'ensemble des parties P(E) d'un ensemble fini E de cardinal n est un ensemble fini de cardinal 2ⁿ.

C'est le cas particulier p = 2 de la propriété précédente, via la bijection entre l'ensemble des parties de E et l'ensemble des applications de E dans {0, 1} qui associe à chaque partie de E sa fonction caractéristique.

Axiomatisation

Diverses caractérisations des ensembles finis

Les entiers et les bons ordres

Si l'on reprend la définition d'ensemble fini en théorie des ensembles d'un point de vue plus axiomatique, elle repose sur la définition qu'on y donne des entiers. Dans la théorie de Zermelo ou de Zermelo-Fraenkel, l'ensemble des entiers naturels, noté ω, est le plus petit ensemble auquel appartient 0 et clos par successeur, où 0 est l'ensemble vide et le successeur d'un ensemble x est l'ensemble obtenu en lui ajoutant x comme élément : le successeur de x est x ∪ {x}. On montre que l'ensemble des entiers naturels est bien ordonné par l'appartenance (comme ordre strict), et donc ses éléments, qui sont aussi des sous-ensembles, le sont aussi. L'ordre large correspondant est l'inclusion ensembliste.

Une caractérisation plus directe, et qui ne nécessite pas l'axiome de l'infini, est de définir les entiers comme les ordinaux finis :

Un ordinal est fini quand tout ordinal non nul qui lui est inférieur ou égal a un prédécesseur

ou, ce qui est équivalent, quand toute partie non vide de cet ordinal admet un plus grand élément, autrement dit :

Un ordinal est fini quand son ordre opposé est un bon ordre.

On appellera dans la suite entiers de von Neumann les ordinaux finis. En présence de l'axiome de l'infini (déjà dans la théorie de Zermelo), ce sont les éléments de ω.

Tout ensemble fini, c'est-à-dire en bijection avec un entier de von Neumann, est muni, en transférant l'ordre par la bijection, d'un bon ordre dont l'opposé est un bon ordre. Réciproquement, tout ensemble muni d'un tel ordre est fini, car tout bon ordre est isomorphe à un ordinal. Par conséquent :

Un ensemble est fini si et seulement s'il existe un bon ordre sur celui-ci dont l'ordre opposé est aussi un bon ordre.

Tous les ordres totaux sur un ensemble fini étant isomorphes, on en déduit :

Un ensemble bien ordonné est fini si et seulement si l'ordre opposé est aussi un bon ordre.

Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead

Alfred Tarski a donné en 1924 une définition des ensembles finis (reprise dans certains ouvrages plus récents) qui ne réfère pas à une définition préalable des entiers et qui s'avère équivalente à la précédente dans une théorie des ensembles sans axiome du choix :

Un ensemble E est fini au sens de Tarski quand toute famille non vide de parties de E admet un élément minimal pour l'inclusion,

ou encore (par passage aux complémentaires) quand toute famille non vide de parties de E admet un élément maximal pour l'inclusion.

Cette définition est équivalente à une caractérisation inductive des ensembles finis, donnée par Russell et Whitehead dans le volume II (1912) des Principia Mathematica :

Un ensemble E est fini (au sens de Russell et Whitehead) quand E appartient à toute famille S de parties de E qui vérifie les deux conditions :

• $\emptyset \in S$ (l'ensemble vide appartient à S) ;
• Si $A\in S$ et $x\in E$, alors $A\cup \{x\}\in S$ (si A appartient à S, toute partie obtenue en ajoutant un élément de E à A appartient également à S).

On montre l'équivalence entre les trois définitions données d'ensemble fini : en bijection avec un entier de von Neumann, fini au sens de Tarski, fini au sens de Russell-Whitehead, et ceci dans une théorie des ensembles faible (la théorie de Zermelo sans l'axiome de l'infini), en particulier sans l'axiome du choix.

Preuve de l'équivalence entre les trois définitions

Montrons d'abord, par récurrence, que tout entier de von Neumann n — donc aussi tout ensemble en bijection avec n — est fini au sens de Tarski. L'entier 0 (l'ensemble vide) est évidemment fini au sens de Tarski. Supposons maintenant que n = m ∪ {m} avec m fini au sens de Tarski, et soit S une famille de parties de n. Notons S' la sous-famille constituée des parties de m qui appartiennent à S, et S" la famille des parties E de m telles que E ∪ {m} appartient à S. Si S est non vide alors S' ou S" est non vide. Dans le premier cas, S' admet un élément minimal, qui est aussi minimal dans S. Dans le second cas, S" admet un élément minimal E, et E ∪ {m} est un élément minimal de S.

Montrons maintenant que si E est fini au sens de Tarski, alors E est fini au sens de Russell-Whitehead. Soit S une partie de E vérifiant les deux conditions de Russell-Whitehead. Comme ∅ ∈ S, S est non vide ; elle a donc un élément maximal I. D'après la seconde condition de Russell-Whitehead, I = E, c'est-à-dire que E appartient à S.

Enfin, pour tout ensemble E, l'ensemble S des parties finies de E (ses parties équipotentes à un entier de von Neumann) satisfait les deux conditions de Russell-Whitehead, donc si E est fini au sens de Russell-Whitehead alors il est équipotent à un entier de von Neumann.

La définition de Dedekind

Un ensemble E est dit fini au sens de Dedekind (en) s'il ne peut pas être mis en bijection avec l'une de ses parties propres (ou encore : toute injection de E dans lui-même est surjective). Dedekind est le premier à donner une définition des ensembles infinis, en 1888 dans Was sind und was sollen die Zahlen, et celle-ci revient à prendre le principe des tiroirs de Dirichlet comme caractérisation des ensembles finis.

Si E est fini (au sens utilisé précédemment, devenu le sens usuel), alors E est fini au sens de Dedekind, mais la réciproque n'est pas démontrable dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans axiome du choix. L'axiome du choix dénombrable suffit pour démontrer l'équivalence entre la définition usuelle d'ensemble fini et celle de Dedekind, équivalence qui est cependant plus faible que l'axiome du choix dénombrable (il existe des modèles de la théorie de Zermelo-Fraenkel qui satisfont l'équivalence entre la définition de Dedekind et la définition usuelle mais pas l'axiome du choix dénombrable).

Les propriétés de clôture du point de vue des axiomes de la théorie des ensembles

On peut réinterpréter et étendre les propriétés de clôture de la classe des ensembles finis au regard des axiomes de la théorie des ensembles. Pour obtenir des propriétés vraiment satisfaisantes, il faut considérer la classe des ensembles héréditairement finis, c'est-à-dire les ensembles qui sont non seulement finis, mais dont les éléments sont aussi des ensembles finis et ainsi de suite.

Les premiers axiomes

En dehors de l'axiome d'extensionnalité et de l'axiome de fondation, les axiomes de la théorie des ensembles ZFC peuvent s'interpréter comme des propriétés d'existence d'ensembles, ou de clôture sous certaines constructions.

Les ensembles finis satisfont le schéma d'axiomes de compréhension, puisque tout sous-ensemble d'un ensemble fini est fini (en particulier l'ensemble vide), l'axiome de la paire, puisqu'une paire de deux ensembles quelconques est finie, l'axiome de l'ensemble des parties, comme vu ci-dessus, mais pas l'axiome de la réunion, puisqu'il n'y a pas de raison que les éléments d'un ensemble fini soient des ensembles finis. Si cette condition est satisfaite on a vu que l'axiome est réalisé.

Le schéma de remplacement

L'image d'un ensemble fini par une classe fonctionnelle est un ensemble fini : c'est la version pour les ensembles finis du schéma d'axiomes de remplacement. Celui-ci a pour conséquence que la classe fonctionnelle en question est une fonction, et nous avons vu que l'image d'un ensemble fini par un ensemble fini est fini. cependant, dans le cas des ensembles finis, le schéma de remplacement n'ajoute rien. On peut démontrer directement, en utilisant l'axiome de la paire et de la réunion, que la classe fonctionnelle est finie, et donc le schéma de remplacement est superflu (il faut également le schéma de compréhension).

L'axiome du choix

Étant donné un ensemble fini E = {A₁… , A_n} d'ensembles non vides, une fonction de choix f sur E associe à A_i un élément a_i est une fonction de graphe fini. L'existence d'une fonction de choix pour un ensemble fini se démontre sans utiliser l'axiome du choix. La fonction se définit par récurrence, en utilisant à chaque étape que l'élément de E en jeu est un ensemble non vide. Il est juste besoin de supposer que l'ensemble sur lequel est défini la fonction de choix est fini.

En revanche, on ne peut se passer de l'axiome du choix pour obtenir une fonction de choix sur un ensemble infini même s'il est constitué seulement d'ensembles finis.

Les ensembles héréditairement finis

Les ensembles héréditairement finis sont des ensembles non seulement finis, mais dont les éléments sont eux-mêmes finis, et ainsi de suite. Plus formellement, dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, la classe des ensembles hériditairement finis est la plus petite classe contenant l'ensemble vide et close par passage à l'ensemble des parties. On montre que c'est un ensemble en utilisant l'axiome de l'infini et le schéma de remplacement. On la note V_ω, c'est le niveau ω de la hiérarchie de von Neumann, plus précisément :

• V₀ = Ø
• V_n+1 = P(V_n)
• V_ω = ∪_{n ∈ N} V_n .

L'entier de von Neumann n appartient à V_n+1, les entiers de von Neumann sont donc héréditairement finis. L'ensemble V_ω des héréditairement finis est lui-même dénombrable, au sens de la théorie, c'est-à-dire que l'on montre l'existence d'une bijection entre V_ω et ω.

On montre que, dans un modèle de ZF, V_ω muni de l'appartenance du modèle restreinte à V_ω est un modèle de tous les axiomes de ZF excepté l'axiome de l'infini. Celui-ci n'est donc pas démontrable à partir des autres axiomes de ZF.

Bibliographie

• Paul Halmos, Introduction à la théorie des ensembles [détail des éditions].
• Alfred Tarski, « Sur les ensembles finis », Fund. Math., vol. 6,‎ 1924, p. 45-95 (lire en ligne).
• René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles [détail des éditions] chap. 7.