actualización ejercicoos estimación parte 2

ejercicios/tema2_estimacion_continuación_ejercicios.Rmd

@@ -283,21 +283,38 @@ derivando respecto de $\lambda$
 
 $$
 \frac{\partial}{\partial \lambda }\ln\left(L(\lambda| x_1,x_2\ldots , x_n)\right)=
-\frac{\partial}{\partial \lambda } \left(\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\cdot \ln(\lambda)-\ln\left(x_1!\cdot x_2!\cdot\ldots\cdot x_n!\right)-n\cdot \lambda\right)=\frac{\left(\sum_{i=1}^n x_i}{\lambda}-n.
+\frac{\partial}{\partial \lambda } \left(\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\cdot \ln(\lambda)-\ln\left(x_1!\cdot x_2!\cdot\ldots\cdot x_n!\right)-n\cdot \lambda\right)=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\lambda}-n.
 $$
 
 
-el máximo se alacanza para el $\lambda que cumpla la ecuación
+el máximo se alacanza para el $\lambda$ que cumpla la ecuación
 
-$\frac{\left(\sum_{i=1}^n x_i}{\lambda}-n=0$ de donde $\lambda =\frac{\sum_{i=1}^n x_i}}{n}=\overline{x}$.
+$\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\lambda}-n=0$ de donde $\lambda =\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}=\overline{x}$.
 
 
-Luego el estimador máximo verosimil de $\lambda es $\overline{X}$.
+Luego el estimador máximo verosimil de $\lambda$ es $\overline{X}$.
 
 
 7.  Si $X$ es $U\left(b-\frac12,b+\frac12\right)$ su densidad es $f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}
 \frac{1}{6} & \mbox{ si } b-\frac12<x<b+\frac12\\
 0  & \mbox{ en otro caso }
-\end{array}\righgt.$
+\end{array}\right.$
 su función de verosimilitud es constante NO TIENE EMV.
 
+8. Las v.a. de la muestra son $X_i$y  tienen distribución $Exp(\lambda)$. Sus densidades son 
+$f_{X_i}(x_i)=\lambda \cdot \mathrm{e}^{-\lambda x_i}$ si $x_i>0$ y cero en el resto de casos.
+
+La función de verosimilitu de la muestra para una realización  de la muestra $x_i,x_2,\ldots,x_n$ es 
+
+$$
+\begin{array}{lll}
+L(\lambda|x_1,x_2,\ldots,x_n)&=&f_{X_1,X_2,\ldots,X_n}(x_1,x_2,\ldots x_n)=f_{X_1}(x_1)\cdot f_{X_1}(x_1)\cdot \ldots\cdot f_{X_n}(x_n)\\
+&=& 
+\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x_1}\cdot \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x_2}\cdot \ldots\cdot \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x_n}\\
+&=& \lambda^n\cdot \mathrm{e}^{-\lambda\cdot (x_1+x_2+\cdots +x_n)}=\lambda^n\cdot \mathrm{e}^{-\lambda\sum_{i=1}^n x_i}
+\end{array}
+$$
+Ahora $\ln\left(L(\lambda|x_1,x_2,\ldots,x_n)\right)=n\cdot \ln(\lambda)-\lambda\sum_{i=1}^n x_i$ derivando e igualando a cero obtenemos 
+$\frac{n}{\lambda}-\sum_{i=1}^n x_i=$ de donde $\lambda=\frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}=\frac{1}{\overline{x}}$.
+
+Luego el estimador MV de $\lambda$ es $\hat{lambda}=\frac{1}{\overline{X}}$.

ejercicios/tema2_estimacion_continuación_ejercicios.log

@@ -1,4 +1,4 @@
-This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.20 (TeX Live 2019/Debian) (preloaded format=pdflatex 2019.12.27)  3 JAN 2020 00:12
+This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.20 (TeX Live 2019/Debian) (preloaded format=pdflatex 2019.12.27)  3 JAN 2020 00:32
 entering extended mode
  restricted \write18 enabled.
  %&-line parsing enabled.
@@ -677,18 +677,42 @@ File: t1lmtt.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
 LaTeX Font Info:    Font shape `T1/lmtt/bx/n' in size <10> not available
 (Font)              Font shape `T1/lmtt/b/n' tried instead on input line 397.
 [3] [4]
-! Missing \right. inserted.
-<inserted text> 
-                \right .
-l.560 ...t)=\frac{\left(\sum_{i=1}^n x_i}{\lambda}
-                                                  -n. 
+Package atveryend Info: Empty hook `BeforeClearDocument' on input line 603.
+[5] [6]
+Package atveryend Info: Empty hook `AfterLastShipout' on input line 603.
+(./tema2_estimacion_continuación_ejercicios.aux)
+Package atveryend Info: Executing hook `AtVeryEndDocument' on input line 603.
+Package atveryend Info: Executing hook `AtEndAfterFileList' on input line 603.
+Package rerunfilecheck Info: File `tema2_estimacion_continuación_ejercicios.ou
+t' has not changed.
+(rerunfilecheck)             Checksum: C3221289945507245B460D209937D854;278.
+ ) 
 Here is how much of TeX's memory you used:
- 12849 strings out of 492609
- 187161 string characters out of 6131461
+ 12859 strings out of 492609
+ 187319 string characters out of 6131461
  304376 words of memory out of 5000000
  16488 multiletter control sequences out of 15000+600000
- 47340 words of font info for 89 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 47506 words of font info for 91 fonts, out of 8000000 for 9000
  1141 hyphenation exceptions out of 8191
  35i,11n,38p,849b,409s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
+{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-ec.enc}{/usr/share/texmf/fonts/enc/dv
+ips/lm/lm-rm.enc}{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-mathit.enc}{/usr/share
+/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-mathsy.enc}{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm
+-mathex.enc}</usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmbx12.pfb></usr/share/texm
+f/fonts/type1/public/lm/lmex10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmmi
+10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmmi5.pfb></usr/share/texmf/font
+s/type1/public/lm/lmmi7.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr10.pfb><
+/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr12.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/
+public/lm/lmr17.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr5.pfb></usr/shar
+e/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr7.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/
+lmsy10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmsy7.pfb></usr/share/texmf/
+fonts/type1/public/lm/lmtk10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmtt10
+.pfb>
+Output written on tema2_estimacion_continuación_ejercicios.pdf (6 pages, 25542
+3 bytes).
+PDF statistics:
+ 147 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
+ 123 compressed objects within 2 object streams
+ 41 named destinations out of 1000 (max. 500000)
+ 10257 words of extra memory for PDF output out of 12000 (max. 10000000)
 
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