Pentagramma mirificum

קונפיגורציות לדוגמה של הפנטגרם המופלא

Pentagramma mirificum (בעברית: הפנטגרם המופלא) הוא מצולע כוכבי על פני ספירה, המורכב מחמש קשתות מעגלים גדולים, כך שכל קשת חותכת את הקשת הסמוכה לה בזווית ישרה. צורה זו תוארה על ידי ג'ון נפייר בספרו מ-1614 Mirifici logarithmorum canonis descriptio (תיאור החוקיות המופלאה של הלוגריתמים) יחד עם הכללים ("כללי נפייר") שקושרים יחד את הערכים של הפונקציות הטריגונומטריות של חמשת החלקים של משולש כדורי ישר-זווית. תכונותיו של הפנטגרם המופלא נחקרו, בין היתר, על ידי קרל פרידריך גאוס.

תכונות גאומטריות

על ספירת היחידה, הן הזוויות והן הצלעות של משולש (שצלעותיו הן קשתות של מעגלים גדולים) נמדדות כזוויות. בפטנגרם המופלא, הזוויות $A$, $B$, $C$, $D$, ו-$E$ הן זוויות ישרות. כמו כן, הקשתות $PC$, $PE$, $QD$, $QA$, $RE$, $RB$, $SA$, $SC$, $TB$, ו-$TD$ כולן שוות באורכן ל-$\pi /2$. ב"ליבה" של הפנטגרם - המחומש הפנימי $PQRST$ - כל קודקוד הוא הקוטב של הצלע הנגדי. לדוגמה, הנקודה $P$ היא הקוטב של "קו המשווה" $RS$, בעוד הנקודה $Q$ היא הקוטב של $ST$, וכו'. המחומש $PQRST$ נקרא על כן "מחומש קוטבי לעצמו" (self-polar pentagon).

הצורה כולה ניתנת לבנייה על בסיס משולש כדורי ישר-זווית יחיד (למשל, המשולש ABC שבאיור השני) באמצעות הארכת כל אחת מצלעות המשולש באורך $\pi /2$ ולאחר מכן שרטוט המעגלים הגדולים אשר הקטבים המתאימים להם הם הקודקודים B ו-A. אם ניעזר בגרש כדי לסמן את הזווית המשלימה ל-90 מעלות של זווית כלשהי, אז נקבל שחמש הצלעות של המחומש הפנימי של הפנטגרם הן: $(A,B,b',c,a')$, כאשר אות גדולה מסמלת את ערך הזווית של הקודקוד ואות קטנה מסמלת את אורך הצלע שמול אותו קודקוד. נפייר העלה על הכתב רשימה של ${5 \choose 3}=10$ נוסחאות הקושרות בין כל שלושה גדלים (אורך צלע או ערך זווית) המקושרים למשולש ישר הזווית המקורי, מה שקשר למעשה בין אורכיהן של כל שלוש צלעות של המחומש הפנימי:

${\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}$

נוסחאות גאוס

קשרים בין הזוויות והצלעות של הפנטגרם המופלא.

גאוס הציג את המינוח: $$(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon )=(\tan ^{2}TP,\tan ^{2}PQ,\tan ^{2}QR,\tan ^{2}RS,\tan ^{2}ST).$$

באמצעות המינוח החדש הזה הוא פירש מחדש את כללי נפייר, והראה שהזהויות הבאות, המאפשרות לקבוע כל שלושה מהערכים האלו בהינתן השניים הנותרים, מתקיימות: $${\begin{alignedat}{2}1&+\alpha &=&\gamma \delta \\1&+\beta &=&\delta \epsilon \\1&+\gamma &=&\epsilon \alpha \\1&+\delta &=&\alpha \beta \\1&+\epsilon &=&\beta \gamma .\end{alignedat}}$$

גאוס הוכיח את "המשוואה היפה" (schöne Gleichung) הבאה: $$3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon =\alpha \beta \gamma \delta \epsilon ={\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\epsilon )}}.$$

ונתן דוגמה למספרים שמקיימים זאת: $(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon )=(9,2/3,2,5,1/3)$ - אשר מכפלתם $\alpha \beta \gamma \delta \epsilon$ שווה ל-$20$.

גאוס הוכיח גם את הקשר: $$(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\alpha }})(1+i{\sqrt {\beta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\gamma }})(1+i{\sqrt {\delta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\epsilon }})=\alpha \beta \gamma \delta \epsilon e^{iS},$$

כאשר $S=2\pi -(|{\overset {\frown }{PQ}}|+|{\overset {\frown }{QR}}|+|{\overset {\frown }{RS}}|+|{\overset {\frown }{ST}}|+|{\overset {\frown }{TP}}|)$.

הטלה גנומונית

התמונה של המחומש הכדורי $PQRST$ תחת פעולת ההטלה הגנומונית (הטלה ממרכז הספירה) אל כל מישור שמשיק לספירה יוצרת מחומש (שכן ההטלה הגנומונית מעתיקה מעגלים גדולים לקווים ישרים). חמשת הקודקודים שלו $P'Q'R'S'T'$ מגדירים חתך חרוט יחיד שעובר דרכם; במקרה זה - אליפסה. גאוס הוכיח שכל חמשת הגבהים של המחומש $P'Q'R'S'T'$ (ישרים שעוברים דרך הקודקודים וניצבים לצלעות המחומש הנגדיות להן) נחתכים בנקודה אחת $O'$, שהיא התמונה של נקודת ההשקה של המישור לספירה.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא Pentagramma mirificum בוויקישיתוף