Intero algebrico

In algebra, un intero algebrico è un numero complesso che è radice di un polinomio monico e a coefficienti interi, cioè un polinomio del tipo: $x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$ dove i coefficienti $a_{i}$ sono tutti numeri interi.

Come i numeri interi sono un sottoanello del campo formato dai numeri razionali, gli interi algebrici formano un sottoanello del campo dei numeri algebrici. La chiusura algebrica dei numeri razionali è formata dai numeri algebrici, i quali formano uno spazio vettoriale di dimensione infinita sui razionali. L'insieme dei numeri algebrici ${\mathcal {A}}$ e l'insieme dei numeri trascendenti ${\mathcal {T}}$ formano il campo complesso, cioè

$\mathbb {C} ={\mathcal {A}}\cup {\mathcal {T}}.$

Quindi un intero algebrico è un tipo particolare di numero algebrico. L'insieme degli interi algebrici è della forma

${\mathcal {I}}=\left\{\alpha \in \mathbb {C} |\quad \exists f(x)\in \mathbb {Z} [x],\quad f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0},\quad f(\alpha )=0,\quad a_{i}\in \mathbb {Z} ,\,\,n\in \mathbb {N} \right\}\subseteq {\mathcal {A}},$

dove $\mathbb {Z} [x]$ indica l'anello dei polinomi formato dall'insieme di polinomi in una o più indeterminate con coefficienti in $\mathbb {Z} .$

L'insieme ${\mathcal {I}}$ è un sottoanello del campo complesso.

Esempi

• I numeri interi sono interi algebrici, perché radici del polinomio $f(x)=x-n$.
• I numeri razionali non interi non sono interi algebrici: non sono infatti radici di un polinomio monico a coefficienti interi.
• Se $q$ è una radice dell'unità, gli interi algebrici contenuti nel campo ciclotomico $\mathbb {Q} (q)$ sono precisamente gli elementi in $\mathbb {Z} [q]$, ovvero tutti i numeri che possono essere scritti come combinazione lineare di potenze di $q$ a coefficienti interi:

$a_{k}q^{k}+\ldots +a_{1}q+a_{0}$

Voci correlate

• Numero algebrico
• Intero gaussiano
• Radice dell'unità

Collegamenti esterni

• (EN) algebraic integer, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Intero algebrico, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Intero algebrico, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.