Piano (geometria)

Il piano è un concetto primitivo della geometria, ossia un concetto per il quale non esiste una definizione formale, sono intuitivamente comprensibili e esperienzialmente acquisiti. Viene accettata un'idea universalmente e unica di essi mediante il paragone con oggetti concreti usati come esempio, che non risolvono pienamente il concetto per la loro sussistenza materiale. Lo stesso accade al punto e alla retta.

Il piano si può pensare idealmente come un foglio di carta di dimensioni infinite: il piano è l'idea, il concetto astratto. A differenza del foglio di carta, però, il piano non ha spessore ed ha dimensioni infinite, quindi materialmente irrealizzabile.

In definitiva, esso:

Inteso come luogo geometrico di punti, ha un'estensione superficiale: il piano, nello spazio tridimensionale, è l'insieme di tutti quei punti individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori linearmente indipendenti applicati nel medesimo punto $P$ .
Dal punto di vista della geometria differenziale il piano è quella superficie che ha entrambe le curvature fondamentali nulle.

Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.

Piani nello spazio tridimensionale

L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale $\mathbb {R} ^{3}$ è del tipo:

ax+by+cz+d=0,

con $a,b,c,d\in \mathbb {R} ,$ e $a,b,c$ non tutti nulli.

Equazione cartesiana

Piano passante per tre punti

Siano $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ tre punti dello spazio non allineati. Per questi tre punti passa uno e un solo piano $\pi$ . Un punto $P=(x,y,z)$ appartiene al piano $\pi$ solo se il vettore $P-P_{1}$ è combinazione lineare dei vettori $P_{2}-P_{1}$ e $P_{3}-P_{1}$ , ossia se

{\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}=0.

Sviluppando il determinante con la regola di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene:

a(x-x_{1})+b(y-y_{1})+c(z-z_{1})=0,

dove

a={\begin{vmatrix}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;b=-{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;c={\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}\end{vmatrix}}.

Infine, per ottenere l'equazione canonica del piano, si definisce $\;d\;$ come segue:

d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),

dove $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ è un punto che appartiene al piano, pertanto in questo caso si possono utilizzare le coordinate di un punto qualsiasi fra $P_{1}$ , $P_{2}$ e $P_{3}$ .

Condizione per indicare un piano

Per indicare un piano sono sufficienti:

Tre punti non allineati appartenenti ad esso (vedi corollari della geometria euclidea).
Due vettori linearmente indipendenti (cioè non paralleli) applicati nel medesimo punto $P$ .
Due rette distinte appartenenti al piano.
Un vettore normale al piano ed il punto in cui è applicato (cioè un qualsiasi punto del piano). Si noti che non ha importanza il verso e l'intensità del vettore.
Una retta e un punto appartenente al piano ma non appartenente alla retta.

Posizioni reciproche di due piani

Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 2, il sistema è compatibile e ammette una semplice infinità ( $\infty ^{1}$ ) soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani. Quando sia la matrice dei coefficienti che la matrice completa hanno rango 1, le soluzioni sono una doppia infinità ( $\infty ^{2}$ ) e i piani sono paralleli e coincidenti (parallelismo improprio). Se infine la matrice dei coefficienti ha rango 1 e la matrice completa ha rango 2, il sistema è incompatibile e i piani sono paralleli e distinti (parallelismo proprio).

Altrimenti, si possono studiare i vettori normali ai due piani. I due piano sono parallele se e solo se essi sono linearmente dipendenti (cioè paralleli), quindi il loro prodotto vettoriale è nullo. Se e solo se i due vettori sono perpendicolari, cioè il loro prodotto scalare è nullo, i due piani sono perpendicolari.