관계 (수학)

집합론에서 관계(關係, 영어: relation)는 곱집합의 부분 집합이다. 원소의 튜플이 이 부분 집합에 속하는지 여부를 통해 원소들 사이의 관계를 나타낸다.

정의

집합족 $\{X_{i}\}_{i\in I}$ 위의 관계는 곱집합의 부분 집합

\textstyle R\subseteq \prod _{i\in I}X_{i}

이다. 특히, 순서수 $\alpha$ 에 대하여, 집합 $X$ 위의 $\alpha$ 항 관계(영어: $\alpha$ -ary relation)는 거듭제곱 집합의 부분 집합

R\subseteq X^{\times \alpha }

이다. 특히 항수에 따라 다음과 같은 특수한 경우들을 생각할 수 있다.

$X$ 위의 영항 관계(零項關係, 영어: nullary relation) $R\subseteq \{\bullet \}$ . 즉, $R=\varnothing$ 또는 $R=\{\bullet \}$ .
$X$ 위의 단항 관계(單項關係, 영어: unary relation) $R\subseteq X$
$X$ 위의 이항 관계(二項關係, 영어: binary relation) $R\subseteq X\times X$ . 이 경우, $(x,y)\in R$ 를 $xRy$ 와 같이 표기하기도 한다.
$X$ 위의 삼항 관계(三項關係, 영어: ternary relation) $R\subseteq X\times X\times X$ .
$X$ 위의 $n$ 항 관계(-項關係, 영어: n-ary relation) $R\subseteq X^{\times n}$ . 이 경우, $(x_{1},\dots ,x_{n})\in R$ 를 $R(x_{1},\dots ,x_{n})$ 와 같이 표기하기도 한다.

공선점 관계는 공간 속의 점들에 대한 삼항 관계이다.
여러 가지 이항 관계: 여기서는 집합 $X$ 상의 이항 관계 $R$ 에 관해서 생각하자. $\forall x\in X(xRx)$ 를 반사성(reflexivity)라 한다. $\forall x,y\in X(xRy\rightarrow yRx)$ 를 대칭성(symmetricity)라 한다. $\forall x,y\in X(xRy\wedge yRx\rightarrow x=y)$ 를 반대칭성(antisymmetricity), $\forall x,y\in X(xRy\rightarrow \neg yRx)$ 를 비대칭성(asymmetricity)이라 한다. $\forall x,y,z\in X(xRy\wedge yRz\rightarrow xRz)$ 를 추이성이라 한다.
반사적, 대칭적, 추이적인 관계를 동치 관계라 한다.
반사적, 반대칭적, 추이적인 관계를 순서 관계라 하고 비대칭적, 추이적인 관계를 강 순서 관계라 한다. 그러면 관계 $<$ 와 관계 $\leq$ 에 대하여 $x\leq y\iff x<y\vee x=y$ 가 성립할 때, $<$ 가 강 순서 관계일 조건과 $\leq$ 가 순서 관계일 조건은 서로 필요충분조건이다. 문맥에 따라 강 순서 관계를 그저 순서 관계로 할 수도 있으므로 주의가 필요하다.

“Relation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Binary relation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Relation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Binary relation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Relation”. 《nLab》 (영어).
“Rel”. 《nLab》 (영어).
“Relation”. 《PlanetMath》 (영어).
“Definition:Relation”. 《ProofWiki》 (영어).
“Category:Definitions/Relation theory”. 《ProofWiki》 (영어).
“Category:Relation theory”. 《ProofWiki》 (영어).