평균은 같지만 분산은 다른 두 확률 분포. 빨간색 분포는 100의 평균값과 100의 분산값을 가지고, 파란색 분포는 100의 확률값과 2500의 분산값을 가진다. SD는 표준편차를 의미한다. 확률론 과 통계학 에서 어떤 확률변수 의 분산 (分散, 영어 : variance ,
Var
{\displaystyle \operatorname {Var} }
기댓값 으로부터 얼마나 떨어진 곳에 분포하는지를 가늠하는 숫자이다.[ 1] 표본 평균 이나 분산의 제곱근 인 표준편차 와 보다 밀접한 관련이 있다.
분산 (variance)은 관측값에서 평균 을 뺀 값을 제곱 하고, 그것을 모두 더한 후 전체 개수로 나눠서 구한다. 즉, 차이값의 제곱의 평균이다. 관측값에서 평균을 뺀 값인 편차를 모두 더하면 0이 나오므로 제곱해서 더한다.
모분산 (population variance) σ2 은 모집단 의 분산이다. 관측값에서 모 평균 을 빼고 그것을 제곱한 값을 모두 더하여 전체 데이터 수 n으로 나눈 것이다.
표본분산 (sample variance) s2 은 표본 의 분산이다. 관측값에서 표본 평균 을 빼고 제곱한 값을 모두 더한 것을 n-1로 나눈 것이다.
확률변수
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
μ
=
E
[
X
]
{\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}
Var
(
X
)
=
E
[
(
X
−
μ
)
2
]
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}
이를 기댓값에 대해 확장해보면 다음과 같이 정리할 수 있다.
Var
(
X
)
=
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
2
]
=
E
[
X
2
−
2
X
E
[
X
]
+
E
[
X
]
2
]
=
E
[
X
2
]
−
2
E
[
X
]
E
[
X
]
+
E
[
X
]
2
=
E
[
X
2
]
−
E
[
X
]
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}}
따라서 확률변수
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
부동소수점 연산에서는 이러한 방식을 사용하면 정확한 값을 얻지 못할 수도 있다.
이 정의는 이산확률변수 , 연속확률변수 , 칸토어 분포 등 모든 꼴의 확률분포에 적용된다. 분산은 공분산 을 사용해 다음과 같이 나타내기도 한다.
Var
(
X
)
=
Cov
(
X
,
X
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X)}
분산은 보통
var
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {var} (X)}
σ
X
2
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}}
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}\,}
σ
{\displaystyle \sigma \,}
표준편차 를 가리킨다.[ 1]
만일 확률 변수
X
{\displaystyle X}
x
1
↦
p
1
,
x
2
↦
p
2
,
…
,
x
n
↦
p
n
{\displaystyle x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{n}\mapsto p_{n}}
확률 질량 함수 를 따르는 이산확률분포 라면, 분산은 다음과 같이 정의할 수 있다.
Var
(
X
)
=
∑
i
=
1
n
p
i
⋅
(
x
i
−
μ
)
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2}}
이와 다음의 식은 동치이다.
Var
(
X
)
=
(
∑
i
=
1
n
p
i
x
i
2
)
−
μ
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}^{2}\right)-\mu ^{2}}
이 때
μ
=
∑
i
=
1
n
p
i
x
i
{\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}
가중 산술 평균 에 사용되는 가중치 p 의 합이 1이 아니라고 한다면, 각 가중치를 총 가중치 합으로 나누어 확률과 같은 성격을 가지게 조정해야 한다.
n
{\displaystyle n}
Var
(
X
)
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
)
2
=
(
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
2
)
−
μ
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-\mu ^{2}}
여기서
μ
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
{\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}
[ 2]
Var
(
X
)
=
1
n
2
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
1
2
(
x
i
−
x
j
)
2
=
1
n
2
∑
i
∑
j
>
i
(
x
i
−
x
j
)
2
.
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i}\sum _{j>i}(x_{i}-x_{j})^{2}.}
만일 확률 변수
X
{\displaystyle X}
확률 밀도 함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
누적 분포 함수
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
연속확률분포 라면, 분산은 다음과 같이 구할 수 있다.
Var
(
X
)
=
σ
2
=
∫
R
(
x
−
μ
)
2
f
(
x
)
d
x
=
∫
R
x
2
f
(
x
)
d
x
−
2
μ
∫
R
x
f
(
x
)
d
x
+
μ
2
∫
R
f
(
x
)
d
x
=
∫
R
x
2
d
F
(
x
)
−
2
μ
∫
R
x
d
F
(
x
)
+
μ
2
∫
R
d
F
(
x
)
=
∫
R
x
2
d
F
(
x
)
−
2
μ
⋅
μ
+
μ
2
⋅
1
=
∫
R
x
2
d
F
(
x
)
−
μ
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \int _{\mathbb {R} }x\,dF(x)+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }\,dF(x)\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-\mu ^{2}\end{aligned}}}
이는 확률 밀도 함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Var
(
X
)
=
∫
R
x
2
f
(
x
)
d
x
−
μ
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2}}
여기서
μ
=
∫
R
x
f
(
x
)
d
x
=
∫
R
x
d
F
(
x
)
{\displaystyle \mu =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} }x\,dF(x)}
X
{\displaystyle X}
여기서
d
x
{\displaystyle dx}
르베그 적분 을,
d
F
(
x
)
{\displaystyle dF(x)}
르베그-스틸티어스 적분 을 의미한다.
만일
x
2
f
(
x
)
{\displaystyle x^{2}f(x)}
[
a
,
b
]
⊂
R
{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }
리만 적분 가능한 함수라면 분산은 이상 적분 을 통해 다음과 같이 서술할 수 있다.
Var
(
X
)
=
∫
−
∞
+
∞
x
2
f
(
x
)
d
x
−
μ
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2}}
어떤 실수의 제곱은 0 이상이므로 분산은 항상 0 이상의 값을 가진다.
Var
(
X
)
≥
0
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq 0}
상수 하나로 이루어진 변수는 평균이 모든 항목의 값과 동일하므로 0의 분산을 가진다.
Var
(
a
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Var} (a)=0}
이 역도 성립하여, 만일 어떤 확률변수
X
{\displaystyle X}
Var
(
X
)
=
0
⟺
∃
a
:
P
(
X
=
a
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=0\iff \exists a:P(X=a)=1}
전체 집단의 값이 b 만큼 이동해 X + b 가 되어도 전체 집단의 분산은 변하지 않는다. 그러나 전체 집단에 같은 값 a 를 곱하면 분산은 a 2 배가 된다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
Var
(
a
X
+
b
)
=
a
2
Var
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (aX+b)=a^{2}\operatorname {Var} (X)}
두 확률변수를 더하여 만든 새로운 확률 변수의 분산은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Var
(
a
X
+
b
Y
)
=
a
2
Var
(
X
)
+
b
2
Var
(
Y
)
+
2
a
b
Cov
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)}
이 때
Cov
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)}
X 와 Y 의 공분산 을 나타낸다. 이를 N 개의 확률변수
{
X
1
,
…
,
X
N
}
{\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{N}\}}
Var
(
∑
i
=
1
N
a
i
X
i
)
=
∑
i
,
j
=
1
N
a
i
a
j
Cov
(
X
i
,
X
j
)
=
∑
i
=
1
N
a
i
2
Var
(
X
i
)
+
∑
i
≠
j
a
i
a
j
Cov
(
X
i
,
X
j
)
=
∑
i
=
1
N
a
i
2
Var
(
X
i
)
+
2
∑
1
≤
i
<
j
≤
N
a
i
a
j
Cov
(
X
i
,
X
j
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right)&=\sum _{i,j=1}^{N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\not =j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}}
만일 확률 변수
X
1
,
…
,
X
N
{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{N}}
비상관 관계라면 다음의 성질을 만족한다.
Cov
(
X
i
,
X
j
)
=
0
,
∀
(
i
≠
j
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j)}
이는 곧 다음을 의미한다.
Var
(
∑
i
=
1
N
X
i
)
=
∑
i
=
1
N
Var
(
X
i
)
{\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i})}
상호 독립적인 확률변수들은 항상 비상관관계에 놓여있기 때문에 위의 식은 확률 변수
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
분산의 단위는 확률변수를 나타내는 데 사용된 단위의 제곱이 되어야 한다. 예를 들면 센티미터로 잰 높이 집단의 분산은 제곱센티미터가 될 것이다. 이것은 여러 가지 불편을 유발하므로 많은 통계학자들은 집단과 같은 단위를 사용하는 표준편차 를 주로 쓴다.
모집단의 분산은
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
s
2
{\displaystyle s^{2}}
s
2
{\displaystyle s^{2}}
모집단 분산의 추정치인 표본 분산
s
2
{\displaystyle s^{2}}
s
2
=
Σ
(
y
−
y
¯
)
2
n
−
1
=
S
S
d
f
{\displaystyle s^{2}={\frac {\Sigma (y-{\overline {y}})^{2}}{n-1}}={\frac {SS}{df}}}
s
2
{\displaystyle s^{2}}
y
{\displaystyle y}
y
¯
{\displaystyle {\overline {y}}}
n
{\displaystyle n}
S
S
{\displaystyle SS}
제곱합
d
f
{\displaystyle df}
자유도 분모를 n-1로 나누는 이유는 분산을 계산할 때 모평균이 아닌 표본 평균을 사용했기 때문에 모집단의 편의 추정량 (biased estimator)이 되므로, 분산이 불편 추정량 (unbiased estimator)이 되도록 하기 위해서이다.[ 1]
σ
2
=
∑
(
Y
i
−
μ
¯
)
2
N
{\displaystyle \sigma ^{2}={{\sum (Y_{i}-{\overline {\mu }})^{2}} \over {N}}}
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
Y
{\displaystyle Y}
μ
¯
{\displaystyle {\overline {\mu }}}
N
{\displaystyle N}
모집단의 모분산
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
표준 편차
σ
{\displaystyle \sigma }
σ
2
=
σ
{\displaystyle {\sqrt {\sigma ^{2}}}=\sigma }
표본집단의 표본분산
s
2
{\displaystyle s^{2}}
표준 편차
s
{\displaystyle s}
s
2
=
s
{\displaystyle {\sqrt {s^{2}}}=s}
컴퓨터 프로그램의 대표적인 경우에서 스프레드시트 는 var() 함수로 결과값을 기본적으로는 간단히 처리할 수 있다.
↑ 가 나 다 이재기; 최석근; 박경식; 정성혁 (2013). 《측량학1》 2판. 형설출판사. 76쪽. ↑ Yuli Zhang, Huaiyu Wu, Lei Cheng (June 2012). 《Some new deformation formulas about variance and covariance》. Proceedings of 4th International Conference on Modelling, Identification and Control(ICMIC2012). 987–992쪽.
빛의 분산에 대해서는 분산 (광학) 문서를 참고하십시오.
![{\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1b41598b8e8f45f57c1550ebb8d5c7ab8e1210)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e01a0d2205e0db3118b14c3f6f06cfc5addc52)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad35c4161b9cf52868e879d457d8d796094ff02)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \int _{\mathbb {R} }x\,dF(x)+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }\,dF(x)\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-\mu ^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7c800aef9ae6fc19576aab1472121b131a3775)
![{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659536067aaaac2db1c44613a09a715f0cf7246)
통계적 추정 문서를 참고하십시오.
