Тензор

Тензор е вектор на одреден векторски простор и како математичка структура претставува обопштување на векторот. Тензорските величини се физички величини чија вредност зависи и од координатата. Математички се претставуваат со матрица.

Тензорот е физичка величина која е поврзана со еластичните, деформабилни особини на супстанците. Со тензорки величини се опишуваат векторските величини во анизотропна средина, како што е средината кај некубичните кристали. Тензорски величини се моментот на инерција, топлотната спроводливост, електричната спроводливост, дифузниот коефициент, показателот на прекршување и други.

Тензорското сметање е област на математиката која ги проучува тензорите и операциите со нив. Тензорското сметање ги опфаќа тензорската алгебра и тензорската анализа. Се применува во геометријата, теориската физика, механиката и применетата механика. Заради својата едноставна симболика влегло како апарат во низа современи технички дисциплини.

Историски преглед

Зборот тензор го вовел Вилијам Роуан Хамилтон во 1846 година и со него ги опишал операциите норма во Клифордовата алгебра.

Дефиниција

Формална дефиниција:

Тензор $(m,n)$ во векторскиот простор $V$ над полето $F$ е линеарно пресликување $V\otimes ...\otimes V\otimes V^{*}\otimes ...\otimes V^{*}\longmapsto F$ кое за домен го зема производот на векторскиот простор $V$ $m$ пати и $n$ пати производот на неговиот дуален векторски простор $V^{*}$. Просторот на сите тензори со степен $(m,n)$ е $T_{n}^{m}(V)$.

Дефиниција на тензор при трансформација на полилинеарен функционал од еден во друг базис.

Тензор $(p,q)$ е полилинеарен функционал $\sum _{k,m,...}\sum _{t,u,...}\tau _{i}^{k}\tau _{j}^{m}\dots \sigma _{t}^{r}\sigma _{u}^{s}\dots a_{km...}^{tu...}$ зададен со систем од $n^{p+q}$ броеви, каде $\tau _{j}^{i}$ и $\sigma _{j}^{i}$ се елементи на матрицата на премин $\mathbb {S}$ и $\mathbb {T}$ од биортогонални базиси во нови базиси под услов да важи $\mathbb {S} ={\mathbb {T} }^{-1}$.

Примери

• Тензор со само една компонента е скалар и претставува тензор со ранг 0. Скаларот е ист во сите базиси.

Надворешни врски

• An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering Архивирано на 26 јуни 2010 г., released by NASA
• A discussion of the various approaches to teaching tensors, and recommendations of textbooks Архивирано на 4 ноември 2005 г.
• A thread discussing basic and in depth definitions as well as various examples
• Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics
• A Quick Introduction to Tensor Analysis by R. A. Sharipov.