Dowód niekonstruktywny

Dowód niekonstruktywny – metoda dowodzenia w matematyce istnienia pewnych obiektów (zbiorów, liczb, figur, funkcji) bez jawnego wskazania tych obiektów lub podania sposobu ich konstruowania.

Zwykle są to dowody nie wprost, w których wykazuje się, że założenie o nieistnieniu badanego obiektu prowadzi do sprzeczności z założeniami twierdzenia. Z tego wyciąga się wniosek o istnieniu rozpatrywanego obiektu. Rozumowania korzystające z zasady szufladkowej Dirichleta albo z aksjomatu wyboru zazwyczaj też są niekonstruktywne.

Przykładem dowodu niekonstruktywnego jest dowód następującego twierdzenia:

Twierdzenie. Istnieją takie dwie liczby niewymierne dodatnie $x$ i $y,$ że $x^{y}$ jest liczbą wymierną.

Dowód:

• Jeżeli ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ jest liczbą wymierną, to możemy wziąć

$x=y={\sqrt {2}}.$

• Jeżeli ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ jest liczbą niewymierną, to biorąc

$x={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}},y={\sqrt {2}}$

mamy

$x^{y}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}=2.$

Dowód niekonstruktywny spotykał się z krytyką intuicjonistów, którzy m.in. w niefrasobliwym stosowaniu prawa wyłączonego środka w dowodach egzystencjalnych upatrywali przyczynę pojawiania się w matematyce paradoksów (np. paradoksy w teorii mnogości), jak również pojawiania się obiektów, których istnienie jawnie kłóciło się z intuicją (np. paradoksalny rozkład kuli). Proponowany przez nich program przebudowy matematyki i narzucenia pewnej dyscypliny metodologicznej nie spotkał się z przychylnością zdecydowanej większości matematyków, bowiem prowadziłoby to do odrzucenia dużej części dorobku tej dyscypliny.