Metoda Cayleya

Metoda Cayleya – w mechanice kwantowej popularna metoda numerycznego rozwiązywania równania Schrödingera zależnego od czasu polegająca na przybliżeniu propagatora w czasie poprzez łatwiejszy do obliczenia niż dokładny operator unitarny, tzn. tak aby operator przybliżony też nie zmieniał normy funkcji falowej.

Dla równania Schrödingera zależnego od czasu $(\hbar =1){:}$

${\hat {H}}{\big |}\psi (t)\rangle =i{\tfrac {\partial }{\partial t}}{\big |}\psi (t)\rangle ,$

funkcja falowa dla małych czasów będzie dana przez:

$|\psi (t+dt)\rangle =e^{-i{\hat {H}}(t)dt}|\psi (t)\rangle .$

Zauważamy

$U_{1}=e^{-i{\hat {H}}(t)dt}=1-i{\hat {H}}(t)dt+{\hat {H}}(t)^{2}dt^{2}/2+i{\hat {H}}(t)^{3}dt^{3}/6+...$

oraz

$U_{2}={\frac {1-i{\hat {H}}(t)dt/2}{1+i{\hat {H}}(t)dt/2}}=1-i{\hat {H}}(t)dt+{\hat {H}}(t)^{2}dt^{2}/2+i{\hat {H}}(t)^{3}dt^{3}/4+...$

Jak widać powyższe operatory są równe do drugiego rzędu w $dt$ oraz operator $U_{2}$ jest z konstrukcji unitarny (jest ułamkiem) tak samo jak operator dokładny, tzn.

$U_{2}^{*}=U_{2}^{-1}.$

Używamy więc

$|\psi (t+dt)\rangle =U_{2}|\psi (t)\rangle$

Powyższy krok w przybliżeniu Cranka-Nicolson jest wtedy układem równań liniowych na funkcje $\psi (t+dt)$ w chwili czasu $t+dt,$ tzn.

$[{1+i{\hat {H}}(t)dt/2}]|\psi (t+dt)\rangle =[{1-i{\hat {H}}(t)dt/2}]|\psi (t)\rangle$

i jest powtarzany wielokrotnie numerycznie.