Просмотр кода страницы Ковёр Серпинского

[[Файл:Sierpinski6.png|right|thumb|200px|Ковёр (квадрат) Серпинского]]
'''Ковёр Серпинского''' ('''квадрат Серпинского''') — [[фрактал]], один из двумерных [[Аналогия|аналогов]] [[множество Кантора|множества Кантора]], предложенный польским математиком [[Серпинский, Вацлав|Вацлавом Серпинским]] в 1916 г.<ref>W. Sierpinski. Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoquet et continue detoute courbe donnée. //Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 162, Janvier - Juin 1916. -  Pp. 629 – 632. - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3115n.f631]{{Wayback|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3115n.f631|date=20210824050957}}</ref>

== Построение ==
=== Итеративный метод ===
[[File:Animated Sierpinski carpet.gif|thumb|6 итераций построения ковра Серпинского.]]

Квадрат <math>Q_0</math> делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата <math>Q_0</math> удаляется внутренность центрального квадрата. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество <math>Q_1</math>, состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность
: <math>Q_0\supset Q_1\supset\dots\supset Q_n\supset\dots ,</math>
пересечение членов которой есть ковер Серпинского.

=== Метод хаоса ===
{{Викиучебник|Реализации алгоритмов/Ковёр Серпинского|Ковёр Серпинского}}
:1. Задаются координаты 8 [[аттрактор|точек-аттракторов]]. Ими являются вершины и середины сторон исходного квадрата <math>Q_0</math>.
:2. Вероятностное пространство <math>(0; 1)</math> разбивается на 8 равных частей, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
:3. Задаётся некоторая начальная точка <math>P_0</math>, лежащая внутри квадрата <math>Q_0</math>.
:4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству ковра Серпинского.
::1. Генерируется случайное число <math>n \in (0; 1)</math>.
::2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
::3. Строится точка <math>P_i</math> с новыми координатами: <math>x_i = \frac{x_{i-1} + 2x_A}{3}; y_i = \frac{y_{i-1} + 2y_A}{3}</math>,
:::где: <math>x_{i-1}, y_{i-1}</math> — координаты предыдущей точки <math>P_{i-1}</math>; <math>x_A, y_A</math> — координаты активной точки-аттрактора.
:5. Возврат к началу цикла.

== Свойства ==
* Ковёр Серпинского представляет собой частный случай многоугольного множества Серпинского. Он состоит из 8 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3.
* Ковер Серпинского [[замкнутое множество|замкнут]].
* Ковер Серпинского имеет [[топологическая размерность|топологическую размерность]] 1.
* Ковер Серпинского имеет промежуточную (то есть не [[целое число|целую]]) [[Хаусдорфова размерность|Хаусдорфову размерность]] <math>\ln8/\ln3\approx 1{,}89</math>. В частности,
** имеет нулевую [[мера Лебега|меру Лебега]].
* Если [[гиперболическая группа]] имеет одномерную границу и при этом не является [[полупрямое произведение|полупрямым произведением]], то её граница гомеоморфна ковру Серпинского.

== См. также ==
*[[Губка Менгера]]
*[[Треугольник Серпинского]]
*[[Ковёр Аполлония]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{Commons-inline|Sierpinski carpet|Ковёр Серпинского}}
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SqStrFSM.shtml Variations on the Theme of Tremas II] {{ref-en}}
* [http://www.evilmadscientist.com/article.php/fractalcookies Печенье Серпинского] {{ref-en}}
* [http://fractalworld.xaoc.ru/Sierpinski_carpet Ковёр Серпинского на сайте FractalWorld]

{{Кривые}}
{{Фракталы}}
[[Категория:Фракталы]]
[[Категория:Топологические пространства]]