Теорема Ферма — Эйлера

Теорема Ферма — Эйлера (другие названия — рождественская теорема Ферма, теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов) гласит:

Любое простое число $p=4n+1$, где $n$ — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Иначе говоря, $p\in \mathbb {P} ,p=4n+1,n\in \mathbb {N} \Rightarrow p=x^{2}+y^{2},$ где $p$ — простое число.

В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.

Примеры:

$5=1^{2}+2^{2}$, $13=2^{2}+3^{2}$, $17=1^{2}+4^{2}$, $29=2^{2}+5^{2}$, $37=1^{2}+6^{2}$, $41=4^{2}+5^{2}$.

Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида $4k+3$ не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени.

Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.

История

Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.

Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения.

Доказательства

Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром:

Инволюция конечного множества $S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\}$, определённая как

$(x,y,z)\rightarrow {\begin{cases}(x+2z,z,y-x-z),&x<y-z\\(2y-x,y,x-y+z),&y-z<x<2y\\(x-2y,x-y+z,y),&x>2y\end{cases}}$

имеет ровно одну неподвижную точку (которая равна $(1,1,k)$, если $p=4k+1$, и единственность которой следует из простоты $p$), так что $S$ содержит нечётное количество элементов, а значит, инволюция $(x,y,z)\rightarrow (x,z,y)$ также имеет неподвижную точку.

Также существует доказательство через теорему Вильсона, придуманное Акселем Туэ.

Литература

• Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960. — 375 с.
• Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант, № 3 (1999), стр. 14—22.
• Dickson L. E. History of the Theory of Numbers // Vol. II. — Ch. VI. Sum of two squares.