Теорема Ферма — Эйлера

Теорема Ферма-Эйлера или теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов гласит:

Нечётное простое число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда оно имеет вид $4k+1$. Иначе говоря: $\exists x,y:p=x^{2}+y^{2}\Leftrightarrow p=4k+1$ Шаблон:/рамка В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года. Примеры: $5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.$ Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение: Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда любое простое число вида $4k+3$ входит в его разложение на простые множители в чётной степени. Шаблон:/рамка Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера. История Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска. Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения. Доказательство Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром. Литература Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960.- 375 с. Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа. Квант, № 3 (1999), стр. 14-22. Примечания