Sfero

Ĉi tiu artikolo temas pri geometria termino kaj tridimensia korpo. Por esperanta evento "Svisa Feria Esperanto-Renkontiĝo" rigardu la paĝon SFERO. Koncerne aliajn signifojn aliru la apartigilon Sfero (apartigilo).

En geometrio, sfero aŭ n-sfero aŭ hipersfero estas (n+1)-dimensia sternaĵo, hipersurfaco, aro de punktoj de (n+1)-dimensia spaco kies distanco al fiksita punkto de tiu spaco (centro) egalas al r, kiu estas fiksita pozitiva reela nombro, la radiuso de la sfero.

La plej kutima estas 2-dimensia sfero, pilko- respektive globoforma kava objekto, surfaco, kiu estas formata de ĉiuj de la punktoj egaldistance for centra punkto en tridimensia spaco. Tiel, in eŭklida geometrio, ĝi estas punktaro en ℝ³, kie estas for distanco r de fiksita punkto de tiu spaco, kaj r estas pozitiva reela nombro nomata kiel la radiuso de la sfero. La fiksata punkta estas nomata la centro, kaj ne estas parto de la sfero mem. La speciala sfero, kiu havas r = 1, estas nomata kiel unuobla sfero.

Se la dimensio estas N, la sfero kun radiuso r kaj centro c estas la punktaro { |x − c| = r }.

La 1-sfero estas cirklo.

Ekvacioj de 2-sfero en ℝ³

En 3-dimensiajn karteziaj koordinatoj sfero kun centro (x₀, y₀, z₀) kaj radiuso r estas surfaco donita per jena implica ekvacio, aŭ alivorte ĝi konsistas el ĉiuj punktoj (x, y, z) tiaj ke

(x−x₀)² + (y−y₀)² + (z−z₀)² = r²

Parametra difino de la sama sfero estas

x = x₀ + r cos φ sin θ

y = y₀ + r sin φ sin θ

z = z₀ + r cos θ

kie  0 < φ < 2π

0 < θ < π

Fakte limigoj de ŝanĝo de φ povas esti elektitaj alie. Por ĉiu φ₀ povas esti elektite ke φ₀ < φ < φ₀+2π kaj rezultas la sama sfero; ofta varianto estas φ₀ = −π.

Sfero de ajna radiuso estas surfaco difinita per jena diferenciala formo:

(x-x₀)dx + (y-y₀)dy + (z-z₀)dz = 0

aŭ

((x-x₀), (y-y₀), (z-z₀)) · (dx, dy, dz) = 0

kie · estas skalara produto de vektoroj. Ĉi tiu ekvacio respektivas al tiu fakto ke rapido de punkto moviĝanta laŭ la sfero estas ĉiam perpendikulara al la radiusa vektoro. Tiel obeante la ekvacion kaj komenciĝante je iu radiuso de la centro, punkto povas veni al ĉiu punkto sur la sfero de la radiuso, sed ne povas veni al punkto sur samcentra sfero de la alia radiuso.

Surfaca areo kaj volumeno

Por kutima 2-sfero de radiuso r la surfaca areo estas

A = 4 π r²

kaj la volumeno ene de sfero - volumeno de pilko kies rando estas la sfero - estas

V = (4/3) π r³

Por n-sfero de radiuso r hiperareo A estas

A=2{\frac {\pi ^{(n+1)/2}}{\Gamma ((n+1)/2)}}r^{n}

kie Γ estas la Γ funkcio, aŭ

A={\begin{cases}{\frac {(2\pi )^{(n+1)/2}\,r^{n}}{2\cdot 4\dots (n-1)}}&\qquad n{\text{ nepara}}\\\\{\frac {2(2\pi )^{n/2}\,r^{n}}{1\cdot 3\dots (n-1)}}&\qquad n{\text{ para }}\end{cases}}

Hipervolumeno V ene de n-sfero - hipervolumeno de pilko kies rando estas la sfero - estas

V={\frac {Ar}{n+1}}

aŭ

V={\begin{cases}{\frac {(2\pi )^{(n+1)/2}\,r^{n+1}}{2\cdot 4\dots (n+1)}}&\qquad n{\text{ nepara}}\\\\{\frac {2(2\pi )^{n/2}\,r^{n+1}}{1\cdot 3\dots (n+1)}}&\qquad n{\text{ para}}\end{cases}}

Se m estas dimensio de spaco en kiu estas la n-sfero, m = n + 1, la formuloj povas esti skribitaj kiel

A=2{\frac {\pi ^{m/2}}{\Gamma (m/2)}}r^{m-1}

A={\begin{cases}{\frac {(2\pi )^{m/2}\,r^{m-1}}{2\cdot 4\dots (m-2)}}&\qquad m{\text{ para}}\\\\{\frac {2(2\pi )^{(m-1)/2}\,r^{m-1}}{1\cdot 3\dots (m-2)}}&\qquad m{\text{ nepara}}\end{cases}}

V={\frac {Ar}{m}}

V={\begin{cases}{\frac {(2\pi )^{m/2}\,r^{m}}{2\cdot 4\dots m}}&\qquad m{\text{ para}}\\\\{\frac {2(2\pi )^{(m-1)/2}\,r^{m}}{1\cdot 3\dots m}}&\qquad m{\text{ nepara}}\end{cases}}

Topologia konstruado

Sfero povas esti konstruita topologie simile al la aliaj konataj surfacoj.

Startu de kvadrato kaj tiam gluu kune respektivajn kolorigitajn randoj, tiel ke la sagoj kongruu. Sfero povas esti prezentita kiel kvocienta spaco, unuobla kvadrato ( [0,1] × [0,1] ) kun flankoj identigitaj jene:

(0, y) ~ (1-y, 1) por 0 ≤ y ≤ 1

(x, 0) ~ (1, 1-x) por 0 ≤ x ≤ 1

Notu, ke ĉi tio estas abstrakta gluado en topologia senco.

Ĉi tiu kvadrato estas fundamenta plurlatero de sfero.